具有饱和恢复率的SEIR时滞模型的行波解

DOI：10.16783/j.cnki.nwnuz.2024.01.005

收稿日期：20221229;修改稿收到日期：20230320

作者简介：卫珍妮（1998—），女，陕西西安人，硕士研究生.主要研究方向为微分动力系统及其应用.

Email：2829088212@qq.com

摘要：研究一类具有饱和恢复率的SEIR时滞模型的行波解.首先，考虑一类二维系统初值问题的适定性；然后，通过构造一对有界的向量值上、下解得到一个闭凸集；最后，利用Schauder不动点定理证明：当基本再生数R0>1，波速c>c*时模型存在非平凡行波解.

关键词：SEIR模型；饱和恢复率；时滞；行波解；Schauder 不动点定理

中图分类号：O 175.1    文献标志码：A    文章编号：1001-988Ⅹ（2024）01-0020-10

Traveling wave solutions for a delayed SEIR model with

saturated recovery rate

WEI Zhen-ni

（School of Mathematics and Statistics，Xidian University，Xian 710071，Shaanxi，China）

Abstract：The traveling wave solutions are discussed for a delayed SEIR epidemic model with saturated recovery rate.Firstly，the well-posedness of the initial value problem for a class of two-dimensional system is considered.Then by constructing the bounded vector-value upper-lower solutions，a closed convex set is obtained.Finally，the existence of nontrivial traveling wave solutions is proved for basic reproduction number R0>1，wave velocity c>c* by applying the Schauders fixed point theorem.

Key words：SEIR model;saturated recovery rate;time delay;traveling wave solution;Schauders fixed point theorem

0  引言

為研究瘟疫的传播，1927年，Kermack等［1］提出了经典的SIR模型

ddtS（t）=-βS（t）I（t），

ddtI（t）=βS（t）I（t）-γI（t），

ddtR（t）=γI（t），（1）

其中S（t），I（t），R（t）分别代表易感者、感染者和康复者的人口密度；β，γ分别代表感染率和恢复率.令S（0）=S0表示疫情之初易感者的人口密度，则R0=βS0/γ在模型（1）中定义了阈值行为：R0>1，感染者数量增至最大值而后降低为零，意味着疾病暴发；R0<1，则疾病消亡.称R0为模型（1）的基本再生数.

考虑易感者和感染者个体随机游走等因素，Hosono等［2］提出了具有局部扩散的SIR模型

tS（x，t）=d1ΔS（x，t）-

βS（x，t）I（x，t），

tI（x，t）=d2ΔI（x，t）+

βS（x，t）I（x，t）-γI（x，t），（2）

并证明了：当βS0>γ，c≥c*=2d2（βS0-γ）时，系统（2）存在连接（S0，0）和（S∞，0）的行波解

（φ（x+ct），ψ（x+ct））；当βS0≤γ时，系统不存在行波解.

近年来，反应扩散方程的行波解问题得到了越来越多的关注，原因在于行波现象广泛存在于化学、物理、生态学等诸多学科中.行波解是一类形式不变的特殊解，一方面，在理论研究中，它可以作为系统的稳态解揭示方程的一些固有性质；另一方面，在实际建模应用中，它可以较好地刻画自然界的某种传播现象，例如传染源以特定速度在空间中的传播.关于行波解的存在性问题读者可参见文献［3-11］.

2009年，Ducrot等［3］研究了一类具有感染年龄结构的扩散SIR 模型行波解的存在性.基于文献［3］的方法，一些学者研究了非局部扩散 SIR 模型和动物流感模型的行波解.Wang等［5］通过构造一个不变锥并借助 Schauder 不动点定理，证明了具有非局部时滞的扩散 SIR 模型行波解的存在性；Zhang 等［6］研究了配合治疗的流感模型行波解的存在性.根据多数情况下疾病发生的两个特点：一是疾病早期具有潜伏期，二是感染者痊愈后具有一定的免疫力；Schwartz等［12］提出了易感者-暴露者-感染者-移出者（SEIR）模型并对此做了深入研究.Tian等［10］研究了具有标准发生率的扩散 SEIR 模型行波解的存在性，得到了更精确的最小波速的估计.考虑人口分布的非齐次性等实际情况，Xu［11］建立了具有饱和发生率的扩散 SEIR 模型，讨论了模型非平凡行波解的存在性，并给出基本再生数的显式表达式.结合属地医院医疗条件，Zhou等［13］分析了具有饱和恢复率的 SEIR 模型的全局动力学行为.

