基于新型SMO的永磁同步电机无位置传感器矢量控制系统

袁佳俊 刘 娟 康轩源 雷翔霄

（长沙民政职业技术学院，湖南 长沙 410004）

永磁同步电机（permanent magnet synchronous motor,PMSM）因其具有体积小、效率高、过载能力强等诸多优势，在电动汽车、数控机床等多个应用领域中发挥了巨大作用，尤其是在先进制造领域传动系统、大型舰船电力推进系统领域具有巨大的发展潜力[1-3]。为了提高PMSM的控制性能，矢量控制技术被广泛应用于调速系统，并取得了良好的系统性能。然而，这种控制技术通常需要精确位置信息，通常是由高精度的位置传感器来实现。但位置传感器的使用也存在一些弊端，如增加电机的体积、成本和降低运行可靠性。为了解决这些问题，用观测器来替代位置传感器成为电机控制领域的重要研究方向。

主流的观测器有模型参考自适应法（Model Reference Adaptive System,MRAS）、扩展卡尔曼滤波法（Extended Kalman Filter,EFK）和滑模观测器（Sliding mode observer,SMO）等[4-7]。由于MRAS和EFK算法对电机参数十分敏感，导致鲁棒性较差。与之相比，SMO由于具有滑模控制的特性，能够快速达到稳定状态，具有参数不敏感性，因此具有更强的参数鲁棒性和较快的动态响应。然而，滑模控制本身会导致抖振问题，且观测到的转子位置信息易受抖振影响，导致观测精度降低。因此，改善SMO的高频抖振问题成为国内外学者的研究热点。

文献[8]采用变指数趋近律结合非奇异快速终端滑模控制方法有效减小系统抖振，提高控制系统的动态响应能力和抗干扰能力。文献[9]则使用sigmoid函数替换传统滑模观测算法中的开关函数，减轻了固有的抖振，且省略滤波环节。文献[10]利用分段指数型函数替代开关函数，分段调节边界层厚度，有效降低了高频抖振。文献[11]采用自适应算法略去了传统的低通滤波器，提高了观测精度，显著减弱了系统抖振。文献[12]设计了一种新型分数阶趋近律，并采用改进的非线性转速环扩展状态观测器来获取精确的转子速度信息。文献[13]则用双曲正切函数替换传统滑模观测算法中的开关函数，提高了速度和位置观测的精度。这些研究主要通过改变或优化开关函数或增加低通滤波功能来减轻抖振问题。

本文主要是通过改善滑模面来改善高频抖振，提高观测精度，提出了一种新型SMO。该新型SMO达到了省略低通滤波器、减小系统稳态误差、削弱抖振的效果。

1 永磁同步电机数学模型

1.1 静止坐标系下PMSM数学模型

PMSM在α、β两相静止坐标系下数学模型为：

其中：Ld、Lq为d轴、q轴电感；ωe为电角速度；R为定子电阻；微分算子；[uαuβ]T为定子电压；[iαiβ]T为定子电流；[EαEβ]T为扩展反电动势（EMF），且满足：

其中：ψf为磁链。

对于表贴式三相PMSM(Ld=Lq=Ls)表达式（2）为仅与电机的转速有关，则能从其中提取转子电角速度ωe和电角度θe，即：

2 新型SMO设计

2.1 静止坐标系下SMO构造

静止坐标系下Eα、Eβ可以通过构建的SMO估算得到，估算到的扩展反电动势Eα、Eβ可以通过式（3）反正切函数计算出位置信息，则将式（1）改写成电流的状态方程形式：

传统SMO的设计通常如下：

将式（4）和式（5）作差，可得定子电流的误差方程有：

设计滑模面函数：

设计滑模控制律为：

其中：

图1 传统SMO算法的实现原理框图

2.2 一阶系统积分滑模函数

传统SMO中是使用s=ce的滑模面函数和等速趋近律=-εsgns的组合，速度跟踪精度不够，由式（6）可得本文研究系统是一阶系统隶属于式（10）：

其中：u(t)为控制输入。本文针对一阶系统引入积分设计滑模函数和指数趋近律的组合，减小系统稳态误差，有效抑制抖振，并且不会出现变量的二阶导数。

其中：c>0

跟踪误差为e1=x-xd，其中xd为理想信号，定义Lyapunov函数为：

其中，k>0。

将式（14）代入式（13）中得：

对式（12）求导得结合式（11）、式（13）：

不等式方程（16）的解为：

本文采用式（18）积分滑模函数，即：

其中：c1>0,c2>0。本文选取c1=20,c2=1000。

其中：=-Ks是指数趋近项，其解为s=s(0)e-Ks。

在指数趋近律中，为了保证快速趋近的同时削弱抖振，本文选取K=2000,ε=20。

使用积分设计滑模函数和指数趋近律的组合代替传统滑模函数，则将式（7）、（9）改写为：

2.3 sigmoid函数SMO构造

传统的SMO采用不连续的开关函数，尽管一些改进型的控制策略采用饱和函数来替代，以缓解由开关函数突变引起的抖振问题，但抖振现象依然显著。本文深入对比分析了sgn、sat、sigmoid和tanh这四种常用的切换函数，如图2所示。开关函数以0为界，当输入值出现小扰动时，输出值变化加剧，导致系统出现高频抖动。sat函数是一条线性变化的直线，这样可以大大减弱抖振但鲁棒性能减弱；sigmoid函数是一条连续变化的曲线，因其能在保证鲁棒性的程度下又能为了最大程度减弱抖振问题，本文采用sigmoid函数来替代开关函数。

