做好三个“解读” 奠定单元教学基础

【摘  要】  《义务教育数学课程标谁（2022年版）》提出重视单元整体教学设计的要求，数学实施单元教学是培养学生核心素养的需要.实施单元教学应认真研读《课标（2022年版）》对本单元的课程内容要求、学业要求和教学提示，从而准确制定单元教学目标；研读单元教材，明确单元教材的设计意图，有的放矢的组织课堂教学；研读本单元所承担的培养核心素养的任务，更好的实施核心素养教育.【关键词】  单元教学；课程内容；单元教材；核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）在“教学建议”中指出：“改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联”［1］.笔者认为，实施单元教学的前提是做好下面三个“研读”.1  研读课程标准的要求

《课标（2022年版）》对课程性质、课程理念、课程目标、课程内容、实施建议等方面进行了综合“界定”，是符合国家教育方针和当时教育背景和需求的纲领性文件，是编写义务教育数学教材、实施数学教学的指导性文件.

《课标（2022年版）》在初中阶段对于“课程内容”依次按“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个领域分別从“内容要求”“学业要求”“教学提示”三个方面提出了具体的要求.在与《课标（2022年版）》相“匹配”的教材出版前，我们应从培养学生“三会”的高度研究和使用与《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）配套的教材.与《课标（2011年版）》配套的青岛版初中教材把“反比例函数”作为九下第5章“对函数的再探索”的一个单元设计的.

在研读《课标（2022年版）》时，应从以下三个方面进行.

1.1  对课程内容的要求

《课标（2022年版）》将“数与代数”领域的课程内容整合成三个主题，其中反比例函数属于第三主题“函数”的内容.《课标（2022年版）》对于“反比例函数”，提出了三条具体要求［1］57-58：

（1）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式;

（2）能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y=kx（k≠0）探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况;

（3）能用反比例函数解决简单实际问题.

从课程内容来看，反比例函数的要求有三点直接的描述，包括了反比例函数的意义、表达式、图象等主体内容，还包含了建立反比例函数模型解决简单的实际问题.

本单元的知识系统如图1所示.图1

1.2  学业要求

学业要求是对课程内容的进一步解读.研读这个要求有助于教师加深对“课程内容”的理解和认识.关于“反比例函数”的学业要求有四点，分别是［1］61：

（1）结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；

（2）会用描点法画出反比例函数的图象；

（3）知道当k＞0和k＜0时反比例函数y=kx（k≠0）图象的整体特征；

（4）能用反比例函数解决简单的实际问题.

1.3  教学提示

初中阶段学生学习的函数包含一次函数（正比例函数）、反比例函数以及二次函数，关于函数的教学要求，《课标（2022年版）》提出了总的“教学提示”（见文［1］P62）.我们认为对于反比例函数，要在理解“教学提示”的基础上，重点突出下面两点：

（1）突出现实性：注意选取贴近学生现实的素材；

（2）引导学生经历三个过程：①在建立反比例函数时，让学生经历“知识背景—建立模型—揭示联系”的过程；②在探索反比例函数性质时，引导学生经历“画图—观察—思考—交流—归纳”的过程；③在应用反比例函数解决实际时，让学生经历“问题情境—建立模型—求解模型”的过程.

在明确了上述要求的基础上，确定出反比例函数单元的教学目标：

（1）结合实例，进一步了解函数概念及函数的三种表示方法，能举出反比例函数的实例，能用适当的函数表示法刻画变量之间的关系.

（2）结合具体情境，体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式.

（3）会用描点法画出反比例函数的图象，并通过图象和表达式探索并理解反比例函数的性质.

（4）能利用反比例函数解决简单的实际问题.

（5）在画出、研究反比例函数图象的过程中，感受数形结合、转化等数学思想方法.通过用函数表述变量之间的关系的过程，体会模型思想.2  整体研读教材内容

教材是落实课程内容的“载体”，实施单元教学，不仅仅要明确《课标（2022年版）》对这个单元的内容要求、学业要求和教学提示，还要通过反复研读教材，达到整体把握单元教材内容的目的.

青岛版教材中“反比例函数”单元共分4课时：第1课时从生活中的实例出发，引出了反比例函数的意义，并根据已知条件确定反比例函数的解析式；第2课时探索k＞0和k＜0时，反比例函数图象所在象限及图象的变化情况；第3课时是反比例函数与相关数学知识的综合运用；第4课时是利用反比例函数解决实际问题.每课时的具体呈现过程如下：

在第1课时教材首先用“观察与思考”栏目给出了4个问题，问题（1）（2）（3）是让学生根据问题情境列出变量之间的函数表达式；问题（4）鼓励学生对三个表达式进行“观察—思考—交流—归纳”等活动，概括出它们在形式上的共同特征——都具有y=kx（k≠0）的形式，在此基础上给出反比例函数的意义.

