基于Geogebra行列式及其性质的可视化教学研究

摘" 要： 在线性代数教学中，行列式是非常重要基础的知识。传统的教学采用灌输式教学，直接介绍定义和计算。学生会觉得行列式知识抽象难以理解。Geogebra是一款强大的动态数学软件，它可以直观、动态、交互地演示数学知识。借助Geogebra动态教学软件，对线性代数行列式的定义和性质的几何意义进行可视化教学设计。旨在通过直观形象的教学，解决行列式抽象难懂的问题，加深学生对行列式的理解。为后续掌握矩阵、线性方程组和特征值的内容打基础。

关键词： 线性代数" Geogebra软件" 行列式" 可视化

中图分类号：O151.22

Research on Visual Teaching Based on Geogebra Determinant and Their Properties

YANG Jieqin

Hongshan College， Nanjing University of Finance and Economics， Nanjing， Jiangsu Province， 210000 China

Abstract： In the teaching of linear algebra， determinant is a very important basic knowledge. Traditional teaching uses indoctrination to introduce definitions and calculations directly. Students may find the knowledge of determinants abstract and difficult to understand. Geogebra is a powerful， dynamic mathematical software that provides intuitive， dynamic and interactive demonstrations of mathematical knowledge. With the help of Geogebra dynamic teaching software， it visualizes the geometric significance of the definition and properties of determinant in linear-algebra for instructional design. It aims to solve the problem of abstract and difficult to understand determinant through the teaching of visual image， and deepen students' understanding of determinants， to lay the foundation for the subsequent mastery of matrices， systems of linear equations and eigenvalues.

Key Words： Linear algebra; Geogebra software; Determinant; Visualization

“线性代数”课程是高等院校理工科专业和经管类专业学生必修的基础课之一，在计算机图形学、自然科学、社会科学、大数据处理[1]和人工智能领域有着广泛地应用。但其课程具有理论性强、抽象程度高、逻辑推理性强的特点，部分学生抽象思维能力和逻辑推理能力偏弱，难以理解线性代数中概念的本质。在教学过程中发现，学生对于行列式、矩阵运算以及特征值与特征向量的概念模糊，难以理解和掌握其定理，只会机械地计算。许多学生在枯燥的学习过程中，渐渐失去对线性代数学习的兴趣。为此，许多学者将可视化[2-3]教学引入线性代数教学研究中。例如：王荣亮等人[4]将Matlab用于方程组的求解和教学，画出了二元齐次非线性方程组的图像。朱丹等人[5]利用Matlab可视化优势，从数字图像处理的角度阐释矩阵的相关概念及运算。杨晓丹等人[6]借助GeoGebra可视化功能，动态展示了矩阵旋转变换的效果。但其研究使用的软件Matlab操作复杂，学生需要花费一定时间学习。而基于GeoGebra的研究中，对本课程最基础的知识行列式研究较少。基于此，本文借助GeoGebra软件，绘制行列式定义和性质的几何图形，重新设计行列式定义和常见性质的教学方案，利用图形的直观性，帮助学生真正理解行列式的本质。

1" GeoGebra简介

“GeoGebra”是一款集代数、几何、微积分和概率统计功能为一体的动态数学软件[5]，不仅可以处理函数，对函数做微分与积分、求极值等运算，还具有绘制点、向量、多面体等二维和三维图形的功能。因其安装方便、操作简单、功能强大等特点在教师和学生中被广泛应用。利用Geogebra可以将线性代数中晦涩难懂的定义可视化，让学生学习知识更加直观与形象。

2" 应用GeoGebra软件进行行列式定义教学设计

行列式是大多数高校学生学习线性代数的第一个知识点。对于行列式的教学，不仅需要学生掌握求解方法，更重要的是理解其几何意义。这样有助于学习线性方程组解的结构、向量组的秩、特征值与特征向量等后续内容。

2.1" 二阶行列式的定义

用消元法解二元线性方程组得

为了便于记忆，引入记号

式（1）中：为二阶行列式，数称为行列式的元素，表示该元素所在行，称为行标，表示该元素所在列，称为列标。

2.2" 用GeoGebra表示二阶行列式的几何意义

上面给出了二阶行列式的数值定义，接下来介绍一个具体的例子。

设，以的列向量为边张成平行四边形，在GeoGebra命令栏输入指令，画出图形如图1所示。GeoGebra自动计算出平行四边形的面积为7。由于的方向与基向量的方向相同，故该平行四边形的有向面积为7。有向

面积指的是向量的方向与二维基向量的方向相同，行列式符号取“”，否则取“-”。此时，在输入栏输入行列式指令，得到的行列式为7，与平行四边形的有向面积相同，因此，二阶行列式的几何含义表示的是行（列）向量所张成平行四边形的有向面积。

2.3" 用GeoGebra表示三阶行列式的几何意义

定义1[7] 设有9个数排成3行3列的数表" " " " "，

式（2）即为3行3列的数表所确定的三阶行列式。

事实上，二阶行列式描述的是二维线性空间某个线性变换对空间面积的拉伸或压缩倍数。三阶行列式描述的则是三维空间中，线性变换对体积的拉伸或压缩倍数。也就是空间几何体在线性变换下体积的改变情况。