基于以上文献，本文考虑具有饱和恢复率的 SEIR 模型

tS（x，t）=d1ΔS（x，t）-

βS（x，t）g（I（x，t）），

tE（x，t）=d2ΔE（x，t）-

βS（x，t）g（I（x，t））-

βS（x，t-τ）g（I（x，t-τ）），

tI（x，t）=d3ΔI（x，t）-

βS（x，t-τ）g（I（x，t-τ））-

γI（x，t）-rhI（x，t）b+I（x，t），

tR（x，t）=d4ΔR（x，t）+γI（x，t）+

rhI（x，t）b+I（x，t），（3）

其中S（x，t），E（x，t），I（x，t），R（x，t）分别表示t时刻在空间位置x处易感人群、暴露人群、感染人群和移出人群的密度，暴露人群是指患病但不具备传染能力的一类人；di>0（i=1，2，3，4）分别为S，E，I，R的扩散系数，β和γ分别为感染者的有效传染率和自然恢复率；βSg（I）=βSI/（1+aI）（a>0）刻画感染人群的“拥挤效应”，即随着感染者的增多，疾病的感染能力接近饱和，其中a表示饱和度.

考虑到疫情严重时期，待治疗的患者数量可能超过属地医院的最大容纳量，从而医护人员、床位、设备等医疗资源趋于饱和，故引入感染者的饱和恢复率h（I）=rhI/（b+I），其中rh表示单位时间内医院收治的患者最大恢复率，b是半饱和常数，表示感染者达到50%恢复率时的人口密度（h（b）=rh/2），用于衡量饱和发生的速度.此外，大规模流行病一般存在潜伏期，也就是易感者与感染者有效接触后，易感者随即成为不具有染病能力的暴露者，需要经过一段时间才由暴露者转化为感染者，故引入时滞参数τ.模型考虑区域短时间内疾病的传播，因而不考虑人群的自然出生和死亡.

本文考虑时滞偏微分系统（3）行波解的存在性，我们证明了：存在c*>0使得当c>c*，βS-∞>γ+rh/b时，系统（3）存在非平凡行波解.模型引入的饱和恢复率使得系统上、下解的构造与以往不同，故研究的困难在于构造合适的不变集.我们尝试构造一对有界的上、下解，借此得到一个不变集，而后在其上定义非单调算子并应用Schauder不动点定理，最终得到行波解的存在性.

1  初值问题的适定性

首先讨论系统（3）对应的二维初值问题的适定性.由于系统（3）关于变量E，R是解耦的，故考虑二维系统

tS（x，t）=d1ΔS（x，t）-

βS（x，t）g（I（x，t）），

tI（x，t）=d3ΔI（x，t）+

βS（x，t-τ）g（I（x，t-τ））-

γI（x，t）-rhI（x，t）b+I（x，t），（4）

其中g（I）=I/（1+aI），初值条件为

S（x，θ）=φ1（x，θ）≥0，

I（x，θ）=φ2（x，θ）≥0，

θ∈［-τ，0］，x∈R.（5）

令X=BUC（R，R2）表示从R到R2的有界且一致连续函数的集合，则X+=BUC（R，R2+）是X的正锥.（X，·X）表示具有上确界范数的Banach空间.R2中任意向量可以看作是X中的元素.给定u=（u1，u2），=（1，2）∈X，若ui（x）≥i（x），i=1，2，x∈R，则记作u≥.

