目标贯通数学思维的学习课堂：“特殊四边形的顶点坐标”课例报告

戴建兰 上海奉贤区世外教育附属临港外国语学校

本次课例呈现的是“师之蕴临港世外初小衔接数学工作室”学做主题课例教学、学写“目标贯通的教学设计”以及探索“九年一贯制初小衔接”的实践路径。

【课例主题】“师之蕴临港世外数学工作室”持续落实“数学课标植根数学课堂”的课例研修主题，本次课例是以“目标贯通”的“特殊四边形的顶点坐标”教学为例，探索“数学思维教学的课堂”的路径与方法。

【文本解读】

1.课标衔接。图形与几何是义务教育阶段学生数学学习的重要领域。在小学阶段，“图形的位置与运动”是两大主题之一。“图形与坐标”是初中阶段图形与几何领域的三个主题之一，两学段之间的教学内容是相互关联并且逐段递进的。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）要求小学生结合实际情境判断物体的位置，探索用数表示平面上的点的位置，增强空间观念和应用意识。新课标要求初中学生理解用数对表示的坐标与平面上点之间的一一对应，能用点的坐标来描述简单几何图形的位置，表达几何图形的变化和简单几何图形的性质，感悟几何直观与代数表达之间的联系，体会到坐标系是沟通几何与代数的重要桥梁。在这样的过程中，学生初步接触数形结合的数学思想，并会用数形结合的方法来分析问题和解决问题。理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形的概念，探索这些特殊四边形的性质。用代数方法来研究图形，在平面直角坐标系中用坐标表示图形中点的位置，用坐标法来分析和解决数学中点的位置问题。通过这样的学习过程，能帮助学生建立几何直观，提升数学抽象能力和推理能力。

2.单元素养。平面直角坐标系是数轴的拓展，还是沟通代数与几何的重要桥梁，内容核心是平面上的点与坐标之间的一一对应，强调数形结合思维。学生经历了用坐标来表示特殊四边形顶点的过程，体会得到代数方法表达图形中点的位置关系的意义；通过代数表达的练习，引导学生经历借助平面直角坐标系解决特殊四边形的顶点问题的分类过程，感悟数形结合的意义，让学生在具体的问题情境中，从几何角度发现和提出问题，并用几何直观和逻辑推理来分析和解决问题；培养学生应用知识的意识和创新表达的意识，提升其几何抽象能力、推理能力及代数运算能力，增强分类讨论的意识。

3.教材解读。特殊四边形是指平行四边形、菱形、矩形、正方形和梯形等具有特殊性质的四边形。这些四边形的顶点坐标是它们的特点之一，也是我们解决问题的重要工具。（1）矩形是特殊的平行四边形，它的对边平行且相等，对角相等且互相垂直。矩形的顶点坐标可以很容易通过其边长确定。设矩形的长为a，宽为b，则其四个顶点的坐标分别为：（0，0），（a，0），（0，b），（a，b）。（2）正方形是特殊的矩形，它的四条边都相等，并且对角线互相垂直平分。正方形的顶点坐标可以很容易地通过其边长确定。设正方形的边长为a，则其四个顶点的坐标分别为：（0，0），（a，0），（0，a），（a，a）。（3）菱形是特殊的平行四边形，它的两组对边分别平行且四条边均相等，但不一定是垂直的。菱形的顶点坐标可以根据其边长和角度确定。（4）梯形是有且只有一组对边平行的四边形。梯形的顶点坐标可以根据其边长和角度确定。设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，则其四个顶点的坐标分别为：（0，0），（a，0），（c，h），（c+b，h）。（5）平行四边形是两组对边分别平行的特殊四边形。平行四边形的顶点坐标可以根据其边长和角度确定。设平行四边形的上底长为a，下底长为b，高为h，则其四个顶点的坐标分别为：（0，0），（a，0），（b，h），（a+b，h）。

在本课学习中，学生需要理解特殊四边形的概念和性质，能根据特殊四边形的定义，对顶点的相对位置进行准确的分类，并加以讨论。通过分类和图形的直观性，掌握解决特殊四边形顶点位置分类讨论的一般方法。通过特殊四边形的分类讨论过程，帮助学生感悟方程思想、数形结合思想、化归思想及函数思想在求点的坐标中的运用，提高其观察、分析、推理、归纳、运算的能力。

【学情分析】

本课的授课对象是八年级1 班的学生。本节课是在学习了特殊四边形的性质并且会用坐标表示点的相对位置关系的基础上进行的。在探索特殊四边形顶点坐标的过程中，学生经历了分类讨论、作符合题意的图形、例题分析与求解、归纳解题步骤的过程，掌握了解决特殊四边形顶点位置的一般步骤与方法。通过分类和图形的直观性，让学生意识到分类讨论的必要性，并能合理运用分类讨论，在求解特殊四边形的顶点坐标的过程中，选择合理的分类来解决现实问题。

【课时目标】

1.能根据特殊四边形的定义，画出图形，感知分类讨论的必要性（一维，重点）。

2.由图形的直观性，合理分类，学生求解特殊四边形顶点坐标（二维，重点）。

3.经历分类讨论的过程，归纳、分类、讨论，求特殊四边形顶点坐标的一般步骤（三维，难点）。

【课堂环节】

（一）问题导入

问题：如图1，平面直角坐标系xOy中，有三个点A、B、C的坐标分别是（0，4）、（-2，0）、（6，0）。如果四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标为_______。

图1

设计意图：本题是已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点坐标。引出课题后，让学生尝试作图，再利用平行四边形的性质求出点的坐标。

