精析高考试题 优化备考策略

［摘 要］教育部教育考试院对2024年高考数学试题进行全面分析，回应全国甲卷文科立体几何试题对空间向量的考查，试图深化教育教学改革。文章通过对2024年高考数学全国甲卷中两道立体几何试题的解题思路、方法技巧等方面进行对比，进一步明确高考数学试题的命制方向，并在此基础上提出具有针对性的立体几何备考策略。

［关键词］高考试题；备考策略；立体几何

［中图分类号］" " G633.6" " " " " " " " ［文献标识码］" " A" " " " " " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）35-0001-04

《教育部教育考试院：2024年高考数学全国卷试题评析》（以下简称《考试院评析》）明确指出，全国甲卷的文科试卷回避了排列组合、空间向量等课程标准要求范围外的内容[1]。这体现了高考试题命制严格遵循教材和课程标准，旨在引导教师依据课程标准进行教学。同时，它也进一步明确了高考的考查内容，为课程与教学改革指引方向。

2024年高考数学全国甲卷包括文科题和理科题，供陕西、宁夏、青海、内蒙古和四川（简称“五省区”）使用。该卷沿用新高考改革前的考查模式，包含21道必考题和1道选考题。

立体几何是新人教A版高中数学教材的重要内容，它分布于必修教材和选择性必修教材中。必修教材侧重于介绍几何公理、定理和原理，而选择性必修教材则侧重空间向量概念及其在立体几何中的应用。实际教学中，部分文科数学教师为追求高分，违背了教材的编写意图，擅自增加了空间向量的内容，却未对其进行系统讲解，导致学生对这部分内容一知半解，反而加重了学习负担。这不利于教师引导学生借助几何直观和空间想象来感知事物的形态与变化，也阻碍了学生数学学科核心素养的发展。因此，从高考试题入手，为“五省区”一线教师提供更具针对性和系统性的立体几何备考策略至关重要。

本文以2024年高考数学全国甲卷文理科第19题为例，首先分析了试题的命制情境、特点、考查的必备知识和核心素养要求。接着，与《考试院评析》的指导思想相对照，明确试题的考查意图，进一步提出立体几何备考策略。

一、精析高考试题

（一）试题分析

2024年高考数学全国甲卷文理科第19题的详细对比情况如表1所示。

由表1可知，两道试题的数学情境相同，均以由柱体和锥体拼接而成的组合体为基本图形，旨在考查学生的整体把握能力和局部分析能力。两道试题的已知条件相似，均给出了空间中的一组平行线、线段的长度和[M]点的位置。要求学生利用这些条件，探究立体图形中点、线、面的位置关系，结合平面几何知识判断平面图形的形状，并运用平面几何的性质与空间线面平行的判定定理解决问题。

设问（1）考查学生整合平面几何知识和立体几何知识的能力以及直观想象素养。在文理分科的前提下，设问（2）成为两道试题的主要差异点：理科题侧重求二面角的正弦值，而文科题则侧重求空间中的点面距离。从表面来看，它们的考查重点不同，但实质上它们的设问（2）所考查的必备知识和关键能力相似，无论是采用综合几何法还是空间向量坐标法，线面垂直的判定定理均为解答设问（2）的必备知识。巧妙利用已知线段长度判断线线位置关系，是解题的核心。这一过程也间接考查了数学运算、逻辑推理等核心素养。

（二）解答思路呈现

《普通高中数学课程标准（实验）》（简称《课标（实验）》）要求学生掌握选修2-1的空间向量在立体几何中的应用［2］。据此推断，理科题的设问（2）重点考查空间向量坐标法在求解二面角大小中的应用。值得注意的是，《课标（实验）》选修系列1并未要求学生掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。

基于《课标（实验）》与教材内容，本文针对上述两道试题的设问（2），深入剖析了空间向量坐标法和综合几何法的应用，并对比了两者的优势。鉴于两道试题的已知条件本质相同，仅表述略有差异，故选用文科卷试题的已知条件作为范例，来阐述两道试题的设问（2）的解答思路，具体见图3。

［理科题解答思路］

思路1：运用公式[coslt;m，ngt;=m⋅nmn]求二面角[F-BM-E]的正弦值。难点在于如何科学建立空间直角坐标系。这就要求学生精确读题和读图，并运用勾股定理的逆定理挖掘出[OB⊥OF]（点[O]是[AM]的中点），从而将几何问题转化为代数问题求解。此解题思路体现学生的数学运算素养。

思路2：通过深入分析题目和图形，探究图形的空间位置和数量关系。利用几何公理与定理进行逻辑推理，论证[OF⊥]平面[ABCD]，再利用[VB-MEF=VE-BFM]求得点[E]到平面[BFM]的距离[d]和[△BEM]底边[BM]上的高[h]，从而转化为求[sinθ=dh]。此解题思路不仅体现学生的数学运算素养，还体现学生的直观想象素养和逻辑推理素养。

