高阶剪切变形理论下Pasternak地基上FG-CNTRC梁自由振动及屈曲分析

杨立军, 彭林欣, 陈 卫

(1. 湖南文理学院 芙蓉学院,湖南 常德 415000; 2. 广西大学 土木建筑工程学院,南宁 530004; 3. 南华大学 土木工程学院,湖南 衡阳 421001)

自从1991年碳纳米管(carbon nanotubes, CNTs)被日本电镜学家Iijima[1]发现以来,因其高模量、高比表面积等特性而迅速成为材料科学与工程科学领域的研究热点。Shen[2]受到功能梯度材料的启发,将碳纳米管纤维以特定的形式排布而提出了功能梯度碳米管增强复合材料(functionally graded carbon nanotube-reinforced composite, FG-CNTRC)概念。梁、板、壳作为工程结构中最基本的元件,将这些元件设计成该新型的复合材料自然成为研究者们关注的焦点[3-6]。

对于FG-CNTRC梁的研究有:Ke等[7]基于一阶剪切变形理论(first order shear deformation theory, FSDT),采用微分求积法(differential quadrature method, DQM)研究了UD型和FG-Λ型梁的自由振动及屈曲问题;Lin等[8]基于三阶剪切变形理论(third-order shear deformation theoy, TSDT)和瑞兹法,分析了UD型、FG-V型、FG-O型和FG-X型梁的自由振动问题,得到简支边界条件下,FSDT梁与TSDT梁所获得数值结果基本一致,而固支结果差异较大;Voduy等[9]利用FSDT及有限元法,研究了碳纳米管增强层合梁的自由振动问题;Yas等[10]采用FSDT及广义微分求积法(generalized differential quadrature method, GDQM)讨论了不同地基系数、碳纳米管分布及效能参数对FG-CNTRC梁自由振动及临界屈曲荷载的影响;Shen等[11]利用GDQM研究了热环境下Pasternak地基上单壁碳纳米管(single-walled carbon nanotubes, SWCNT)增强纳米复合材料梁的非线性弯曲、振动和后屈曲行为;Wattanasakulpong等[12]基于不同剪切变形理论下,利用Navier解答给出了简支边界条件下Pasternak地基上FG-CNTRC梁线性弯曲、自由振动及屈曲的解析解;余阳等[13]根据流体滑移边界理论,建立了考虑流体和固体小尺度效应的充流SWCNT流固耦合动力学模型,再考虑了非局部应力效应、应变梯度效应和流体滑移边界效应模拟微观小尺度效应对系统的影响,推导了充流SWCNT的Euler-Bernoulli梁波动控制方程;Bensaid等[14]基于欧拉梁理论(Euler-Bernoulli theory, EBT),研究了热环境下Pasternak地基上FG-CNTRC梁的热屈曲问题;范健宇[15]基于FSDT结合Haar小波离散和直接迭代法,求解了非线性Pasternak地基上FG-CNTRC梁的非线性自由振动问题。

无网格法克服了网格类数值算法对网格的依赖,在涉及网格畸变、大变形等问题时具有明显的优势,但大部分无网格法的形函数构造不满克罗内克条件,存在边界施加困难问题[16]。移动克里金法是基于变异函数理论结构分析,通过对局部区域变量进行最优无偏估计而实现数据插值的算法,具备插值特性可以直接施加边界条件。该方法最早起源1951年,南非工程师Krige[17]为了实现威特沃特斯兰德的矿藏空间预测提出的回归方法。法国统计学家Matheron[18]定义了普通克里金(ordinary Kriging, OK)法,并给出严格的数学证明,为克里金法的发展奠定了的理论基础。Sacks等[19]成功将克里金法应用于计算机试验中,进一步推进克里金法在数值领域的应用。在此基础之上,Gu[20]使用克里金法构造无单元伽辽金法中的近似场函数,提出了一种新的插值型无网格方法。常用的多项式基函数在移动克里金无网格离散节点间距较小时,会使得插值变得不稳定。为了消除节点间距的影响,Tu等[21]采用归一化的多项式基函数而提出了稳定移动克里金插值(stabilized moving Kriging interpolation, SMKI)。

综上可知,目前对于FG-CNTRC梁的研究在国内较为罕见,且采用无网格法研究FG-CNTRC梁自由振动及屈曲未见相关报道。本文旨在采用稳定移动克里金插值研究不同高阶剪切变形理论下Pasternak地基上FG-CNTRC梁的自由振动及屈曲问题。首先给出不同高阶剪切变形理论的Pasternak地基上FG-CNTRC梁的无网格离散模型。随后通过基准算例,检验本文方法的收敛性及有效性。最后数值分析和讨论了不同高阶剪切理论、CNT分布、体积分数、地基系数等对FG-CNTRC梁的自由振动及临界屈曲荷载的影响。

