“理论物理”课程视域下的正五边形格点热输运性质

陈桂林,冯慕缇,金海兰, 廖艳华*

(1.湖北理工学院 数理学院, 湖北 黄石 435003;2.吉林省长白山保护开发区管理委员会 经济发展局,吉林 延边朝鲜族自治州 133613)

具有三角形和四面体结构的格点模型的几何阻挫会引起较为丰富的物理现象。一些理论工作者尝试着利用扩展的玻色子Hubbard模型和蒙特卡洛方法在数值上对开罗五边形晶格(Cairo Pentagonal Lattice)进行研究。Waldor等[1]采用传递矩阵法(Transfer Matrix Approach)研究了具有五边形晶格特征的彭罗斯格点(Penrose Lattice)的磁化机制,发现了五边形格点中的几何阻挫现象。Iliev等[2]证实具有开罗五边形晶格结构的反铁磁物质Bi2Fe4O9能显示出明显的阻挫现象。 Urumov等[3]利用修饰后的伊辛模型对二维开罗五边形格点进行了研究,并讨论了临界温度和自发磁化特性。Rojas等[4]采用扩展的伊辛模型进一步研究了在临界温度附近阻挫对五边形格点模型的热力学和相变影响,发现了新的阻挫相。

伊辛模型最初用于解释铁磁相变[5-6],现被广泛推广应用于研究自然、社会和人工系统中的临界现象。本文将采用伊辛模型研究准晶中的正五边形格点模型,讨论磁化强度、自由能和热容量等热力学函数,以期明确准晶内部的热力学和量子涨落现象。

1 正五边形格点中的伊辛模型

伊辛模型是研究磁性材料相变问题的众多模型中较为简单的模型之一[7],常被用来解释晶格格点间由自旋相互作用产生的交换强度与磁场之间竞争所引起的物理问题[8-10]。正五边形格点模型示意图如图1所示。

图1 正五边形格点模型示意图

考虑外加磁场和最近邻的格点间的自旋相互作用,采用伊辛模型描述正五边形晶格的哈密顿量：

H1=J1S1ZS2Z+J2S2ZS3Z+J3S3ZS4Z+J4S4ZS5Z+J5S1ZS5Z-B(S1Z+S2Z+S3Z+S4Z+S5Z)

(1)

考虑32种组合,利用式(1)所示的系统哈密顿表达式可以得到系统32种自旋情况下的能量表达式：

对于正五边形晶体结构,由于每个格点都被定域在正五边形的一个顶点上,可以认为每个格点都是可区分的,统计规律满足玻耳兹曼统计。此时,引入玻耳兹曼配分函数：

(2)

利用磁矩(M)、自由能(F)和热容量(CV)与配分函数间的关系,可以得到系统内各热力学函数的精确解：

(3)

F=-NklnZ

(4)

(5)

2 正五边形格点热输运性质分析

2.1 磁场和交换强度对正五边形格点磁化强度的影响

在没有磁场和交换强度的作用下,每个格点的自旋方向在Z轴上的投影是随机的,均有等概率的向上或向下两种可能方向。通过哈密顿量分析(式(1)),遵循能量越低越稳定的基本原理,交换强度J的作用是使格点间形成反铁磁关联,磁场的作用是使格点间形成铁磁关联,可以通过正五边形格点间的磁化强度呈现两个物理量对系统的影响。

(a) 交换强度 (b) 磁场

2.2 磁场和交换强度对正五边形格点自由能的影响

为了研究正五边形格点结构的稳定性,将分别计算正五边形和一个由正三角形与正三角形边长相等的正方形构成的五边形[11](此后用五边形描述)的自由能。正五边形格点与五边形格点自由能曲线如图3所示。

图3 正五边形格点与五边形格点自由能曲线

从图3可以发现,在弱磁场下,正五边形的自由能比五边形的自由能低,表明此种情况下,正五边形稳定性好。随着磁场强度或交换强度增大,五边形的自由能比正五边形的自由能低,说明此时五边形的稳定性比正五边形的稳定性好。改变磁场或交换强度,都能使格点的结构发生改变,五边形或正五边形结构具有不稳定性。

2.3 磁场和交换强度对正五边形格点热容量的影响

格点间的交换强度是导致正五边形结构的格点中存在阻挫的主要因素。接下来,将重点关注正五边形格点中热容量随磁场和交换强度变化的情况。不同磁场作用下正五边形格点的热容量随交换强度的变化曲线如图4所示。

图4 不同磁场作用下正五边形格点的热容量随交换强度的变化曲线

由图4可知,在无外加磁场下,热容量随着交换强度变化出现了双峰结构。当交换强度为负值时,格点间为铁磁关联,此时左边的峰是正五边形格点间为铁磁关联时所具有的热容量;当交换强度为正值时,格点间逐渐显现反铁磁关联,此时右边的峰是正五边形格点间为反铁磁关联时具有的热容量。同时也注意到一个有趣的现象,曲线的左边峰值高,右边峰值低。这是由于交换强度为负值时格点间形成的铁磁性比交换强度为正值时格点间为反铁磁关联时更为有序。在有外加磁场作用下,热容量峰值出现的位置右移,且峰值被抑制。这是由于磁场与交换强度竞争所致,磁场要抵消一部分交换强度的作用,使格点间的关联有序。这与文献[12]所得结论一致。这里需要特别指出的是,磁场能导致热容的两个峰值间距变小,是磁场能使格点的自旋更有序所致。当交换强度不变时,温度的变化也会导致J/T发生变化。在一定磁场作用下,热容量的最大值会向着温度增加(高温区)的方向移动。这与文献[13]所得结论相符。

3 结论

将伊辛模型与热力学函数联系在一起,得出磁场和格点之间的交换强度对系统宏观性质和微观状态的影响。①正五边形格点的磁化强度随磁场或交换强度的增强出现磁化平台,平台的宽度与交换强度或磁场的大小有关,反映出磁场与交换强度的竞争规律;②比较正五边形和五边形格点的自由能,发现两种五边形格点结构的自由能会随着磁场或交换强度增加而交替出现,表明两种结构具有不稳定性;③热容量的振荡宽度与磁场强度有关,且呈现一定的规律性。经过对有限格点的热力学性质和磁化过程中各格点磁化微观机制进行较为精确的计算,所得的结果也能和无限格点中的数值结果进行较好的对比,所得解析解对数值求解和准晶的研究有一定的指导意义。