［文科题解答思路］

思路1：与理科题的思路1相似，均需建立空间直角坐标系，但将点[M]到平面[ADE]的距离转化为求[EM]在平面[ADE]的法向量[p]方向的射影长，这对文科生而言存在一定的困难。原因在于，《课标（实验）》及教材对此未作明确要求，仅仅提供零散的空间向量知识，缺乏系统、全面的知识体系，使得文科生难以准确解答。思路1巧妙规避了《课标（实验）》外的内容，与《考试院评析》的指导思路相吻合。

思路2：运用余弦定理求得[cos∠ADE]，进而应用三棱锥的体积公式求得点到平面的距离。这一方法要求学生具备较强的空间想象能力与运算求解能力。

二、优化备考策略

在分析文理科题的图形、已知条件、设问和解答思路后，发现无论是求二面角的大小还是计算点到平面的距离，均涉及线面垂直的判定定理，同时，还融合了立体几何中的等体积法及平面几何中的解三角形知识，实现了平面几何与立体几何的综合应用。这不仅体现了试题的基础性，还彰显了《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中“突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法”的教学理念［3］。在解答这类试题的过程中，学生需具备直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，才能有效应对试题的多样性变化。因此，在“三新”背景下，为了提升备考效率与质量，教师应做到以下几点：首先，回归教材，夯实基础，构建知识体系；其次，深研典型试题，提升解题能力；最后，多角度分析思考，强化逻辑推理能力。

（一）回归教材，夯实基础，构建知识体系

在人教版高中数学教材必修第二册第八章“立体几何初步”中，采用了综合几何法来探讨空间几何体的结构特征，以及空间中点、线、面之间的位置关系。其中，平行与垂直作为核心内容，其相关定义、公理和定理既丰富又错综复杂。为了帮助学生更好地掌握这部分知识，教师应系统梳理相关定理的条件、作用及内在联系，确保学生能理解。同时，教师还需明确阐述空间向量在研究立体几何中的必要性，以及对比空间向量坐标法与综合几何法的联系与区别。为了加深学生对立体几何知识的理解，并帮助他们灵活选择、转化及有效应用各类定理，教师可构建从必修到选择性必修的知识逻辑框架（如图4）。

（二）深研典型试题，提升解题能力

高考试题往往源于教材，但又高于教材[4]。在学生成功构建立体几何知识体系之后，教师须精选试题，以帮助学生巩固知识，训练学生的技能，提升学生的能力。教材中的例题和习题具有典型性、代表性、层次性，非常适合各层次的学生进行深入探究。因此，教师应提前深入研究这些例题和习题，充分理解其内涵和外延。结合学生的实际情况，教师可采用分层教学法和变式教学法，有针对性地培养学生的读题能力、读图能力以及规范答题能力，进而提升解题能力。

（三）多角度分析思考，强化逻辑推理能力

波利亚曾说：“没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得我们探究的地方。”[5]数学试题的解答往往具有多角度、多解法的特点。因此，教师应引导学生将从教材例题和习题中获取的知识、技能及思想方法灵活地迁移到高考真题的研究中，避免机械地刷题和重复练习。在探究创新解法的过程中，教师应基于通性通法（如综合几何法和空间向量坐标法），引导学生多角度分析思考，不断强化学生的逻辑推理能力，并努力拓展其思维的广度，进而促进学生能游刃有余地应对各种题型。

总之，在“三新”背景下，高考数学复习备考应立足教材和课程标准，全面把握教材内容的编排顺序，系统构建数学知识体系，以确保学生对数学概念、原理有深刻而准确的理解。在教授基础知识的过程中，教师不仅要强化学生对基本解题方法的掌握，而且要引导他们深入理解这些方法背后的逻辑与原理，同时注重解题策略的通用性和灵活性。更为重要的是，教师要将传统的解题技巧总结升华为理性思维的培养，并着力提升学生的探究能力，进而全面落实数学学科核心素养。

［" "参" "考" "文" "献" "］

[1]" "教育部教育考试院：2024年高考数学全国卷试题评析［EB/OL］.（2024-06-07）［2024-08-20］.https：//baijiahao.baidu.com/s？id=1801206434762224393amp;wfr=spideramp;for=pc.

[2]" 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：实验［M］.北京：人民教育出版社，2003.

[3]" 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.

[4]" 郑灿基.2024年新高考Ⅰ卷立体几何解答题的解法探究与备考对策[J].理科考试研究，2024，31（17）：28-31.

[5]" 房艳艳.2024年新高考Ⅰ卷立体几何试题的解法探究及启示[J].中学数学教学，2024（4）：64-67.

（责任编辑" " 黄春香）