对任意τ>0，定义空间Y=C（［-τ，0］，X），其范数为上确界范数，则Y是一个Banach空间.定义空间Y+=C（［-τ，0］，X+），则（Y，Y+）为强序空间.给定元素φ：［-τ，δ］X（δ>0），定义φt∈Y为：

φt（θ）=φ（t+θ），θ∈［-τ，0］.

对于任意φ=（φ1，φ2）∈Y+，定义算子f=（f1，f2）：Y+X为：

f1（φ）（x）=-βφ1（x，0）g（φ2（x，0）），

f2（φ）（x）=βφ1（x，-τ）g（φ2（x，-τ））-

γφ2（x，0）-rhφ2（x，0）b+φ2（x，0），

则f在Y+的任意有界子集上是Lipschitz连续的.

定義

CφM={φ∈Y：0≤φ（x，θ）<φM，

x∈R，θ∈［-τ，0］}，

其中

φM=S-∞，1aβS-∞γ-1.

定理1  对于任意给定初值φ=（φ1，φ2）∈CφM，系统（4）～（5）在［0，∞）上存在唯一的非负解满足S（x，θ）=φ1（x，θ），I（x，θ）=φ2（x，θ），并且对任意t≥0，有（S，I）t∈CφM.

证明  对任意初值φ=（φ1，φ2）∈CφM以及充分小的正数h，有

φ（x，0）+hf（φ）（x）≥

1-hβaφ1（x，0）

1-hrhbφ2（x，0）.

从而令0≤h≤min{a/β，b/rh}，则

φ（x，0）+hf（φ）（x）≥0.

另一方面，因为h

φ（x，0）+hf（φ）（x）≤

φ1（x，0）

1-hrhb+φ2（x，0）φ2（x，0）≤

S-∞

1aβS-∞γ-1.

因此φ（0）+hf（φ）∈CφM，即

limh→0+1hdist（φ（0）+hf（φ），CφM）=0，φ∈CφM.

由文献［14］推论4可知，系统（4）～（5）在［0，∞）×R上存在唯一的非负适度解（S，I）满足初值条件，并对任意t≥0，（S，I）t∈CφM.此外，由文献［15］推论2.5可知，在［τ，∞）上，（S，I）解也为古典解.  】

2  上、下解的构造

本节主要讨论系统上、下解的构造，进而利用Schauder不动点定理证明行波解的存在性.

显然，（S-∞，0）是系统（4）的初始无病平衡点，其中S-∞表示疫情之前易感者的人口密度.设系统存在非平凡行波解（S（x+ct），I（x+ct）），令ξ=x+ct，则系统（4）改写为常微分系统

cS′（ξ）=d1S″（ξ）+βS（ξ）g（I（ξ）），

cI′（ξ）=d3I″（ξ）+βS（ξ-cτ）×

g（I（ξ-cτ））-γI（ξ）-

rhI（ξ）b+I（ξ）.（6）

对任意ξ∈R，S（ξ），I（ξ）应当满足边界条件

S（-∞）=S-∞， S（∞）

I（±∞）=0.（7）

系统（6）关于变量I在无病平衡点（S-∞，0）处线性化可得

d3I″（ξ）-cI′（ξ）-γ+rhbI（ξ）+

βS-∞I（ξ-cτ）=0.

令I（ξ）=eλξ，则系统相应的特征方程为

Δ（λ，c）=d3λ2-cλ-λ+rhb+βS-∞e-λcτ=0.

根据文献［16］可得如下引理.

引理1  假设βS-∞>γ+rh/b，则存在λ*>0，c*>0使得

Δ（λ*，c*）=0，

Δλ（λ，c）（λ*，c*）=0.

此外，

（i）若00有Δ（λ，c）>0.

