最优三元循环码的一些注记

高艳艳

(南京工程学院数理学院, 江苏 南京 211167)

1 准备工作

给定素数q,那么包含j的q-分圆陪集定义为:Cj={jqsmod (qm-1):s=0,1,…,m-1}.

引理1[12]任取e(1≤e≤qm-2)使得gcd(e,qm-2)=2,那么q-分圆陪集Ce的基数等于m.

由Sphere Packing界可知,具有参数[3m-1,3m-1-2m,4]的码是最优的.文献[12]给出了三元码C(1,e)是最优的充分必要条件.

定理1[12]设e∉C1且|Ce|=m,那么三元码C(1,e)的参数为[3m-1,3m-1-2m,4]当且仅当条件成立:

1)e是偶数;

2) 方程(x+1)e+xe+1=0在F3m中有一个根x=1;

3) 方程(x+1)e-xe-1=0在F3m中有一个根x=0.

需要以下引理来计算不可约多项式.

引理2[16]设f(x)是Fp上n次不可约多项式,其中p是素数的方幂,那么f(x)=0在Fpn中有一根.进一步可知,f(x)=0在Fpn上的所有根都是单根,可记为x,xp,xp2,…,xpn-1.

举例说明引理2.令f(x)=x3+x2-x+1∈F3[x],可得到f(0)=1和f(1)=f(2)=2,所以多项式f(x)是F3的一个三次不可约多项式.因此,根据引理2,f(x)=0在F3n中没有根.

引理3[16]设g(x)是Fp上非常数多项式,其中p是素数的方幂,那么对任意的多项式f(x)∈Fp[x],存在多项式h(x)∈Fp[x],r(x)∈Fp[x],使得f(x)=h(x)g(x)+r(x),其中degr(x)

引理4[16]设Fp为有限域且n是正整数,其中p是素数的方幂,则Fp[x]中次数整除n的所有首一不可约多项式的乘积为xpn-x.

给定f(x)∈Fp[x],由引理3和引理4可以计算f(x)的不可约因式的次数.例如,令f(x)=x8-x7-x5+x3+x2+1,由引理3可知gcd(f(x),x33-x)=1且gcd(f(x),x34-x)=x2-x-1.因此,由引理4可知f(x)有不可约因式x2-x-1,并且没有次数为1、3、4的不可约因式.这就意味着f(x)有一个6次不可约因式.

2 主要结果

本文部分解决文献[12]中的公开问题7.9.

1)m是奇数,m≢0(mod 3);

2)h是奇数;

3) gcd(h,m)=1.

那么该三元循环码C(1,e)的参数是否为[3m-1,3m-1-2m,4].

考虑情形:h=m-2.

证明：由于e为偶数,显然e∉C1.证明|Ce|=m.而

(1)

(2)

将方程(2)两边同时取3m幂可得:

(3)

分4个情形进行讨论:

情形1,x+1∈D0,x∈D0.此时方程(3)可以化简为(x+1)23+x23+1=0.记f(x)=(x+1)23+x23+1.由引理3可得,gcd(f(x),x3-x)=x+1,gcd(f(x),x32-x)=(x+1)(x2+1),gcd(f(x),x33-x)=x+1,且gcd(f(x),x34-x)=(x+1)(x2+1)(x4+x3+x2+x+1).由引理4可知f(x)的不可约因式为:x+1、x2+1、x4+x3+x2+x+1.事实上,f(x)在F3上的标准分解为(x+1)×(x2+1)(x4+x3+x2+x+1)(x16-x15+x14-x13-x11-x9-x8-x7-x5-x3+x2-x+1).因为x=0和x=-1都不是方程(x+1)e+xe+1=0的解,因此当m≢0(mod 3)时,方程(2)在F3m上无解.

情形2,x+1∈D1,x∈D0.此时方程(3)可以化简为(x+1)23-x23-1=0.记g(x)=(x+1)23-x23-1.由引理3可得,gcd(g(x),x3-x)=x(x+1)(x-1),gcd(g(x),x32-x)=x(x+1)(x-1),且gcd(g(x),x33-x)=x(x+1)(x-1).由引理4和degg(x)=22可知g(x)的因式为:x、x+1、(x-1)2,不可约因式为:x6-x5-x3-x+1、x6-x4-x3+x2-x-1、x6+x5-x4+x3+x2-1.因为x=0和x=-1都不是方程(x+1)e+xe+1=0的解,因此当m≢0(mod 3)时,方程(2)在F3m上仅有解x=1.

情形3,x+1∈D0,x∈D1.此时方程(3)可以化简为(x+1)23-x23+1=0.记h(x)=(x+1)23-x23+1.由引理3可得,gcd(h(x),x3-x)=1,gcd(h(x),x32-x)=x2+x-1,且gcd(h(x),x33-x)=(x2+x-1)(x4-x3+x2+1).由引理4可知h(x)的不可约因式为:x2+x-1、x4-x3+x2+1.事实上,h(x)在F3上的标准分解为(x2+x-1)(x4-x3+x2+1)(x16-x15+x13+x12+x10+x8+x5+x3-x2+x-1),因此当m≢0(mod 3)时,方程(2)在F3m上无解.

情形4,x+1∈D1,x∈D1.此时方程(3)可以化简为(x+1)23+x23-1=0.记t(x)=(x+1)23-x23+1.由引理3可得,gcd(t(x),x3-x)=x,gcd(t(x),x32-x)=x(x2-x-1),且gcd(t(x),x33-x)=x(x2-x-1)(x4+x2-x+1).由引理4可知t(x)的不可约因式为:x、x2-x-1、x4+x2-x+1.事实上,t(x)在F3上的标准分解为x(x2-x-1)(x4+x2-x+1)(x16-x15+x14-x13-x11-x8-x6-x4-x3+x-1).因为x=0不是方程(x+1)e+xe+1=0的解,因此当m≢0(mod 3)时,方程(2)在F3m上无解.

综上可得,当m≢0(mod 3)时,方程(x+1)e+xe+1=0在F3m上仅有解x=1.

证明：类似引理6的证明可得此引理.

证明：由定理1和引理5—引理7可得此定理.

下面将考虑情形:h=m-2.

证明：由于e是偶数,显然e∉C1.下证|Ce|=m,而

(4)

将方程(3)两边同时取3m幂可得,

(5)

分4个情形进行讨论.

情形1:x+1∈D0,x∈D0.此时方程(5)可以化简为(x+1)-22+x-22+1=0,即x22+(x+1)22+[x(x+1)]22=0.记f(x)=x22+(x+1)22+[x(x+1)]22.由引理3可得,gcd(f(x),x3-x)=x-1,gcd(f(x),x32-x)=x-1,gcd(f(x),x33-x)=x-1,且gcd(f(x),x34-x)=x-1.由引理4可知f(x)有因式为(x-1)2,且没有次数≤4的不可约因式.事实上,f(x)在F3上的标准分解为(x-1)2×(x21+x19+x17-x16-x15+x14-x13+x11-x10+x9-x7-x6-x4+x3-x2-1)(x21+x19-x18+x17+x15+x14-x12+x11-x10+x8-x7+x6+x5-x4-x2-1).因此当m≢0(mod 3)时,方程(4)在F3m上只有解x=1.

证明：定理1中条件3)成立当且仅当方程(x+1)e-xe-1=0在F3m中仅有解x=0.显然x=0是该方程的解,而x=1不是该方程的解.类似引理9可证明上述方程在F3m上无解.

证明：由定理1和引理8—引理10可得此定理.