1 数学模型

1.1 Pasternak地基上FG-CNTRC梁

为了在复合材料物理模型参数中能够计入尺寸、界面及应变梯度效应等影响,Shen于2009年考虑了碳纳米管的尺寸及温度依赖性,引入碳纳米管的效能参数而提出广泛应用的广义混合律模型

(1)

式中:ηj(j=1,2,3)为碳纳米管的效能参数,可通过匹配广义混合律模型预测得到的弹性模量、剪切模量及分析动力学计算得到的弹性模量、剪切模量得到;E11,CNT,E22,CNT,G12,CNT分别为碳纳米管的弹性模量和剪切模量, 下标11、下标22分别为沿着及垂直碳纳米管的方向;Em,Gm分别为基体的弹性模量和剪切模量;VCNT,Vm分别为碳纳米管和基体的体积分数。 FG-CNTRC梁泊松比和质量密度定义为

(2)

ρ=VCNTρCNT+Vmρm

(3)

式中:v12为FG-CNTRC的等效泊松比;v12,CNT,vm分别为碳纳米管和基体的泊松比;ρ为FG-CNTRC的等效密度;ρCNT,ρm分别为碳纳米管和基体的质量密度。

对于金属-陶瓷功能梯度材料,通常可假设金属/陶瓷材料满足幂律变化[22],但是FG-CNTRC在工程制备中只能做到线性梯度排布[23]。如图1所示,Pasternak地基上FG-CNTRC梁的长、高分别为L,h。以梁中面建立x-y-z坐标系,z为沿着厚度方向的坐标。本文考虑碳纳米管在基体的4种分布模式,即UD型、FG-Λ型、FG-O型和FG-X型,如图2所示。相应的体积分数可表示为

图1 Pasternak上功能碳纳米管增强梁Fig.1 A FG-CNTRC beam resting on Pasternak foundation

图2 碳纳米管4种分布类型Fig.2 Four types of CNT distribution

(4)

其中,

(5)

式中,wCNT为碳纳米管的质量分数。

Pasternak地基模型[24]为

qe(x,y)=Kww(x,y)-Ks(∂2w/∂x2)

(6)

式中:Kw为地基弹性模量;Ks为地基剪切模量。

1.2 应变及能量泛函

根据高阶剪切变形理论,假定变形前垂直于中面的法线在变形后为曲线,且不再垂直于中面。即高阶剪切变形理论考虑了横向剪切应变沿板厚的抛物线分布,梁的位移场可以表示为

(7)

式中:u0和w0分别为中性轴上任意一点沿着x轴和z轴的平动位移;v0为中性轴上任意一点的横向剪切应变,表达式如下

(8)

式中:φy为挠y轴的转动;t为时间;ψ(z)为沿梁厚度方向的横向剪切应变和应力的分布函数。通过选择不同的函数可以得到不同的剪切变形理论,表达式分别为

(1) 一阶剪切变形理论[25]

ψ(z)=z

(9)

(2) 三阶剪切变形理论(third-order shear deformation theory, TSDT)[26]

(10)

(3) 三角剪切变形理论(trigonometric shear deformation theory, TrSDT)[27]

(11)

(4) 双曲剪切变形理论(hyperbolic shear deformation theory, HSDT)[28]

(12)

(5) 指数剪切变形理论(exponential shear deformation theory, ESDT)[29]

(13)

根据几何方程,有应变-位移关系如下

(14)

(15)

根据胡克定律,有应力-应变关系如下

(16)

其中,

(17)

FG-CNTRC梁的应变能可写为

(18)

其中,

(19)

由式(6),Pasternak地基势能的一阶变分为

(20)

自由振动时,FG-CNTRC梁的动能为

(21)

屈曲时,FG-CNTRC梁势能为

(22)

将式(18)和式(20)～式(21)进行叠加,可得Pasternak地基上FG-CNTRC梁自由振动的总能量泛函为

Πv=Ub+Ue-Θ

(23)

将式(18)和式(20)、式(22)进行叠加,可得Pasternak地基上FG-CNTRC梁屈曲的总能量泛函为

Πb=Ub+Ue-Wg

(24)

1.3 稳定移动克里金插值

假设点x的子域Ωx中的移动克里金(moving Kriging, MK)插值uh(x)是线性回归模型和偏差的组合,可定义为

(25)