在引入反比例函数y=kx（k≠0）后，通过“小博士”的插话，把反比例函数的概念与上一学段成反比例的量加以联系，从而让学生认识到当k＞0时，y与x是成反比例的量，反比例函数是对反比例量的意义的扩充，从而加深学生对反比例函数概念的理解，完善学生的认知结构.

教科书通过例1、例2和“挑战自我”分别引导学生根据问题情境、待定系数法和分析变量之间的对应关系，列出反比例函数的表达式，进一步加深对反比例函数意义的理解.

教材在第2课时首先用“实验与探究”栏目，引导学生分别画出四个具体的反比例函数y=±8x与y=±6x的图象，让学生再次經历描点法画函数图象的过程.由于反比例函数的图象不是直线，而且在x=0处是间断的，所以从一定意义上看，这里的描点法作图的步骤更具有一般性和代表性.

然后用“观察与思考”栏目提出了5个问题，目的是让学生类比一次函数性质的研究过程，运用已经积累起来的数学活动经验，在对这5个问题进行思考与探索的基础上，归纳出反比例函数y=kx（k≠0）的图象及其性质.

问题（1）通过回忆和类比，明确用初等方法研究函数性质的方向，意在培养学生发现问题、提出问题的能力；问题（2）是引导学生观察四个具体反比例函数的图象，重点考察它们的形状和位置，其中图象不经过原点，并且与y轴不相交是由函数可以取值的范围x≠0决定的，当x=0时，函数y没有意义，所以图象不与y轴相交，也就是说，图象在x=0处出现了间断.这是反比例函数图象与正比例函数、一次函数以及二次函数图象的不同点之一.正因为如此，图象被y轴分成两支，两支曲线不会相接.同时，可发现这四个图象都分别由形状相同的两支曲线组成，如y=8x的图象的每一支都与另一支关于原点成中心对称，因此，其中的一支可由另一支绕原点按逆（或顺）时针方向旋转180°而得到；y=-8x的图象与y=8x的图象形状完全相同，可由y=8x的图象以y轴（或x轴）为对称轴进行轴对称变化而得到.y=8x与y=6x的图象基本相同，只是图象的弯曲程度（即曲率，教学时不必提出）不同.再说出y=8x与y=6x的图象的位置在第一、三象限，y=-8x与y=-6x的图象在第二、四象限.然后再通过问题（3）猜想出反比例函数y=kx位置的一般结论.问题（4）是以y=8x为例，利用几何直观分第一和第三象限两种情况，探索该函数当自变量x的值不断增大和越来越接近于0时，函数值的变化趋势，并给出了y的值随x值的增大而减小，但不会与x轴相交的形象描述.通过问题（5），类似地研究函数y=6x，y=-8x以及y=-6x的图象，由此归纳出反比例函数y=kx的性质，这里体现了数学研究中的由特殊到一般的方法.

第3课时包括例3和例4两个例题，是反比例函数的意义和图象与学生已有知识的综合运用.例3通过反比例函数y=12x在第一象限内的点分别向x轴和y轴作垂线，计算以该点、两个垂足及坐标原点为顶点的矩形面积，让学生发现所得矩形的面积等于12，再利用“小博士”的话将这一结论推广到一般情况.由此体会表达式y=kx（k≠0）中k的几何意义.例4通过图象上已知点的坐标求函数的表达式，以体会图象上点的坐标与表达式之间的联系，进一步感受待定系数法与数形结合思想的运用.

第4课时，教科书编排了两个运用反比例函数解决的实际问题.例5是从问题情境出发建立反比例函数的数学模型，然后转化成已知反比例函数的一组对应值确定函数表达式，再画出图象，并利用解析式或图象确定满足限制条件的自变量的取值范围的数学问题.教科书又通过“加油站”进一步揭示了解决这类实际问题时所运用的模型思想.例6是一个现实生活中分段函数的实例.与例5不同的是，题目中给出了函数的图象，其中点（8，6）是分段点.解题时利用了该点的这一特征，分别求出了两段图象所对应的函数关系的表达式.这也是建立分段函数模型的过程，然后根据问题情境，利用分段函数模型，转化为已知函数值的范围求自变量的取值范围的数学问题，再运用解分式方程的方法得到解决.3  准确解读出单元的核心素养

《课标（2022年版）》提出了“三会”的培养目标，并且给出了初中阶段核心素养的主要表现为抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念等7个指标，另外还有应用意识和创新意识两个跨学科的表现.

在完成了前面两个解读后，还要“解读”出在学习反比例函数时，应重点培养的核心素养：

1.抽象能力

《课标（2022年版）》指出“抽象能力主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力”［1］8.数学抽象能力是学生数学核心素养的重要组成部分，加强抽象能力的培养是提高学生核心的重要举措.