（ii）若c>c*，则特征方程Δ（λ，c）=0有两个正根λ1（c）=λ1，λ2（c）=λ2满足0<λ1<λ*<λ2，且当λ∈（λ1，λ2）时，Δ（λ，c）<0；当λ∈［0，λ1）∪（λ2，∞）时，Δ（λ，c）>0.

为了利用Schauder不动点定理证明系统（4）行波解的存在性，首先考虑构造一个凸不变集.为此，根据文献［5］，构造了一对上、下解，不同于文献［5］的是：上、下解在t∈R上有界.本节假定βS-∞>γ+rh/b，c>c*.

对于ξ∈R，定义连续函数

S+（ξ）=S-∞，

I+（ξ）=mineλ1ξ（1-M1eη1ξ），

1aβS-∞γ-1，

S-（ξ）=maxS-∞-1σeσξ，0，

I-（ξ）=max{eλ1ξ（1-M2eη2ξ），0}，

其中σ，M1，M2，η1，η2是正常数.

引理2  S+（ξ）满足

d1S″+（S）-cS′+（ξ）-βS+（ξ）g（I-（ξ））≤0，

ξ∈R.

引理3  令η1>0，M1充分小，则I+（ξ）满足

d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）+

βS+（ξ-cτ）g（I+（ξ-cτ））-

γI+（ξ）-rhI+（ξ）b+I+（ξ）≤0，

ξ≠ξ1，（8）

其中ξ1滿足

eλ1ξ（1-M1eη1ξ）=1aβS-∞γ-1.

证明  当ξ>ξ1时，I+（ξ）=eλ1ξ（1-M1eη1ξ）.对所有ξ∈R有I+（ξ）≤eλ1ξ（1-M1eη1ξ），且对所有x>0有g（x）≤x，所以

d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）+

βS+（ξ-cτ）g（I+（ξ-cτ））-

γI+（ξ）-rhI+（ξ）b+I+（ξ）≤

d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）-γI+（ξ）+

βS+（ξ-cτ）I+（ξ-cτ）=

eλ1ξΔ（λ1，c）+rhb-

M1e（λ1+η1）ξ

Δ（λ1+η1，c）+rhb≤0.

当ξ<ξ1时，

I+（ξ）=1aβS-∞γ-1.

同理

I+（ξ）≤1aβS-∞γ-1

且g（x）关于x递增，所以

d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）+

βS+（ξ-cτ）g（I+（ξ-cτ））-

γI+（ξ）-rhI+（ξ）b+I+（ξ）≤

d3I″+（ξ）-cI′+（ξ）-

γI+（ξ）+βS-∞g（I+（ξ-cτ））=

γaβS-∞γ-1-

γaβS-∞γ-1=0.

因此不等式（8）成立.  】

引理4  令

σ

则S-（ξ）满足

d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥0，

ξ≠ξ2：=1σln（σS-∞）.

证明  当ξ≥ξ2时S-（ξ）=0，不等式显然成立.当ξ<ξ2时S-（ξ）=S-∞-

eσξ/σ>0.对任意ξ∈R，I+（ξ）≤eλ1ξ（1-M1eη1ξ）≤eλ1ξ，且对任意x>0有g（x）≤x，所以

d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥

d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）I+（ξ）=

-d1σeσξ+ceσξ-βS-∞-1σeσξeλ1ξ≥

eσξ（-d1σ+c-βS-∞e（λ1-σ）ξ）.

由eσξ<σS-∞，2σ<λ1可得e（λ1-σ）ξ<（σS-∞）（λ1-σ）/σ，于是

d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥

eσξ（-d1σ+c-βS-∞（σS-∞）（λ1-σ）/σ）.

由（9）式可知，（σS-∞）（λ1-σ）/σ<σS-∞<1，所以

d1S″-（ξ）-cS′-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥

eσξ（-d1σ+c-βσ（S-∞）2）≥0.  】

引理5  令η1<η2

M2>max1，M1，-βe-λ1cτ（1+aσS-∞e-λ1cτ）σΔ（λ1+η2，c），

则I-（ξ）满足

d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）+

βS-（ξ-cτ）g（I+（ξ-cτ））-

γI-（ξ）-rhI-（ξ）b+I-（ξ）≥0，（10）

其中ξ≠ξ3=-lnM2/η2.