式中:pi(x)为单项基函数;ai(x)为相应的系数;num为基函数个数。

为了防止节点间距影响MK近似的稳定性,采用归一化的基函数p(x)如下

(26)

式中:xe为Ωx中任意点xe的坐标;dnum为子域Ωx的影响半径

dnum=αdave

(27)

式中:dave为平均节点间距;α为比例因子。

式(25)中z(x)表示点x的随机偏差、均值为0,方差σ2,z(xi)和z(xj)之间的协方差表示为

Cov{z(xi),z(xj)}=σ2R[R(xi,xj)]

(28)

式中:R[R(xi,xj)]为相关矩阵;R(xi,xj)为位于Ωx的任意两个节点(xi,xj)之间的相关函数。本文采用常用高斯函数为

(29)

式中,a0为支持域Ωx中一对节点之间的最大距离。

基于最佳线性无偏预测(best linear unbiased prediction, BLUP),式(25)可改写为

uh(x)=N(x)u=[PT(x)A+RT(x)B]u

(30)

式中:N=[N(x,x1),N(x,x2), …,N(x,xn)]为形函数矩阵;uT=[u1,u2, …,un]为节点xi处的节点值;A和B分别为

(31)

其中,

稳定移动克里金形函数具有Kronecker delta特性,可以直接施加本质边界条件,表达式如下

(32)

1.4 控制方程

对FG-CNTRC梁采用一系列节点xI,I=1,2,…,n进行离散,利用式(30)可得到近似位移为

(33)

将式(33)代入式(23),根据Hamilton原理可得Pasternak上FG-CNTRC梁自由振动控制方程为

(34)

相应的特征方程为

(K-ω2M)δ=0

(35)

其中,

将式(33)代入式(24),根据最小势能原理,由δΠb=0可得Pasternak地基上FG-CNTRC梁屈曲控制方程为

(K-NcrG)δ=0

(36)

1.5 边界条件

考虑固支(C)、铰结(H)和自由(F)三种边界条件,以x=±L/2为例有:C,u0=w0=φy=0; H,u0=w0=0; F,没有限制。

2 数值结果与讨论

本章首先通过FSDT及不同剪切变形理论下Pasternak地基上两端铰结FG-CNTRC梁4个算例,验证本文方法的收敛性及有效性;接着给出不同高阶剪切理论、地基系数、碳纳米管分布下FG-CNTRC梁自由振动及屈曲相关算例,并对其参数分析。

表1 CNTs的材料参数Tab.1 Material parameters of CNTs

表2 CNTs的效能参数Tab.2 Efficiency parameters of CNTs

2.1 收敛性及有效性分析

以Pasternak地基上两端铰结FG-CNTRC梁为例,验证本文方法计算自由振动的收敛性。表3给出了一阶剪切变形理论下Pasternak地基上两端铰结FG-CNTRC梁(L/h=15)的无量纲基础频率收敛情况,Yas等研究中基于FSDT的广义微分求积法的数值结果,如表3所示。由表3可知,随着无网格节点数的增多,采用本文方法计算得到的结果能够迅速逼近文献解。当采用11个节点数进行离散时,本文解与文献解基本一致,证明本文方法求解Pasternak地基上FG-CNTRC梁的自由振动具有良好的收敛性。

表3 一阶剪切变形理论下两端铰结Pasternak地基上FG-CNTRC梁的无量纲基础频率收敛性分析 Tab.3 Convergence analysis of dimensionless fundamental frequency of FG-CNTRC beam on Pasternak foundation with hinged-hinged boundary condition

采用3,7,11,15,17无网格节点数计算一阶剪切变形理论下Pasternak地基上两端固支FG-CNTRC梁的无量纲临界屈曲荷载,并与Yas等研究中基于FSDT的GDQM得到的结果进行对比,如表4所示。由表4可知,随着无网格节点数的增多,数值结果趋近于文献解。证明了本文方法中一阶剪切变形理论框架下求解Pasternak地基上FG-CNTRC梁临界屈曲荷载具有较好的收敛性。与文献解对比,4种CNT分布型误差分别为UD型——1.428%,FG-Λ型——1.242%,FG-O型——0.748%和FG-X型——2.159%,证明了本文方法求解Pasternak地基上FG-CNTRC梁屈曲问题的有效性。

表4 一阶剪切变形理论下Pasternak地基上两端固支FG-CNTRC梁的无量纲临界屈曲荷载收敛性分析 Tab.4 Convergence analysis of dimensionless critical buckling load of FG-CNTRC beam on Pasternak foundation with clamped-clamped boundary condition under the FSDT