（二）解决问题，讨论方法

1.已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点的分类讨论

例1如图2，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别是（0，4）、（-2，0）、（6，0）。

图2

（1）如果四边形ABCD是平行四边形，点D的坐标为__________。

（2）如果以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为___________。

分析：

①平行四边形顶点字母顺序不固定，需要分类讨论；

②可利用平行四边形的对角线进行分类，要做到不遗漏、不重复，再利用平行四边形对边相等的性质求得点D的坐标。

设计意图：与引例问题相比较，通过学生对两道题条件的比较，体会分类的必要性，并能准确地分类，再利用平行四边形的对角线以及平行四边形的对称性作出平行四边形的第四个顶点，提高作图能力。

说明：这一环节为教学目标1服务。

解：（1）以AC为对角线时，点D1的坐标是（8，4）；

（2）以AB为对角线时，点D2的坐标是（-8，4）（如图3所示）；

图3

（3）以BC为对角线时，点D3的坐标是（4，-4）；（如图4所示）；

图4

因此点D的坐标是（8，4）或（-8，4）或（4，-4）。

说明：这一环节为教学目标2服务。

【适时小结】分类的方法与步骤：（1）根据题目要求合理分类；（2）根据分类画出符合题意的图形；（3）由图形和特殊四边形的性质求点坐标；（4）写出结论并加以检验。

说明：这一环节是为教学目标3服务。

由梯形底边的不确定而产生的分类讨论

图5

（1）求一次函数的解析式和B、C两点的坐标；

（2）如果四边形ABCD是等腰梯形，求点D的坐标。

设计意图：学生自主完成，梯形的底边不确定，因此需要分类讨论。

说明：这一环节为教学目标1服务。

分析：

①画出符合题意的图形；

②将等腰梯形转化为两个全等的直角三角形和一个矩形，将边的长度转化为点D的坐标。

③利用函数解析式设点D的坐标，利用等腰梯形两腰相等的性质解决点D的坐标。

解：①当AD∥BC时（如图6 所示），过点D作DE⊥BC，垂足为点E，点D的坐标是（6，1）；

图6

②当CD∥AB时（如图7 所示），由题意可得直线CD的表达式是，设点D的坐标是，

图7

因为四边形ABCD是等腰梯形，所以BC=AD，，解得x1=3，x2=6（不符合题意舍去）。

当x1=3时，点D的坐标是（3，4）。

综上所述，点D的坐标是（6，1）或（3，4）。

说明：这一环节为教学目标2服务。

【适时小结】

方法与步骤：

（1）确定分类标准，以梯形的底边进行分类；

（2）画出符合题意的图形；

（3）由梯形的性质求顶点的坐标；

（4）写出结论并检验，排除是平行四边形的情况。

说明：这一环节为教学目标3服务。

（三）课堂小结

1.什么情况下要对特殊四边形的顶点位置做分类讨论？

2.如何对特殊四边形的顶点位置合理分类？

3.用分类讨论法求特殊四边形定点位置的一般步骤是什么？

（四）布置作业

练习：已知一次函数y=-x+4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，梯形AOBC（O是原点）的边AC=5，求点C的坐标（如图8所示）。

图8

设计意图：对特殊四边形中需要分类讨论的问题进行梳理归纳，形成解决特殊四边形顶点问题的方法，提升解决顶点坐标问题的能力。

【执教反思】

笔者有幸执教了“师之蕴临港世外数学工作室”主题课例研修教学“特殊四边形的顶点坐标”，探索“目标贯通的数学思维学习课堂”的路径与方法。在教授本课之前，笔者对教案经过反复设计与修改，在正式教学中，通过课堂实践，对数学思维课堂的教学有了更多的领悟，对于如何在思维课堂的教学过程中落实三维目标也有了新的认识。

1.分类讨论解题方法是数学思维课堂主题课例教学精彩所在。师之蕴临港世外数学工作室的课例研修主题是“数学课标植根数学课堂”，路径是“目标贯通课堂环节”。本课例主要探索“数学思维的教学课堂”的教学方法，引导学生感受分类讨论的必要性，学生不遗漏、不重复地正确分类，继而通过分类和图形的直观性，归纳并掌握求特殊四边形顶点坐标的方法与步骤。

2.灵活学与教，促进师生课堂有效互动。在本课教学中，虽然一直坚持教学生如何思考，教学生解题方法，教学生分析问题，引导思维发展，但教师在授课中过于依赖讲解和演示，引导还是比较多，使学生只会按照教师的提示和预设的问题去思考，难以真正掌握分类标准。一些学生无法理解特殊四边形顶点坐标问题的本质，也无法激发他们的学习兴趣，本节课如果能促进学生多样互动去探究与思考效果会更好。

3.运用多媒体实现课堂实践验证结论能加深理解。教学过程中过于侧重讲解理论性知识，而忽略了实际应用和学生的参与，没有给予学生足够的机会去探索和发现。本次教学中增加了互动和实践环节，学生无法通过实物动手操作或动画演示等直观感受来加深对知识点的理解，可在教学过程中加入几何画板等多媒体资源来作图，通过图形、动画等形式，帮助学生更好地理解较抽象的概念和知识，以此确定点的可能位置，帮助学生理解分类的标准，引导学生自主探索特殊四边形顶点坐标问题的规律。

特殊四边形顶点坐标问题涉及平面几何、解析几何等领域，这些问题不仅具有数学价值，还具有丰富的教育内涵。通过解决这些问题，我们可以培养学生的空间观念，强化几何直观，提升逻辑推理能力，拓展创新思维，加深对图形的认识，提高解决问题的能力，激发学生对几何的兴趣和热情。在“数学思维的教学课堂”中，教师要引导学生感受思维的必要性，在今后长期的数学教学过程中逐步渗透，让学生逐渐形成属于自己的数学思维习惯。