考虑一个具体的例子，设，取的列向量

为边张成的平面六面体的有向体积则是的行列式，利用GeoGebra输入三个向量，得到平行六面体（如图2所示）。图中所围平行六面体体积用GeoGebra计算得27，而向量与三维空间中基向量方向相反。由此，平行六面体的有向面积是-27，即。

2.4" 阶行列式的定义及几何意义

2.4.1" 阶行列式的定义

定义2" ，简记为或。其中，为自然数的一个排列，为这个排列的逆序数。

2.4.2 阶行列式的几何意义

虽然四维及四维以上的线性空间无法画出其实际的几何图像，但二维和三维行列式的几何意义可以推广到高维空间。三维空间中的平行六面体的概念推广到中，引入定义如下：

定义3[8]" 中个行向量构成的形式为的所有向量的集合称为由向量张成的超平行多面体，记作。记矩阵，称为超平行多面体的广义体积（面积）。

假设阶方阵，以列向量张成的超平行体，可以看成以标准基张成的单位超平行体在对应的线性变换的作用下得到的。假设变换之前超平行体的广义体积用表示。在线性变换的作用下，其区域的“体积”变成，那么。

3" 利用GeoGebra探究行列式性质的几何意义

通过上述对行列式定义的几何解释，可以知道行列式表示空间几何体在线性变换的作用下体积的改变情况。为了行列式性质几何解释直观，下述讨论以二阶行列式为例。

性质1" 行列式与它的转置行列式相等。

设，则。

操作步骤如下。

（1）打开GeoGebra的代数区、数据区和绘图区。

（2）点击工具栏分别创建的滑动条，便于随机改变矩阵元素的取值。

（3）指令栏输入：，生成向量，同样的操作生成向量。

（4）指令栏输入：，生成点，同样的操作生成点和。

（5）点击的平行线工具，找到和的对边，点击交点工具，生成点。

（6）点击多边形工具，生成平行四边形，GeoGebra会自动计算出四边形的面积。

由二阶行列式的几何意义可知，四边形的有向面积即是行列式的值。设的转置矩阵为，，用同样的方法画出向量和向量围成的平行四边形，如图3所示。GeoGebra自动计算出其面积为7.24，并且向量方向与基向量方向相同，所以有向面积仍为7.24，故的值为7.24。通过GeoGebra作图得到。

为了验证其一般性，可以移动滑动条改变元素的值，得到对应新的矩阵和其转置矩阵，观察其列向量分别围成平行四边形的有向面积，发现其有向面积相等，故。

性质2 对换行列式的两行（列），行列式变号。

同样取，用GeoGebra画出其列向量围成的平行四边形。软件自动生成图形面积，通过观察，发现有向面积为-5.95，所以=-5.95。调换的两行变成矩阵，用同样的方法画出图，生成其有向面积为5.95，即，如图5所示。

推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。

行列式两行完全相同，则，说明其矩阵的列向量成比例，那么在图形上两个向量共线，其面积为0（详见图6），故行列式为0。

性质3" 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数，等于用数乘此行列式。

设，则，的列向量和列向量围成图形如图7所示，分别是平行四边形和。创建的滑动条，取，从图中可知，，。

所以得到结论。拉动滑动条，改变的取值，性质仍然成立。

性质4" 若行列式的某一行（列）中所有元素都是两项和，则该行列式可表为两个行列式相加。

设，，，在GeoGebra中输入和的列向量值，作出图形8。GeoGebra自动计算出平行四边形、和的面积，从而得出其有向面积，分别对应矩阵行列式的值。

从下图可知，，拖动滑动条，将向量移动到特殊的位置。

因取值特殊，线段，又，故很容易从图形9中看出，平行四边形、面积之和等于四边形的面积，性质4成立。

性质5" 行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

设，。Geogebra作图如下，取任意实数，其终点落在直线上，所以平行四边形和平行四边形在边上的高相等，即面积相等。另外，其向量方向与基向量方向相同，所以。

图10" 行列式性质5的几何图

4" 结语

线性代数涉及的概念及定理抽象程度高，学生理解困难，学习易产生畏惧感。本文以行列式为例利用Geogebra软件辅助线性代数教学，不仅可以简化计算过程，实现抽象定理及性质的可视化教学，还能带领学生参与到知识的探索过程，培养学生探索精神和创新思维。因此，将Geogebra等数学软件应用到线性代数的可视化教学中具有重要的意义。

参考文献

[1] 邵丽丽.新工科背景下计算机类专业线性代数课程教学研究[J].科学咨询（科技·管理），2021（9）：285-286.

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[3] 褚鹏飞，路云.浅谈GeoGebra软件在线性代数可视化教学中的应用[J].大学数学，2024，40（1）：56-64.

[4] 王荣亮，仓龙仓，许凤桐.基于MATLAB的线性方程组求解及其可视化[J].电脑知识与技术，2021，17（31）：150-152.

[5] 朱丹，于书靖，苏洪波.基于MATLAB数字图像处理的线性代数教学探索[J].科技视界，2019（31）：118-119.

[6] 杨晓丹，赵越，王煜晶.基于GeoGebra软件的矩阵乘法的可视化教学研究[J].科技风，2024（11）：118-120.

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