线性正则正余弦变换卷积及其性质

王小霞，冯 强

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

卷积是一种积分变换，在信号处理、光学系统中有着重要作用。许多学者对此进行了深入的研究，取得了一些研究成果。然而这一理论仍处于初步阶段，许多重要的研究方法与应用领域还有待进一步探索。因此，研究与新颖变换相关的卷积及其应用，始终是信号处理领域的首要任务。而线性正则正弦变换（linear canonical sine transform，LCST）［1］与线性正则余弦变换（linear canonical cosine transform，LCCT）［1］在信号处理、应用数学等方面具有广泛的应用，利用卷积讨论LCST 与LCCT 的相关应用具有很大的研究价值。

线性正则变换（linear canonical transform，LCT）［2-4］是傅里叶变换（Fourier transform，FT）［5-6］、分数阶傅里叶变换（fractional Fourier transform，FRFT）［7］的广义形式。由于LCT 具有3 个自由参数，相比较于FRFT 的1 个自由参数和FT 的0 个自由参数，LCT［8］在信号处理领域具有更强的灵活性和处理能力。

在线性正则变换的基础上定义的线性正则正弦变换与线性正则余弦变换是傅里叶正弦变换（Fourier sine transform，FST）［9］、傅里叶余弦变换（Fourier cosine transform，FCT）［9］的广义形式。由于LCST 和LCCT 在滤波器设计、光学系统分析、时频分析、加密、通信调制、雷达系统分析、解微分方程、局部边缘检测都有广泛的应用，因此研究线性正则正弦变换与线性正则余弦变换在实际应用中具有重要意义。

近年来许多学者对线性正则正余弦变换域的相关问题进行了研究。比如，THAO 等［10-11］研究了傅里叶正余弦加权广义卷积，给出了它在求解积分方程组中的应用；冯强等［12-16］研究了分数阶傅里叶正余弦变换卷积定理以及线性正则正余弦卷积定理，给出了其在设计乘性滤波器方面的潜在应用。本文在现有研究的基础上，对LCST 与LCCT 进行了进一步的研究，定义了两类新的线性正则正余弦变换卷积运算，并推导出相应的卷积定理。

1 基本概念及引理

定义1［1］设函数f(t) ∈L1(R)，则f(t)的线性正则变换定义为

线性正则变换的逆变换（ILCT）［1］可以表示为以B=(d，-b，-c，a)为参数的线性正则变换，即有

当A=[cosα，sinα，-sinα，cosα]时，上述LCT退化为FRFT［6］：

定义2［17］设函数f(t)的线性正则正弦变换和线性正则余弦变换分别表示为(f(t))(u) 与，则函数f(t)的线性正则正弦变换和线性正则余弦变换定义为

线性正则正弦变换的逆变换与线性正则余弦变换的逆变换分别表示为

当A=(cosα，sinα，-sinα，cosα)时，上述LCST与LCCT就变成了FRST与FRCT［14-15］：

当A=(0，1，-1，0)时，上述LCST 与LCCT 就退化为经典的FST与FCT［11］：

引理1［18］设函数f(t)，g(t) ∈L1(R+)，满足如下傅里叶余弦变换（FCT）卷积运算：

则有如下卷积定理：

引理2［19］设函数f(t)，g(t) ∈L1(R+)，满足如下傅里叶正余弦变换（FST-FCT）卷积运算：

2 主要结果

定义3设f(t)，g(t) ∈L1(R+)，线性正则余弦变换的加权卷积运算定义如下：

定义4设f(t)，g(t) ∈L1(R+)，线性正则正弦变换的卷积运算定义如下：

当A=(cosα，sinα，-sinα，cosα)时，定义1 和2退化为分数阶傅里叶余弦加权卷积运算与分数阶傅里叶正弦卷积运算［14］。当A=(0，1，-1，0)时，定义1 和2 退化为经典的傅里叶余弦加权卷积运算与傅里叶正弦卷积运算［20］。

基于定义1和定义2，有下述卷积定理。

定理1设权函数γ=cosu，与分别表示信号f(t)与g(t)的线性正则余弦变换，若信号f(t)，g(t) ∈L1(R+)，则线性正则余弦变换的卷积运算满足，且有如下卷积定理：

证明定理2的证明类似于定理1，同理可证。

当A=(cosα，sinα，-sinα，cosα)时，定理1 和2退化为分数阶傅里叶余弦加权卷积定理与分数阶傅里叶正弦卷积定理［15］。当A=(0，1，-1，0)时，上述定理1 和2 退化为傅里叶余弦加权卷积定理与傅里叶正弦卷积定理［20］。

定理3设f(t)，g(t) ∈L1(R+)，LCCT 的加权卷积运算可以由FCT的卷积表示为

证明定理4的证明类似于定理3，同理可证。

3 结论

本文基于LCST 与LCCT 定义的基础上，首先定义了线性正则余弦加权卷积运算与线性正则正弦卷积运算；其次研究了线性正则正余弦卷积运算与FCT卷积运算、FST-FCT卷积运算之间的关系；最后推导出相应的卷积定理。研究结果是经典傅里叶正余弦卷积理论在线性正则域内的进一步拓展，丰富了线性正则变换域卷积理论。