Morita环上的F-Gorenstein平坦模

杨晓燕 汪静

DOI：10.16783/j.cnki.nwnuz.2024.01.003

收稿日期：20230205;修改稿收到日期：20230609

作者简介：杨晓燕（1980—），女，甘肃张掖人，教授，博士，博士研究生导师.主要研究方向为环的同调理论.

Email：yxy800218@163.com

摘要：设Λ（0，0）=ANMB是Morita环，其中A和B是环，N为（A，B）-双模，M为（B，A）-双模.证明了若双模M和N满足某些条件，则函子TA：Mod-A→Mod-Λ（0，0）和TB：Mod-B→Mod-Λ（0，0）保持F-Gorenstein平坦性.

关键词：Morita环;F-Gorenstein平坦模;平坦余挠模;余挠模

中图分类号：O153.3    文献标志码：A    文章编号：1001-988Ⅹ（2024）01-0011-03

F-Gorenstein flat modules over Morita rings

YANG Xiao-yan，WANG Jing

（College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，Gansu，China）

Abstract：Let Λ（0，0）=ANMB be a Morita ring，where A and B are two rings，N is a  （A，B）-bimodule and M is a （B，A）-bimodule.It is proved that the functors TA：Mod-A→Mod-Λ（0，0） and TB：Mod-B→Mod-Λ（0，0） preserve F-Gorenstein flat if the bimodules M and N satisfies some conditions.

Key words：Morita ring;F-Gorenstein flat module;flat cotorsion module;cotorsion module

0  引言

1969年，Auslander等在雙边Noether环上，对有限生成模引入了G-维数的概念.随后，Gorenstein投射模、Gorenstein内射模和Gorenstein平坦模的概念相继被引入，使得相对同调代数理论得到了极大发展.2012年，Asadollahi等［1］引入了F-Gorenstein平坦模的定义.称左R-模M是F-Gorenstein平坦模，如果存在平坦左R-模的正合列

F*： …→F-1→F0→F1→F2→…

使得M≈Ker（F0→F1），并且对任意平坦余挠模W，序列HomR（F*，W）正合.

在环模理论中，Morita环是一类重要的非交换环，在各个代数分支都有重要应用.近来，Mao［2］构造了形式三角矩阵环上的Gorenstein平坦模.三角矩阵环是一种特殊的Morita环.2017年，Gao等［3］构造了Morita环上的Gorenstein投射模，并证明了函子TA，TB在适当条件下保持Gorenstein投射性.越来越多的研究表明，函子TA，TB在Morita环上模的研究中具有良好的性质，比如函子TA，TB保持自由性、投射性、平坦性、有限生成性及有限表示性等［4-5］.

受以上研究的启发，本文研究具有零双模同态的Morita环上的F-Gorenstein平坦模，给出了函子TA，TB保持F-Gorenstein平坦性的条件，最后给出了特殊Morita环Λ（0，0）=ΛΛΛΛ的几个推论.

1  预备知识

设A，B是两个环，N为（A，B）-双模，M为（B，A）-双模，φ：MAN→B为双模同态，ψ：NBM→A为双模同态.Morita环定义为：

Λ（φ，ψ）=ANMB，

其中Λ（φ，ψ）中的加法为对应元素相加，乘法定义为

anmb

a′n′m′b′=

aa′+ψ（nm′）an′+nb′

ma′+bm′bb′+φ（mn′），

其中m，m′∈M， n，n′∈N.假设φ（mn）m′=mψ（nm′），nφ（mn′）=ψ（nm）n′，这个条件保证Λ（φ，ψ）是一个结合环.记Morita环为Λ（φ，ψ）.

所有Λ（φ，ψ）-模构成的范畴等价于范畴M（Λ），其中的对象是四元组（X，Y，f，g），X∈Mod-A，Y∈Mod-B，f∈HomB（MAX，Y），g∈HomA（NBY，X），且使得下图可交换：

设（X，Y，f，g）与（X′，Y′，f′，g′）为M（Λ）中的对象，则M（Λ）中的态射（X，Y，f，g）→（X′，Y′，f′，g′）是态射对（a，b），其中a：X→X′是A-模同态，b：Y→Y′是B-模同态，且使得下图可交换：

注1［3］  设Λ（φ，ψ）=ANMB是Morita环，则Mod-Λ（φ，ψ）中的序列

0→（X1，Y1，f1，g1）→（X2，Y2，f2，g2）→

（X3，Y3，f3，g3）→0

正合当且仅当Mod-A中的序列0→X1→X2→X3→0和Mod-B中的序列0→Y1→Y2→Y3→0都正合.

