借助问题场景探究因式分解

1 提公因式法

提公因式法是一种常用的因式分解法，核心是要找出题目给出的每一项的一个公因式，将这个公因式提出来放在式子的前面，如此便可以将一个多项式转化为几个简单的因式乘积的形式，该方法的本质就是乘法分配律问题.

例1问题提出：计算

1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6.

问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题一般化，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母α代替，原算式化为

1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6.然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法.

①1+a+a（1+a）

=（1+a）+a（1+a）=（1+a）[J]5（1+a）=（1+a）2.

②由①知1+a+a（1+a）=（1+a）2，所以，

1+a+a（1+a）+a（1+a）2

=（1+a）2+a（1+a）2=（1+a）2（1+a）=（1+a）3.

（1）仿照②，写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程．

发现规律：

（2）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+……+a（1+a）n=．

问题解决：

（3）计算：

1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6=（结果用乘方表示）．

解析：（1）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3

=（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3

=（1+a）2（1+a）+a（1+a）3

=（1+a）3+a（1+a）3

=（1+a）3（1+a）

=（1+a）4.

（2）由②③发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+……+a（1+a）n=（1+a）n+1.

（3）1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6

=（1+3）7=47．

点评：本题主要考查因式分解的提取公因式法，发现规律，把多项式一步步分解因式，将问题一般化，最后化为积的形式是解题关键．

2 运用公式法

公式法是因式分解中难度相对较大的一种方法.当题目给出的各项没有公因式时，我们经常用到的就是使用公式法进行因式分解，根据题目给出的项数的多少，恰当选用公式进行运算.不过，部分学生对于平方差公式和完全平方公式的运用不够灵活.

例2下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程．

设x2-4x=y.

原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）

=y2+8y+16（第二步）

=（y+4）2（第三步）

=（x2-4x+4）2（第四步）

请问：（1）该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果．

（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（a2-2a）[J]5（a2-2a+2）+1进行因式分解．

解析：（1）该同学因式分解的结果不正确.

设x2-4x=y.

原式=（x2-4x+4）2=（x-2）4.

（2）

设a2-2a=m.

原式=m（m+2）+1

=m2+2m+1=（m+1）2

=（a2-2a+1）2

=（a-1）4．

点评：本题考查了综合运用公式法分解因式，根据配方法及完全平方公式，结合交换律、结合律，问题即可得到解决．

3 分组分解法

当题目中给出的多项式不少于三项，且无法提取公因式，也无法使用公式法进行因式分解时，可以考虑将所给多项式进行分组，重新组合.

例3八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a-3ab-4+6b因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法：

解法一：原式=（2a-3ab）-（4-6b）

=a（2-3b）-2（2-3b）

=（2-3b）（a-2）.

解法二：原式=（2a-4）-（3ab-6b）

=2（a-2）-3b（a-2）

=（a-2）（2-3b）.

小明由此体会到，对项数较多的多项式，无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止.）

请你也试一试利用分组分解法进行因式分解：

（1）因式分解：x2-a2+x+a；

（2）因式分解：ax+a2-2ab-bx+b2．

解析：（1）x2-a2+x+a

=（x2-a2）+（x+a）

=（x-a）（x+a）+（x+a）

=（x+a）（x-a+1）.

（2）ax+a2-2ab-bx+b2

=（ax-bx）+（a2-2ab+b2）

=x（a-b）+（a-b）2

=（a-b）（x+a-b）．

点评：本题考查了分组分解法，特别注意要按照系数的特点进行分组分解，然后直接提出公因式或者利用公式进行求解即可．

4 十字相乘法

十字相乘法是先利用十字交叉线将系数进行分解，然后对二次三项式进行分解的一种策略.这种方法在解决一元二次方程或分式问题时，能够提高解题的准确率和效率，简化运算过程.

例4阅读理解完成任务：教材的阅读与思考中有一种因式分解的方法叫十字相乘法，根据课本上给出的十字交叉法的定义和方法，我们就可以得到：x2+3x+2=（x+1）（x+2）.

某同学看完教材没完全懂，问老师后就懂了，老师讲解如下：利用十字相乘法分解6x2+7x-3，首先分解二次项系数6，可分解为1×6或2×3或（-1）×（-6）或（-2）×（-3），分别用十字交叉法写在其中一条对角线的位置；然后分解另外一项-3，可分解为-1×3或1×（-3），分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，这样就会出现16种情况（如分解图1），代数和等于一次项系数7，符合的分解图有两种（就是方框框起的两种情况）．所以得到：6x2+7x-3=（2x+3）（3x-1）或6x2+7x-3=（-2x-3）（-3x+1）．

十字相乘法公式：abx2+（ad+bc）x+cd=（ax+c）（bx+d）（其中，a，b，c，d均为常数）.

阅读以上材料，完成以下任务：请用十字相乘法分解下列多项式，要求写出一种符合的分解图．

（1）x2-7x+12；

（2）2x2+3x+1．

解析：

（1）分解图如图2：

所以x2-7x+12=（x-3）（x-4）.

（2）分解图如图3：

所以2x2+3x+1=（2x+1）（x+1）．

点评：本题主要考查十字相乘法，根据二项式系数的特点，然后依据十字相乘法的定义进行分解，同时要注意分解后各数前面的符号.

5 结语

对于因式分解问题，核心就是把多项式转化为几个因式的乘积的形式，因此我们要从题目给出的多项式的结构特征出发，灵活地选择恰当的方法.因式分解在初中数学中应用广泛，技巧性较强，因此需要学生在日常学习中注意积累总结，不断提高自身的数学思维和解题能力.

参考文献：

[1]张炳瑞.初中数学因式分解技巧浅谈[J].求知导刊，2021（18）：62-63.

[2]薛山.初中数学因式分解的思想方法[J].现代中学生（初中版），2021（18）：15-16.