反比例函数单元的主要内容是“反比例函数概念→性质→应用”，学生抽象能力素养主要表现在两个地方：

（1）建立反比例函数概念的过程中

教材在建立反比例函数概念时给出了三个生活实例，学生从三个实例中分别抽象出三个函数表达式y=84x，t=200v，p=－10q，这是个符号化的过程，这个过程有助于学生抽象能力的培养，在得到三个函数表达式后让学生观察这三个函数表达式的共同特征，抽象出y=kx（k≠0）形式的过程又一次发展了数学抽象能力.同时这种设计有助于学生体会“数学来源于生活”的意义.

（2）建立反比例函数模型解决问题的过程中

教材在第4课时设计的两个例题，主要是引导学生经历“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，让学生亲身经历建立反比例函数模型解决实际问题的完整过程，再一次感悟到“结合具体情境体会反比例函数的意义”，提高学生“能用反比例函数解决简单实际问题”的能力，也有助于学生模型观念和应用意识的培养.

2.运算能力

《课标（2022年版）》认为，“运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力”［1］8.运算能力是重要的核心素养之一，加强运算能力的培养，有助于学生形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度.

数学运算能力是在不断地运用数学概念、法则、公式，经过一定数量的练习而逐步形成和发展的.在学习反比例函数内容的学习过程中，一刻也离不开数学运算，教材中的例3和例4就是以“运算”为主的题目，建立反比例函数模型解决实际问题时，离开数学运算更是无法进行的.

3.几何直观

几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯［1］8.几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径.在研究反比例函数性质时，通过“取点—连线—观察”等活动发现、归纳出反比例函数性质的过程中，有助于学生几何直观的形成与发展.

4.模型观念

模型观念主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识［1］10.培养学生的模型观念是进行核心素养教育的需要，模型观念有助于开展跨学科主题学习，感悟数学应用的普遍性.

在反比例函数概念以及建立反比例函数模型解决实际问题的过程中有助于学生进一步感悟模型思想，发展模型观念.

5.应用意识

应用意识主要指有意识的利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题［1］10.应用意识是跨学科的素养表现，教学中加强应用意识培养有助于学生用已经学过的数学知识和方法解决简单实际问题的能力，逐渐形成理论联系实际的习惯.

反比例函数是培养学生应用意识的重要载体之一，结合反比例函数的学习适当引导学生通过建立反比例函数模型解决简单实际问题，有助于学生应用意识的培养.

案例1  药薰法灭蚊的学问.

某校对教室采用药薰法进行灭蚊.根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物点燃后的时间x（min）成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（图2）.已知药物点燃后8min燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为6mg.

图2

（1）求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；

（2）求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式；

（3）根据灭蚊药品使用说明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg時，对人体是安全的.那么从开始药薰，至少经过多少时间，学生才能进入教室？

（4）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？

设计意图  本题以“药薰法灭蚊”为背景，是现实生活中融正比例函数和反比例函数于一体的实例，题目巧妙的用图2给出了由两段函数构成的函数图象，其中很多信息都隐含在其中.在此基础上给出了四个问题.

学生通过阅读图象，很容易发现当0＜x≤8时，药物燃烧阶段对应的函数是正比例函数；当x＞8时，药物燃尽后药量逐渐消散的过程对应的是反比例函数关系.点（8，6）是分段点，意识到这一点，就找到了解决问题（1）和（2）的突破口；对于问题（3）只要能求出“从开始药薰，至少经过多少时间，含药量低于1.6mg”即可以；（4）只要把y=3分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出对应的两个时间，根据这两个时间差是否大于10即可以作出判定.

本题表面看主要是考察学生建立函数模型解决问题的能力，实际上学生通过解答，可以培养和发展学生的多种数学素养，如数学运算能力、数学抽象能力、几何直观、模型观念、应用意识等，还有助于培养学生的阅读理解能力和获取信息的能力，并能加深学生对数形结合思想的进一步感悟等.因此本题是一道适宜提高学生综合素养的好题目.

单元整体教学不同于课时教学，在划分单元后，教师应下大力气去研读课标要求、课程内容、以及学习内容涉及到核心素养的表现等，从而为单元教学奠定坚实的基础.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.5：86.

［2］王恩大.数学教育辞典［M］.济南：山东教育出版社，1991.9：479.

［3］潘超.数学概念深度教学须“五理解”——以人教版“一次函数”为例［J］.数学通报，2021（04）：25-29.

［4］秦治安.提高中学生数学解题能力的途径［J］.教育教学论坛，2013（32）：113-114.

作者简介  李树臣（1962—），男，山东沂南人，中学正高级教师;临沂大学学生学业导师，山东省教育科研先进个人，山东省创新教育先进个人，三次获山东省省级教学成果奖;全国义务教育初中数学教材（青岛版）核心作者，中国人民大学《复印报刊资料·初中数学教与学》编委，湖北大学《中学数学》特约编委.