(F，α，ρ，d)-凸多目标分式规划的鞍点准则

刘文艳，李向有，袁 静

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

自20 世纪60 年代以来，最优化问题一直都是重要的研究课题，在经济学、最优控制理论、博弈论和统计决策理论等方面都有重要的应用价值［1-3］。但在解决实际问题的过程中，大量函数是非凸函数，因此推广函数的凸性并用于研究数学规划问题是最优化理论的重要研究内容。

近年来，PREDA［4］把(F，α，ρ，d)-凸函数推广到非可微向量情形下，并用这类函数研究了多目标规划问题的最优性条件和对偶条件。文献［5-9］进一步推广了不同的凸函数，得到相应规划问题的最优性条件和对偶性条件。TANION［10］证明了多目标规划问题的解和相应的乘子向量是向量值拉格朗日的鞍点，VAN 等［11］构造了多目标规划问题的拉格朗日函数，并提出了多目标规划有效解的鞍点条件和充分条件。LI 等［12］给出了多目标优化中拉格朗日乘子或弱鞍点存在的条件，并建立了拉格朗日乘子与弱鞍点之间的关系。ANTCZAK［13］利用改进的鞍点准则，刻画了一类新的非可微多目标规划问题的可解性，证明了原多目标规划问题的（弱）有效解和向量值Lagrange 函数的鞍点是等价的。文献［14-15］利用G函数，研究了多目标规划问题的鞍点条件。

以往文献主要研究整式规划问题的鞍点条件，分式规划的鞍点条件研究较少。本文在上述文献的基础上，利用(F，α，ρ，d)-凸函数，研究了涉及此类函数的非线性多目标分式规划的鞍点问题，得到了Lagrange函数鞍点的充分性和必要性条件。

1 基本定义及引理

定义1.1［16］称实值函数f：Rn→R 是局部Lipschitz 的，若对任意x∈Rn，存在一个正数k和x的邻域N(x)对任意y，z∈N(x)，使得

定义1.2［16］若函数f为局部Lipschitz 的，那么函数f：X→R 在点x处沿方向d的Clarke 广义方向导数和广义梯度定义如下：

定义1.3［16］称函数F：X×X×Rn→R 是次线性函数［12］，如果对于任意的x，xˉ∈X有

定义1.4［7］设F：Rn×Rn×Rn→R是次线性函数，函数f：Rn→R在x0∈Rn是局部Lipschitz的，α：Rn×Rn→R+{0}，ρ∈R，d：Rn×Rn→R。称函数f在x0∈Rn是非可微(F，α，ρ，d)-不变凸的，若

若函数f在X上每一点都是非可微(F，α，ρ，d)-不变凸的，则称函数f在X是非可微(F，α，ρ，d)-不变凸函数。

定义1.5［7］设F：Rn×Rn×Rn→R是次线性函数，函数f：Rn→R在x0∈Rn是局部Lipschitz的，α：Rn×Rn→R+{0}，ρ∈R，d：Rn×Rn→R。称函数f在x0∈Rn是非可微(F，α，ρ，d)-不变伪凸的，若

定义1.6［7］设F：Rn×Rn×Rn→R是次线性函数，函数f：Rn→R在x0∈Rn是局部Lipschitz的，α：Rn×Rn→R+{0}，ρ∈R，d：Rn×Rn→R。称函数f在x0∈Rn是非可微(F，α，ρ，d)-不变拟凸的，若

考虑如下的非线性多目标分式规划问题（VFP）：

其中，X是Rn上的开集，设D={x|x∈X，hj(x)≦0，j∈J}表示（VFP）的所有可行解的集合，fi(x)、gi(x)和hj(x)在X上是局部Lipschitz 函数，且对所有x∈X有fi(x) ≥0，gi(x) >0。

本文中约定，对于任意x=(x1，x2，…，xn)T，y=(y1，y2，…，yn)T；

x=y当且仅当xi=yi，且i=1，…，n；x>y当且仅当xi>yi，且i=1，…，n；

x≧y当且仅当xi≧yi，且i=1，…，n；x≥y当且仅当xi≧yi，且x≠y。

定义1.7［8］称xˉ∈X是问题（VFP）的有效解，如果不存在其他的x∈X，使得

对vi∈，考虑如下的辅助问题（MVP）：

min(f1(x) -v1g1(x)，…，fp(x) -vpgp(x))，则可获得以下结果：

2 鞍点准则

设X是Rn上的开集，D={x|x∈X，hj(x)≦0，j∈J}表示（VFP）的所有可行解的集合，fi(x)、gi(x) 和hj(x)在X上是局部Lipschitz 函数，且对所有x∈X有fi(x) ≥0，gi(x) >0。

由拉格朗日函数的定义，可以得到以下不等式：

证明先证明鞍点定义2.1 的1）。根据假设是KKT 点，那么是（VFP）的可行解。由KKT条件（5），可得到

根据拉格朗日函数的定义可知

如定义1.4所示，根据次线性性质和不等式（19），可得

对于所有的x∈D，根据拉格朗日函数的定义，可得如下不等式：

对于所有的x∈D都成立。通过不等式（12）和（21），得出是多目标分式规划问题的（VFP）拉格朗日函数L的鞍点。从而得出定理的结论。

证明过程参考定理2.2。

3 结束语

本文利用(F，α，ρ，d)-凸函数，研究了涉及此类函数的非线性多目标分式规划问题的鞍点条件，得到了多目标分式规划问题的Lagrange函数鞍点的充分性和必要性条件，把非线性多目标整式规划中鞍点的相关结论推广到非线性多目标分式规划中，从而拓展了鞍点理论的适用范围。后续还可以利用(F，α，ρ，d)-凸函数研究非线性多目标极大极小分式规划问题。