注2［3］  设Λ（0，0）=ANMB是Morita环，I是恒等映射，则

（i）对任意X∈Mod-A和A-模同态a：X→X′，函子TA：Mod-A→Mod-Λ（0，0）定义为TA（X）=（X，MAX，IMX，0），TA（a）=（a，IMa）.

（ii）对任意Y∈Mod-B和B-模同态b：Y→Y′，函子TB：Mod-B→Mod-Λ（0，0）定义为TB（Y）=（NBY，Y，0，INY），TB（b）=（INb，b）.

（iii）对任意X∈Mod-A和A-模同态a：X→X′，函子ZA：Mod-A→Mod-A（0，0）定义为ZA（X）=（X，0，0，0），ZA（a）=（a，0）.

（iv）对任意Y∈Mod-B和B-模同态b：Y→Y′，函子ZB：Mod-B→Mod-Λ（0，0）定义为ZB（Y）=（0，Y，0，0），ZB（b）=（0，b）.

（v）对任意（X，Y，f，g）∈Mod-Λ（0，0）和Λ（0，0）-模同态（a，b）：（X，Y，f，g）→（X′，Y，′f′，g′），函子UA：Mod-Λ（0，0）→Mod-A定义为UA（X，Y，f，g）=X，UA（a，b）=a.

（vi）对任意（X，Y，f，g）∈Mod-Λ（0，0）和Λ（0，0）-模同态（a，b）：（X，Y，f，g）→（X′，Y，′f′，g′），函子UB：Mod-Λ（0，0）→Mod-B定义为UB（X，Y，f，g）=Y，UB（a，b）=b.

2  Morita環上的F-Gorenstein平坦模

定理1  设Λ（0，0）=ANMB为Morita环.

（i）若TA（X）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模，fd（BM）<∞且对任意余挠左A-模C，MAC是余挠左B-模，则X是F-Gorenstein平坦左A-模.反之，若X是F-Gorenstein平坦左A-模且fd（AM）<∞，则TA（X）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模.

（ii）若TB（Y）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模，fd（AN）<∞且对任意余挠左B-模G，NBG是余挠左A-模，则Y是F-Gorenstein平坦左B-模.反之，若Y是F-Gorenstein平坦左B-模且fd（NB）<∞，则TB（Y）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模.

证明  我们只证明（i）， （ii）的证明是对偶的.假设TA（X）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模.由定义可知，存在平坦左Λ（0，0）-模正合列

T*： …（X-1，Y-1，f-1，g-1）（a-1，b-1）

（X0，Y0，f0，g0）（a0，b0）（X1，Y1，f1，g1）

（a1，b1）（X2，Y2，f2，g2）（a2，b2）…

使得TA（X）Ker（a0，b0），且对任意的平坦余挠左Λ（0，0）-模W，复形HomΛ（0，0）（F*，W）正合.由文献［4］推论8.9可知，存在平坦左A-模的正合列

T*1： …X-1a-1X0a0X1

a1X2a2…

使得XKer（a0）.对于任意的平坦余挠左A-模D，由假设和文献［5］引理6.4可知，TA（D）=（D，MAD，IMD，0）是平坦余挠左Λ（0，0）-模.由文献［3］定理3.8可知，存在左Λ（0，0）-模的正合列

0→ZB（MAD）→TA（D）→ZA（D）→0

由于BM的平坦维数有限，不妨设fd（BM）=m，于是由文献［7］可知，对于任意右B-模L有

TorBm+1（L，M）DTorBm+1（L，MAD）=0

故MAD的平坦维数有限，所以ZB（MAD）是平坦维数有限的余挠左Λ（0，0）-模.由文献［1］定理4.5可知

Exti≥1Λ（0，0）（TA（X），ZB（MAD））=0，

所以有正合列

0→HomΛ（0，0）（T*，ZB（MAD））→

HomΛ（0，0）（T*，TA（D））→

HomΛ（0，0）（T*，ZA（D））→0

因为HomΛ（0，0）（T*，ZB（MAD））和HomΛ（0，0）（T*，TA（D））正合，所以

HomΛ（0，0）（T*，ZA（D））正合.由文献［3］引理3.9，

HomΛ（0，0）（T*，ZA（D））HomA（T*1，D），

所以HomA（T*1，D）正合.故X是F-Gorenstein平坦左A-模.