采用N=11计算了体积分数为0.12,跨高比L/h=15,Pasternak地基上两端铰结FG-CNTRC梁在不同剪切变形理论下的无量纲基础频率及临界屈曲荷载,并将Wattanasakulpong等只考虑简支边界条件下的解析解进行对比分析,FSDT*的数值结果来源于Yas等的研究,如表5和表6所示。由表5和表6可知,本文解与文献解吻合良好,证明了基于不同剪切变形理论的稳定移动克里金插值求解Pasternak地基上两端铰结FG-CNTRC梁自由振动及屈曲的有效性及准确性。

表5 不同剪切变形理论Pasternak地基上两端铰结FG-CNTRC梁无量纲基础频率Tab.5 Dimensionless fundamental frequencies of FG-CNRC beams on Pasternak foundation with hinged-hinged boundary condition under different shear deformation theories

表6 不同剪切变形理论下Pasternak地基上两端铰结FG-CNTRC梁无量纲临界屈曲荷载Tab.6 Dimensionless critical buckling load of FG-CNRC beams on Pasternak foundation with hinged-hinged boundary condition under different shear deformation theories

据以上分析,后续算例分别采用6个,11个,13个,16个,21个,26个,31个,36个和41个节点对跨高比L/h为5,10,12,15,20,25,30,35和40的FG-CNTRC梁进行离散。

2.2 自由振动参数分析

体积分数为0.17,跨高比L/h=10的FG-CNTRC梁无量纲基础频率,如表7所示。由表7可知,采用本文方法中的一阶、三阶剪切变形理论计算所获得数值结果与Lin等基于一阶、三阶剪切理论的瑞兹法结果较为近似,说明了本文方法求解不同边界条件下FG-CNTRC梁自由振动的准确性。另外还可知铰结边界条件时,不同高阶剪切理论数值结果与一阶剪切变形理论的结果相差甚少,而固支边界条件时,二者相差极大。导致其形成较大差异的主要原因是二者理论下的固支和铰结端名义剪应变差异较大。这也说明了基于高阶剪切变形理论的数值算法必要性。

表7 不同剪切变形理论下FG-CNTRC梁无量纲基础频率Tab.7 Dimensionless fundamental frequencies of FG-CNRC beams under different shear deformation theories

体积分数为0.17,跨高比L/h=0.12的Pasternak地基上UD型、FG-Λ型及FG-X型梁在不同高阶剪切变形理论下前4阶无量纲自振频率,如表8和表9所示。由表8和表9可知,3种CNT分布型梁的自振频率均随着地基系数增大而增大。同样可以发现在固支边界条件下,FSDT与不同高阶剪切理论所得到的数值结果差异较大。体积分数为0.17,跨高比L/h=12, 地基系数(kw,ks)=(0.10,0.02)不同剪切理论下两端固支Pasternak地基UD型梁前4阶振动模态,如图3所示。4种不同的高阶剪切变形理论与FSDT的模态基本一致。

表8 不同高阶剪切变形理论下两端铰结/固支UD型梁前4阶无量纲自振频率Tab.8 Dimensionless first-four natural frequencies of UD beams with H-H/C-C boundary condition under different shear deformation theories

表9 两端铰结FG-Λ型及FG-X型梁前四阶无量纲自振频率Tab.9 Dimensionless first-four natural frequencies of FG-Λ/FG-X beams with hinged-hinged boundary condition

图3 不同剪切理论下Pasternak地基上两端固支UD型梁前4阶振动模态Fig.3 The first four vibration modes of UD beam on Pasternak foundation with clamped-clamped boundary condition under different shear theories (L/h=12, (kw, ks)=(0.10,0.02))

不同边界条件、体积分数、CNT分布下Pasternak地基上FG-CNTRC梁无量纲基础频率随跨高比的变化,相关计算参数如图4～图6所示。由图3～图5可知,Pasternak地基上FG-CNTRC板的基础频率存在以下规律:①随着跨高比的增大而减少;②当体积分数为0.28所获得基础频率最大,体积分数为0.17次之,体积分数为0.12最小;③4种CNT分布型的基础频率为FG-X型>UD型>FG-Λ型>FG-O型,其中UD型和FG-Λ型基础频率相差较少。导致出现上述规律的根本原因是参数的变化引起结构的刚度变化。除此之外,还可以发现FG-CNTRC板的基础频率随着边界约束的加强而增大,4种边界条件下的基础频率大小依次为C-C>C-H>H-H>C-F。

图4 不同边界条件下Pasternak地基上FG-X型梁无量纲基础频率随跨高比的变化Fig.4 Variation of dimensionless fundamental frequency of FG-X beam on Pasternak foundation with span-height ratio under different boundary conditions