证明  当ξ≥ξ3时I-（ξ）=0，不等式恒成立.当ξ<ξ3<0时I-（ξ）=eλ1ξ（1-M2eη2ξ）.对所有x≥0有g（x）≥x（1-ax），且

S-∞-1σeσξ≤S-（ξ）≤S-∞，

eλ1ξ（1-M2eη2ξ）≤I-（ξ）≤

eλ1ξ（1-M1eη1ξ）， ξ∈R.

所以

d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）+

βS-（ξ-cτ）g（I-（ξ-cτ））-

γI-（ξ）-rhI-（ξ）b+I-（ξ）≥

d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）-γ+rhbI-（ξ）+

βS-（ξ-cτ）I-（ξ-cτ）（1-aI-（ξ-cτ））≥

d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）-γ+rhbI-（ξ）+

βS-∞-1σeσξ

（eλ1（ξ-cτ）-M2e（λ1+η2）（ξ-cτ）-

aβS-∞e2λ1（ξ-cτ）≥

-M2Δ（λ1+η2，c）e（λ1+η2）ξ-

βσeσξ（eλ1（ξ-cτ）-M2e（λ1+η2）（ξ-cτ））-

aβS-∞e2λ1（ξ-cτ）≥

e（λ1+η2）ξ-M2Δ（λ1+η2，c）-

βσe-λ1cτe（σ-η2）ξ-aβS-∞e-2λ1cτe（λ1-η2）ξ.

由于η2

d3I″-（ξ）-cI′-（ξ）+βS-（ξ-cτ）×

g（I-（ξ-cτ））-γI-（ξ）-rhI-（ξ）b+I-（ξ）≥

e（λ1+η2）ξ-M2Δ（λ1+η2，c）-

βσe-λ1cτ-aβS-∞e-2λ1cτ>0.

因此不等式（10）成立.  】

下面利用構造的上、下解（S+（ξ），I+（ξ））和（S-（ξ），I-（ξ））验证Schauder不动点定理成立的条件.为阅读方便和计算，记扩散系数d3=Δd2.

当c>c*时，定义CφM上的非空闭凸集

Γ={（S，I）∈CφM：S-（ξ）≤S（ξ）≤

S+（ξ），I-（ξ）≤I（ξ）≤I+（ξ）}.

定义算子G=（G1，G2）：ΓCφM为

G1（S，I）（ξ）：=α1S（ξ）-βS（ξ）g（I（ξ）），

G2（S，I）（ξ）：=（α2-γ）I（ξ）+

βS（ξ-cτ）g（I（ξ-cτ））-rhI（ξ）b+I（ξ），

其中αi（i=1，2）是常数，且α1>β/a，α3>（γb+rh）/b.则系统（6）改写为

d1S″（ξ）-cS′（ξ）-α1S（ξ）+

G1（S，I）（ξ）=0，

d2I″（ξ）-cI′（ξ）-α2I（ξ）+

G2（S，I）（ξ）=0.（11）

令Λ-i<0<Λ+i（i=1，2）为方程diΛ2-cΛ-αi=0的根，根据韦达定理可得Λ-iΛ+i=-αi/di.定义算子F=（F1，F2）：ΓC（R，R2）为

F1（S，I）（ξ）：=1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+

∫∞ξeΛ+1（ξ-x）G1（S，I）（x）dx，

F2（S，I）（ξ）：=1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+

∫∞ξeΛ+2（ξ-x）G2（S，I）（x）dx，

其中ρi=di（Λ+i-Λ-i）（i=1，2）.容易验证F的任何不动点都是系统（11）的解，亦是系统（4）的行波解.因此证明系统（6）解的存在性转化为验证算子F满足Schauder不动点定理的条件.这里将证明分成两个引理.

