带记忆项的Boussinesq方程的拉回吸引子

王思博，姜金平，王 雪，李梦娇

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

考虑如下带有记忆项的Boussinesq方程：

其中，u=u(x，t)，系数α是流体的深度，Ω是RN(N≥3)中∂Ω的有界域，v是∂Ω的外法向量，μ是记忆项，

许多的领域已经开始使用上述系统，并且取得了很多的研究成果。BOUSSINESQ［1］首次提出了Boussinesq 方程的概念；BONA 等［2］证明了Boussinesq方程（2）的初值问题是局部的，

文献［3-5］研究了基本的Boussinesq 方程，得到方程（1）的整体渐近解；文献［6］研究了方程

Cauchy 问题解的适定性，而关于方程（3）指数吸引子及其他的研究较少；文献［7］研究了带记忆项的Boussinesq 方程的指数吸引子。但是目前仍未见研究带记忆项的Boussinesq 方程的拉回吸引子。本文对带记忆项的Boussinesq 方程的拉回吸引子的存在性进行论证，研究结果推广和完善了无穷维动力系统的相关理论。

1 预备知识

本文用(∙，∙)和‖∙ ‖分别表示L2中的内积以及它们的范数，然后定义H=V0=L2(Ω)，V=V1=H2(Ω) ∩(Ω)，那么相对应的一些内积以及它们对应的范数就分别为(u，v)V=(Δu，Δv)，‖u‖V=‖ Δu‖，定 义D(A)={u∈H4(Ω)：u|∂Ω=Δu|∂Ω=0}，Au=Δ2u的内积和范数分别用(Au，Av)和‖Au‖2=(Au，Au)表示。定义一个希尔伯特空间：

1）∀q∈Q，θ0(q)=q；

2）∀q∈Q，t，τ∈R，θt+τ(q)=θt(θτ(q))；

3）(t，q) →θt(q)连续。

如果映射ϕ：R+×Q×X→X满足

1）∀(q，x) ∈Q×X，ϕ(0，q，x)=x；

2）∀s，t∈R+，(q，x) ∈Q×X，

ϕ(t+s，q，x)=ϕ(s，θt(q)，ϕ(t，q，x))。

则称映射ϕ：R+×Q×X→X是由θ诱导出的共圈。

定理1［10］设(θ，ϕ)为Q×X上的非自治动力系统，假设集合族D={Dq}q∈Q为ϕ的拉回吸收集。且ϕ是拉回D-渐近紧的，则ϕ有拉回吸引子A=且

定义1［10］（收缩函数）设X是Banach 空间，B为X中的有界集，ϕ(⋅，⋅)是定义在X×X上的函数，如果对任意的数列B，那么存在子列，使得

则称ϕ(⋅，⋅)为B×B上的收缩函数，C是定义于B×B上收缩函数的集合。

则ϕ在X上是拉回D-渐近紧的。

假设非线性项g(u)是Lipschitz 连续的，且它满足以下条件：

假设记忆函数μ(⋅)满足如下条件：

(H4)μ∈C′(R) ∩L′(R+)，

μ′(s) ≤0 ≤μ(s)，∀s∈R+；

(H6)μ(s)+k1μ(s) ≤0，k1>0。

方程（1）的外力项f(x，t)，由(H1)可知，存在两个正常数k1、k2及ε=ε(λ1) >0，使

将问题（1）转化为非自治动力系统，为此引入记忆变量，即

取α=1+μ0，将问题（1）转化为

那么方程（12）的边界条件为

方程（12）的初值条件为

2 拉回吸引子

2.1 解的存在唯一性

记H=V×H，y0=(u0，u1，η0)，y=y(t)=(u(t)，ut(t)，ηt(s))。对于解的存在性，由文献［11］中Faedo-Galerkin方法可以得出，即：

定理3假设y0，则问题（10）～（12）有唯一的解y∈C(Rτ，H)，且y→y0在H中是连续的。

定义H中的能量泛函为

由问题（10）～（12）解的适定性可知

且每一个τ∈R，t≥τ，式（17）给出的ϕ(t，τ，⋅)：H→H是连续的，那么式（17）给出的ϕ在H上是共圈映射。下面假设f∈(R；H)满足

其中，δ是一个正常数。令Rδ是所有函数r：R →(0，+∞)的集合，满足

2.2 拉回吸收集的存在性

定理4［12-13］设(H1) ∼(H6)成立，那么就会存在一个正的常数为半径的球B0=中，方程（1）在L2(Ω)上是有界的吸收集，即对H中任意有界集B，均存在t0=t0(B)，使得t0≥t0(B)时，有s(t)B⊂B0，由此，该共圈的拉回吸收集是存在的。

证明用v=ut+εu和式（14）在H中做内积，可得

结合(H1) ∼(H6)，用Hölder 以及Poincaré 等不等式，有

根据式（15）、（16）、（28）、（29），再利用Sobolev定理可得

因此，在H中存在拉回吸收集。

2.3 拉回吸引子的存在性

定理5［14］假设条件(H1) ∼(H6) 成立，f∈(R；H)且满足式（18），则由问题（10）～（12）生成的非自治系统(θ，ϕ)在H中存在拉回Dδ，H吸引子。

对式（38）在[s，t]上积分，同时关于s在[t-τ，t]上积分，可得

用eαtω与方程组（37）的第一个方程在H中做内积，可得

对式（40）在[s，t]上积分，同时关于s在[t-τ，t]上积分有

对式（40）在[t-τ，t]上积分，并且将积分后的式子代入式（42）可得

1）在空间L∞(t-τ0，t；V)中，vn→v弱*收敛；

2）在空间L∞(t-τ0，t；A)中，vnt→vt弱*收敛；

3）在空间L2(t-τ0，t；H)中，vn→v强收敛；

4）在空间L2(Ω)，Lr(Ω)中，vn(t-τ0) →v(t-τ0)，且vn(t) →v(t)强收敛，其中r≤2(p+1)。

接下来处理式（45）的每一项，由假设条件1）、3）、4）可知

在空间L2(t-τ0，t；L2)中，由f(vn) →f(v)弱*收敛，利用以上假设条件及文献［15］，则有