反之，设X是F-Gorenstein平坦左A-模，则由定义可知，存在平坦左A-模的正合列

F*1： …F-11-11F0101F11…

使得XKer（01），且对任意的余挠左A-模C，HomA（F*1，C）正合.因为MA的平坦维数有限，由文献［8］引理2.3可知，MAF*1正合，所以存在平坦左Λ（0，0）-模的正合列

F*： …→TA（F-11）TA（-11）TA（F01）

TA（01）TA（F11）…

使得TA（X）Ker（TA（01））.对任意的平坦余挠左Λ（0，0）-模W=（P，Q，f1，g1），由文献［4］推论8.9和文献［5］引理6.4可知，P是平坦余挠左A-模.由文献［3］命题2.4可知，对任意i∈Z，有

HomΛ（0，0）（TA（Fi1），（P，Q，f1，g1））

HomA（Fi1，P）

于是由定义可知，

HomΛ（0，0）（F*，（P，Q，f1，g1））HomA（F*1，P）

正合.由此可知，TA（X）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模.  】

推论1  设Λ（0，0）=ΛΛΛΛ，其中Λ是任意环，则对Λ-模X，以下条件等价：

（1）X是F-Gorenstein平坦模；

（2）T1（X）=（X，X，IX，0）是F-Gorenstein平坦模；

（3）T2（X）=（X，X，0，IX）是F-Gorenstein平坦模.

引理1  设A和B是左凝聚环.若BM，AN是内射模，MA，NB是平坦模，则对任意左A-模X，左B-模Y，MAX，NBY是余挠模.

证明  对任意左A-模X，取X的平坦分解

…F2F1F0XF0

因为MA是平坦模，所以有正合列

…MAF2MAF1MAF0

MAX0

又因为BM是内射模，所以由文献［9］定理3.2.16可知MAFi是内射左B-模.取MAX的内射分解

0MAXI0I1…

于是有余挠左B-模的正合复形

…MAF1MAF0I0

I1…

使得MAXKer.从而由文献［10］事实1.1可知，MAX是余挠左B-模.  】

类似地，可以得到NBY是余挠左A-模.

推论2  设A和B是左凝聚环，双模M和N满足BM，AN是内射模，MA，NB是平坦模，则

TA（X）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模当且仅当X是F-Gorenstein平坦左A-模，

TB（Y）是F-Gorenstein平坦左Λ（0，0）-模当且仅当Y是F-Gorenstein平坦左B-模.

参考文献：

［1］  ASADOLLAHI J，SALARIAN S.Cohomology theories based on flats［J］.Journal of Algebra，2012，353（1）：93.

［2］  MAO L X.Gorenstein flat modules and dimensions over formal triangular matrix rings［J］.Journal of Pure and Applied Algebra，2020，224（4）：106.

［3］  GAO N，PSAROUDAKIS C.Gorenstein homological aspects of monomorphism categories via Morita rings［J］.Algebras and Representation Theory，2017，20（2）：487.

［4］  KRYLOV P A，TUGANBAEV A A.Modules over formal matrix rings［J］.Journal of Mathematical Sciences，2010，171（2）：248.

［5］  YAN M Q，YAO H L.Pure projective modules and FP-injective modules over Morita rings［J］.Frontiers of Mathematics in China，2020，15（6）：1265.

［6］  KRYLOV P A，TUGANBAEV A A.Formal Matrices［M］.Cham，Switzerland：Springer，2017：31.

［7］  CHRISTENSEN L W，FOXBY H B，HOLM H.Derived Category Methods in Commutative Algebra［M］.Preprint，2022.https：//www.math.ttu.edu/ lchriste/book.html.

［8］  ENOCHS E E，CORTS-IZURDIAGA M，TORRECILLAS B.Gorenstein conditions over triangular matrix rings［J］.Journal of Pure and Applied Algebra，2014，218（8）：1544.

［9］  ENOCHS E E，JENDA O M G.Relative Homological Algebra［M］.Berlin：Walter de Gruyter，2000.

［10］  CHRISTENSEN L W，ESTRADA S，LIANG L，et al.A refinement of Gorenstein flat dimension via the flat-cotorsion theory［J］.Journal of Algebra，2021，567：346.

（責任编辑  马宇鸿）