考虑裂纹故障的时变啮合刚度计算研究与分析

程俊杰

重庆交通大学机电与车辆工程学院,重庆 400074

0 引言

齿轮在现代工业中起着十分重要的作用,具有效率高、结构紧凑、动态精度高的特点,因此,齿轮系统在航空航天、交通运输和海洋等领域,具有重要的作用[1]。齿轮系统由于结构复杂且经常在恶劣环境下工作,较容易发生故障,严重时会影响设备的正常运转。为此,研究含裂纹直齿轮副的时变啮合刚度,分析裂纹对齿轮系统动态特性的影响具有重要意义。

时变啮合刚度的计算和裂纹齿轮的动态特性分析已被国内外较多学者所研究。孙宇梦[2]基于齿轮啮合理论和牛顿定律,构建8自由度齿轮轴承耦合系统动力学模型,并通过仿真分析研究不同裂纹扩展长度对齿轮轴承系统动态响应的影响规律;祝赫锴 等[3]通过建立齿轮啮合的瞬态动力学仿真,得知了齿根最大应力节点处最容易萌生裂纹,并发现了裂纹转角度会随着加载位置的下移而减小;代鹏 等[4]通过应用势能法,构建齿轮副的齿根裂纹模型,并推导出其在局部故障发生后的时变啮合刚度的计算解析式,同时,对齿轮副在不同工况下的振动信号进行短时傅里叶变换,以分析其在不稳定工况下的振动特性。

在上述研究成果的基础上,本文利用势能法推导出了裂纹直齿轮副时变啮合刚度的改进算法,为了减小误差,将轮齿齿根简化为一个悬臂梁结构。为接近实际的工况,本文考虑了在基圆与齿根圆不重合的情况下,同时计算齿根裂纹区的裂变情况。通过分析不同的裂纹参数,可了解其对齿轮系统的影响规律。

1 齿轮裂纹时变啮合刚度模型建立

1.1 时变啮合刚度模型

齿轮根裂纹模型(见图1)给出了计算初始直裂纹齿轮副啮合刚度的简化悬臂梁模型,该齿轮副的主动轮齿存在裂纹故障。其中,齿廓曲线可分为过渡曲线CD、渐开曲线BC和齿顶曲线AB;Rr为齿根圆的半径;Rb为基圆半径;α1、α2、αg分别为啮合点的端面压力角、过渡线点C到中心线OY的压力角、啮合点B基圆切线的压力角。

图1 裂纹故障齿轮悬臂梁模型[5]

本文假设裂纹出现在点CD段,此处q1为裂纹深度;v为齿根裂纹与故障轮齿中心线所形成的夹角;hx为任意啮合点x距齿轮中心线的距离。由于CD段是过渡曲线函数,而BC段为渐开线函数,因此hx为参数x到中心线oy的坐标值。由BC段的渐开线性质可以得到如下函数。

hx=

(1)

式中:a1为齿轮滚刀顶圆角距中线距离;d1为过渡线CD两点的距离;r为分度圆半径;rρ为齿轮滚刀顶圆角半径;γ为变参数,α0≤γ≤π/2,α0为压力角。

因此,考虑轮齿的弯曲势能Ub、剪切势能Us、径向压缩势能Ua、赫兹接触势能Uh,采用势能法计算齿轮副啮合刚度。齿轮势能计算公式如下[6]。

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中:F为啮合力;Fb为周向力;kb为弯曲刚度;ks为剪切刚度;Fa为径向力;ka为径向压缩刚度;kh为赫兹接触刚度;kf为齿轮基体刚度;E为弹性模量;G为剪切模量;h为啮合点与轮齿中心线的距离;d为啮合点到齿轮齿根的距离;x为基圆到啮合点之间任意一点到基圆的距离;L为齿宽;v为泊松比;δf为齿轮基础体受载荷产生的变形;Ix为基圆到啮合点之间任意一点到基圆的距离为距离齿根圆x处齿轮截面惯性矩;Ax为截面面积。

由上述可知,每个单对直齿轮齿轮副总啮合刚度,公式如下[7]。

(8)

式中:下标中1代表主动轮、2代表从动轮。

1.2 齿轮裂纹刚度计算

本文采用势能法对直齿轮的时变啮合刚度进行建模。根据国内外学者研究,当齿轮啮合区域发生齿根裂纹故障时,齿轮整体就会发生变形,而单个轮齿的截面积Ax和惯性矩Ix也将发生变化,从而导致齿轮副的剪切刚度Ks、弯曲刚度Kb和径向压缩刚度Ka发生变化,但对齿轮基础体受载荷产生的变形和泊松比的变化不大,所以齿轮基体刚度和赫兹接触刚度影响很小,可以忽略不计。

Ix和Ax为轮齿惯性矩和截面积,可由下式计算。

他从未见天葬师有过那样的表现。面前这个已不知活了多大年岁的神权者，经历过了太多的事情，本已对一切变得麻木，却在与神明的沟通中，首次露出了绝望的表情。

(9)

(10)

式中:Ax1、Ix1为齿轮的正常面积矩和轮齿惯性矩;Ax2、Ix2为含有裂纹的面积矩和轮齿惯性矩。

利用Tian的结论,由式(9)(10)化简后,可得到齿轮副裂纹的弯曲刚度Kb为:

(11)

裂纹的剪切刚度Ks为:

(12)

裂纹的径向压缩刚度Ka为:

(13)

根据上述建立了齿轮副裂纹故障啮合刚度计算模型。

2 裂纹参数对直齿轮啮合刚度影响因素分析

通过调整裂纹参数的深度q、长度Lc、角度v值来研究不同齿根裂纹对直齿轮副时变啮合刚度的影响,本算例中主动轮的输入转速为1 600 r/min,其主要的参数设置与参数变化如表1所示。

表1 裂纹齿轮副计算参数

由表1可知,设定v为30°,Lc为10 mm,q为0,针对q为1、2、3 mm共3种不同裂纹深度情况对齿轮副时变啮合刚度进行计算,其计算结果如图2所示。

图2 不同裂纹深度的啮合刚度

设定裂纹角度v为30°,裂纹深度q为3 mm,q0为 0,针对裂纹长度Lc为5、10、15 mm共3种不同裂纹长度情况对齿轮副时变啮合刚度进行计算,求解结果如图3所示。

图3 不同裂纹长度的啮合刚度

设定裂纹深度q为2 mm,裂纹长度Lc为15 mm针对裂纹角度v变化15°、30°及45°的3种不同裂纹角度情况对啮合刚度进行计算,其计算结果如图4所示。

图4 不同裂纹角度的啮合刚度

3 结论

本文采用简化齿轮为悬臂梁的方式,利用势能法计算齿轮的时变啮合刚度,再根据改进后的时变裂纹刚度模型并通过MATLAB编程对不同深度、长度、角度的参数进行调整得到结果。结果表明:不同的齿轮副裂纹深度对啮合刚度有较大的影响,随着裂纹深度的增加,啮合刚度降低,且降低幅度变小;当裂纹为5mm时,齿轮副根部裂纹对综合啮合刚度的影响较小,啮合刚度随裂纹长度的增加而降低,且降低幅度明显增大;不同的裂纹角对齿轮副的啮合刚度影响不大,啮合刚度随裂纹角的增大略有增加。

本文讨论了单对齿轮的裂纹故障,后续研究中会考虑研究齿轮动态系统中多对齿轮副的时变啮合刚度的变化影响。