图2 sgn、sat、sigmoid、tanh函数图像根据实际控制

要求得sigmoid函数公式：

其中：a是正常数，它的大小影响函数的收敛性。

本文对sigmoid函数的a值进行了深入讨论，针对a取2、10、20、100进行了详细的图像分析，如图3所示。从图3的波形分析中可以得出，在a>1的条件下，随着a值的增大，sigmoid函数的收敛速度加快，滑模控制系统的响应速度也随之提升。然而，a值的增大也导致了函数边界层厚度的减小，使得曲线特征更接近sgn函数，如图3中a=100的曲线所示，这可能导致滑模抖振的产生。相反，当a取值较小时，sigmoid函数的边界层厚度增大，曲线更为平滑，产生的滑模抖振较小，如图3中a=2的曲线所示。在本文中选取a=20，以满足系统的精度和鲁棒性要求。使用sigmoid函数来替代传统的开关函数，可以将式（5）进行如下改写：

2.4 李雅普诺夫稳定性分析

在各种改进型的SMO中，最终的目标都是使估计值收敛到滑模面上。为了验证新型SMO的稳定性，采用了李雅普诺夫（Lyapunov）函数进行判断。

建立Lyapunov稳定性方程为：

对式（23）求导得：

根据稳定条件，需要满足：

本文研究对象为表贴式PMSM有Ld=Lq，将式（6）代入式（25）得：

由于sigmoid函数性质，值域为（-1,1），所以εsigmoid(sβ)eq相比于Ksβ可忽略，所以将式（26）改写为：

2.5 反正切函数的转子位置估计

传统SMO控制量通常为了获取连续的扩展反电动势估计值需要加入一个低通滤波器。但通过低通滤波处理后观测反电动势会发生幅值和相位的变化。因此为了获取精确转子位置信息，通常将式（3）进行补偿。

由于滤波处理后会导致相位延迟，直接影响观测精度。为了解决这一问题，本文采用sigmoid函数替代不连续的高频切换信号，从而消除高频切换信号的影响。同时，利用积分滑模面可以实现滤波的效果，避免了滤波器后观测反电动势发生的幅值和相位变化，并减少了角度补偿环节的需求。综上所述，新型SMO算法的实现原理如图4所示：

图4 新型SMO实现原理框图

3 仿真实验结果与分析

在MATLAB/Simulink仿真平台上，基于一台三相永磁同步电机进行系统仿真，系统参数详见表1。选用定步长ode3（Bogacki-Shampine）算法，并将仿真步长设置为2×10-7s。在控制策略方面，采用id=0的电流、转速双闭环控制，并将参考转速设定为Nref=1000r/min。根据仿真结果，进一步分析了基于SMO的矢量控制系统的仿真特性。

表1 PMSM-SMO仿真系统参数

综上所述，基于SMO的三相PMSM无位置传感器矢量控制系统如图5所示，该系统在传统的矢量控制技术基础上进行了改进，增加了无传感器控制策略。在无传感器控制策略中，转速反馈值和转子位置的估计均依赖于SMO的输出，从而实现了对机械传感器的有效替代。

图5 基于SMO的三相PMSM无位置传感器矢量控制系统

根据图5的矢量控制系统，本文构建了仿真模型，并进行了四组不同观测器的仿真实验，分别为基于开关函数、饱和函数、sigmoid函数SMO以及新型SMO。电机速度变化曲线如图6～图7所示。从图6可以看出，在稳态时，饱和函数、sigmoid函数以及新型SMO的速度平稳性明显优于开关函数。进一步观察图6（a）中的局部放大图A、B，可以发现基于新型SMO的系统在启动阶段能够更快地稳定到目标转速，跟踪速度快且精度高。

图6 基于不同SMO矢量控制系统的转速变化

图7 基于不同SMO矢量控制系统的转速误差变化

由图7可见，相较于基于开关函数的传统SMO控制系统中，转速误差剧烈波动，启动阶段的抖振较大。基于sigmoid函数的传统SMO控制系统中，稳态误差在1.5~1.9r/min范围内，抖振有明显的减弱。

而在基于设计的新型SMO控制系统中，从启动到稳态的过渡时间明显缩短，且转速误差在0.1~0.4r/min范围内，抖振有显著削弱。与上述三种观测器相比，新型SMO的效果更佳。从仿真结果可以看出，电机在加速到目标转速1000r/min过程中，新型SMO的转速估计误差在加速阶段有所改善，稳定运行后转速估计误差在0.1附近波动。

4 总结

本文利用sigmoid函数特性在降低系统抖振的同时还引入了积分滑模面，旨在提高系统的跟踪精度并进一步削弱抖振。基于这两项改进，设计了一种新型SMO。为了验证其稳定性，根据Lyapunov稳定性分析，并在MATLAB/Simulink仿真平台上，对该系统进行了仿真实验。通过与基于开关函数、饱和函数和sigmoid函数的SMO控制系统进行比较，结果显示新型SMO在稳定运行过程中的速度观测误差在0.01附近波动，显著降低了系统抖振，并提高了观测精度。