注重设计的开放性，引导学生在探究中发展

摘要：义务教育数学课程标准的基本理念是以学生发展为本，立德树人，提升素养，指出要面向全体学生，实现不同的人在数学上得到不同的发展.在滨湖区初中数学储东花”希望之星班”教学活动中，以“反比例函数”单元复习课为例，尝试开放式设计，让学生自主提出问题、分析与解决问题，在探究性学习过程中获得发展，并由此提出了几点教学思考.

关键词：开放式设计；解决问题；探究；发展

1 教学简录

1.1 以图导入，梳理知识

问题1观察图1，你可以得到什么结论？

生1：这是反比例函数图象的一支，反比例函数的图象是双曲线，图象与坐标轴无交点.

生2：在第一象限，kgt;0，还有一个分支在第三象限并且与第一象限的分支关于原点中心对称.（教师追问反比例函数的对称性：关于原点对称，关于直线y=x，y=-x对称.）

生3：在每个象限内，y随着x的增大而减小.

师：如果想求双曲线的解析式，要添加什么条件？

生4：添加一点的坐标，例如添加点A（1，6）.

1.2 关联探究，强化应用

师：同学们还能说出函数图象上的其他点吗？

生5：B（-2，-3），点（2，3），（-3，-2）.（教师追问点所在象限及这些点之间的对称性.）

问题2连接AB，如此在反比例函数y1=6x的图象上又添加了一条直线，对于图2，你可以提出什么问题？

生6：求直线AB的解析式.（AB：y2=3x+3.）

生4：若y1lt;y2，则x的范围是什么？

（请学生板演讲解：首先在图象上画出分界线，y轴是天然的分水岭，另外一条由交点产生，y1lt;y2的几何意义是反比例函数图象在一次函数图象的下方，根据图象即可写出范围.）

归纳：在这道题目中，我们是用形来助数，又用数来表示形，体现了数学中的数形结合思想.

生5：可以写出方程y1=y2的解吗？

生6：求△AOB的面积.（学生板演：割补法、铅垂法.）

问题3研究完反比例函数与一次函数的关系，那反比例函数还能和什么函数结合呢？它们之间又会有怎样的“化学反应”呢？延长BO交反比例函数图象于点C，你能求出点C的坐标吗？

师：连接AC，你能求出图3中△ABC的面积吗？

生7：根据点的对称性，可得OB=OC，由底边相等又可得到三角形的面积相等，所以S△AOC=S△AOB=92.

问题4你还可以怎样对这个图形“添砖加瓦”呢？还能求出哪些图形的面积？

生8：过点A作AD垂直y轴于点D，过点C作CE垂直x轴于点E，可得S△AOD=S△COE=|k|2=3.

师：继续补全矩形，如图4，点A，C有何特征？

生齐：A是DF的中点，C是EF的中点.

问题5请同学们进一步思考，这个结论是偶然的还是必然的呢？如图5所示，反比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）与DF相交于点A，与EF交于点C，若A为DF的中点，那么点C是EF的中点吗？（请学生板演不同的方法.）

师生归纳：反比例函数综合题可从两个角度入手.用几何方法，利用k的几何意义进行求解；也可以用坐标法求解.

1.3 开放拓展，提升能力

问题6以上我们研究的都是由一个反比例函数所产生的几何图形的面积，那么两个反比例函数图象可以给我们带来什么惊喜呢？两个反比例函数可以怎么分布？请同学们动手设计几何图形并求其面积.（学生设计的图形如图6所示.）

2 教学思考

新课标的基本理念是以学生的发展为本，倡导动手实践、自主探索、合作交流等学习方式.在单元复习课中如何实施？现行单元复习课，大多是通过基础训练加典型问题，构建知识网络，强化重点内容及思想方法.而本课设计则另辟蹊径，采用探究性学习方式，注重开放性设计，以图导入，让学生通过观察获取信息，通过联想加工信息，引导学生经历质疑、发现、提出问题的过程，培养学生思维能力.

2.1 精心选编开放性问题

探究性学习的过程，往往要通过问题驱动，而起始的问题则举足轻重.开放性问题给学生提供多种选择，能让学生从不同角度回答，既可以活跃课堂氛围，也能激活学生的创新思维.本课教师精心选编了一组开放性问题，“观察图1，你能得到哪些结论？”以简单的反比例函数图象导入，起点低，但颇具开放性，答案丰富多样.学生从函数的图象、性质、解析式等多方面入手思考，在教师的追问下逐步构建严密的知识体系；在图象不断丰富的过程中，教师开放性地引导不同水平的学生提出并解决适合自己的问题.学源于思，思起于疑.在课堂结束之际，通过提问“在两个反比例函数图象中，你能设计出哪些图形并求出面积？”考虑到不同学生之间的差异，以开放题结尾，让不同的学生设计出有层次性的模型，深入学习，从中都有获得感.

2.2 引导学生开展合理的探究活动

数学探究需要做足过程，除了精选问题外，还要考虑探究的形式.本课基于初中学生的认知特点，采用了“问题+对话探究”的形式.依据学情，通过一组循序渐进的开放性问题，学生思考回答，师生对话完成.其中，教师通过学生的回答情况判断他们对旧知的掌握程度，以学定教，用活生成资源，以求达到优效.在复习课上立足于丰富后的图形的中点特征，先讨论其特殊性，再转向一般性探究，让学生经历从特殊到一般的全过程.如此，学生俨然成为了课堂舞台的主角，以图象为剧本，积极提问，主动思考，合力解决，使课堂灵动起来，不断有精彩.

探究性学习，不能止步于问题的解决，还要引导学生挖掘并总结规律——升华.其一，在解决问题后，师生挖掘面积问题蕴含的数学方法——“铅垂法”和“割补法”，总结解决函数问题的两类基本策略——坐标法和几何法.其二，在探究过程中，让学生体会数形结合和从特殊到一般的数学思想.其三，课堂总结可以帮助学生理清脉络，整体把握知识结构，本课的总结则是展示学生自制的思维导图，让学生在自我反思后形成自身的认知结构.这样，让学生体会到“怎样学”，以提升对数学问题的认识.

2.3 在探究过程中促进学生思维的发展

数学是思维的学科，学生思维的发展是其全面发展的核心.教者提供素材，给学生机会发现和提出问题，在探究性学习的过程中分析和解决问题，颇有价值.其一，这是在践行新课标，侧重于培养学生的“四能”；其二，由于是开放性设计，不同学生有不同的发现，有益于培养学生思维的发散性；其三，先让学生经历对知识网络的探究过程（从特殊到一般），随后经历习题变式探究，一题多解与多解归一相结合，将具体的习题模型化，寻求一般性规律，有益于培养学生思维的敛散性和独创性，使每个学生在思维上都得到发展.

在单元复习课上，借力开放性教学设计，实施探究式学习，追求学生潜能的发现和思维的发展，这要求教师关注每位学生的成长，让学生对未知、多变的课堂充满期待.因此，教师要顺应和帮助学生，关注课堂的生成，即时调整，以学定教，让思维在灵动的课堂中飞扬，真正让课堂成为实现理想的精神舞台.