图5 不同体积分数下Pasternak地基上FG-X型梁无量纲基础频率随跨高比的变化Fig.5 Variation of dimensionless fundamental frequency of FG-X beam on Pasternak foundation with span-height ratio under different volume fractions

图6 不同CNT分布下Pasternak地基上FG-CNTRC梁无量纲基础频率随跨高比的变化Fig.6 Variation of dimensionless fundamental frequency of FG-CNTRC beam on Pasternak foundation with span-height ratio under different CNT distributions

2.3 屈曲参数分析

运用本文方法对Pasternak地基上FG-CNTRC梁的临界屈曲荷载进行分析和讨论。不同剪切变形理论、地基系数、CNT分布形式及体积分数对两端铰结FG-CNTRC梁(L/h=15)临界屈曲荷载的影响,如表10所示。由表10可知:临界屈曲荷载随着地基系数的增大而增大,随着CNT体积分数的增大而增大;对于L/h=15的Pasternak地基上FG-CNTRC梁,不同横向剪切变形理论下所获得该算例的数值结果差异较小。不同剪切变形理论下Pasternak上两端铰结FG-X型梁临界屈曲荷载随跨高比的影响,如表11所示。研究结果可以发现:FG-CNTRC梁的临界屈曲荷载随着跨高比的增大而减少;当跨高比大于30时,高阶剪切变形理论下所获得数值结果与FSDT结果相差甚少。

表10 不同剪切变形理论下Pasternak地基上两端铰结FG-CNTRC梁临界屈曲荷载(L/h=15)Tab.10 Dimensionless critical buckling load of FG-CNRC beams on Pasternak foundation with hinged-hinged boundary condition under different shear deformation theories (L/h=15)

表11 不同剪切变形理论下Pasternak地基上两端铰结FG-X型梁临界屈曲荷载Tab.11 Dimensionless critical buckling load of FG-X beams with hinged-hinged boundary condition under different shear deformation theories (kw, ks)=(0.10,0.02))

不同边界条件、体积分数、CNT分布下Pasternak地基上FG-CNTRC梁无量纲临界屈曲荷载随跨高比的变化,相关计算参数如图7～图9所示。由图7～图9可知,Pasternak地基上FG-CNTRC的临界屈曲荷载存在以下规律:①随着跨高比的增大而减少;②边界条件下的临界屈曲荷载大小依次为C-C>C-H>H-H>C-F;③3种体积分数下的临界屈曲荷载大小依次为0.28>0.17>0.12;④4种CNT分布型的临界屈曲荷载为FG-X型>UD型>FG-Λ型>FG-O型,其中UD型,FG-Λ型相差较少。

图7 不同边界条件下Pasternak地基上FG-X型梁无量纲临界屈曲荷载随跨高比的变化Fig.7 Variation of dimensionless critical buckling load of FG-X beam on Pasternak foundation with span-height ratio under different boundary conditions

图8 不同体积分数下Pasternak地基上FG-X型梁无量纲临界屈曲荷载随跨高比的变化Fig.8 Variation of dimensionless critical buckling load of FG-X beam on Pasternak foundation with span-height ratio under different volume fractions

图9 不同CNT分布下Pasternak地基上FG-CNTRC梁无量纲临界屈曲荷载随跨高比的变化Fig.9 Variation of dimensionless critical buckling load of FG-CNTRC beam on Pasternak foundation with span-height ratio under different CNT distributions

3 结 论

本文基于不同高阶剪切变形理论,采用稳定移动克里金插值求解了Pasternak地基上功能梯度碳纳米管增强复合材料梁的自由振动及屈曲问题。通过基准算例验证了本文方法的收敛性及有效性。分析和讨论了不同高阶剪切理论、地基系数、边界条件、CNT体积分数及分布型对其自振频率及临界屈曲荷载的影响,数值结果发现:

(1) 基于不同高阶剪切变形理论所获得的自振频率与基于一阶剪切变形的数值结果存在一定差异,其中固支边界得到的自振频率相差极为明显。

(2) 自振频率及临界屈曲荷载均随着地基系数的增大而增大,随着跨高比的增大而减小,随着边界条件约束的增强而增大。

(3) CNT分布及体积分数对结构刚度的影响较大,导致FG-CNTRC梁的自振频率及临界屈曲荷载影响差异较大,体积分数和CNT分布对FG-CNTRC梁的结构刚度大小分别依次为0.28>0.17>0.12,FG-X型>UD型>FG-Λ型>FG-O型。