引理6  算子F是Γ上的映射.

证明  给定（S，I）∈Γ，只需证Fi（S，I）∈Γ（i=1，2）.基于常数αi（i=1，2）的选取，需证明对任意ξ∈R，有

S-（ξ）≤F1（S-，I+）（ξ）≤F1（S，I）（ξ）≤

F1（S+，I-）（ξ）≤S+（ξ），（12）

I-（ξ）≤F2（S-，I-）（ξ）≤F2（S，I）（ξ）≤

F2（S+，I-）（ξ）≤I+（ξ）.（13）

首先证明（12）式成立.当ξ>ξ2时，由（11）式可得

F1（S-，I+）（ξ）=

1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

G1（S-，I+）（x）dx=

1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

（α1S-（x）+cS′-（x）-d1S″-（x））dx≥

S-（ξ）+d1ρ1eΛ-1（ξ-ξ2）（S′-（ξ2+0）-

S′-（ξ2-0））≥S-（ξ）.

由F1（S-，I+）（ξ）和S-（ξ）的连续性可知，当ξ<ξ2时，有

F1（S-，I+）（ξ）≥S-（ξ）.

对任意ξ∈R有G1（S，I）（ξ）≤α1S（ξ），从而

F1（S+，I-）（ξ）=

1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

G1（S+，I-）（x）dx≤

1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）α1S+（x）dx≤

α1S-∞ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）dx+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）dx=

α1S-∞ρ11Λ+1-1Λ-1=S-∞.

因此（12）式成立.

下证（13）式成立.当ξ>ξ3时，由（10）式可得

F2（S-，I-）（ξ）=

1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+∫∞ξeΛ+2（ξ-x）×

G2（S-，I-）（x）dx≥

1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

（α2I-（x）+cI′-（x）-d2I″-（x））dx≥

I-（ξ）+d2ρ2eΛ-2（ξ-ξ3）（I′-（ξ3+0）-

I′-（ξ3-0））≥I-（ξ）.

当ξ<ξ1时，由（8）式可得

F2（S+，I+）（ξ）=

1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+∫∞ξeΛ+2（ξ-x）×

G2（S+，I+）（x）dx≤

1ρ2∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）+∫∞ξeΛ+2（ξ-x）×

（α2I+（x）+cI′+（x）-d2I″+（x））dx=

α2ρ2I+（ξ）∫ξ-∞eΛ-2（ξ-x）dx+

∫∞ξeΛ+2（ξ-x）dx=I+（ξ）.

进一步应用F2（S，I）（ξ），I-（ξ），I+（ξ）的连续性，可得（13）式成立.  】

设存在常数λ>0，使得λ<-min{Λ-1，Λ+1}.定义空间

Bλ（R，R2）=（S，I）∈CφM：

supξ∈RS（ξ）e-λ｜ξ｜<+∞，

supξ∈RI（ξ）e-λ｜ξ｜<+∞

及范数

（S，I）λ=maxsupξ∈RS（ξ）e-λ｜ξ｜，

supξ∈RI（ξ）e-λ｜ξ｜，

则Bλ（R，R2）是从R到R2且具有衰减范数·λ的Banach空间.

引理7  算子F=（F1，F2）：ΓΓ关于范数·λ在Bλ（R，R2）上是全连续的.

证明  对任意（S，I），（，）∈Γ，由微分中值定理可知：存在常数L>0，对任意ξ∈R，有

G1（S，I）（ξ）-G1（，）（ξ）≤

L（S（ξ）-（ξ）+I（ξ）-（ξ）），

G2（S，I）（ξ）-G2（，）（ξ）≤

L（S（ξ-cτ）-（ξ-cτ）+

I（ξ-cτ）-（ξ-cτ）+

I（ξ）-（ξ））.

因而对任意（S，I），（，）∈Γ，有

F1（S，I）（ξ）-F1（，）（ξ）≤

1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

G1（S，I）（x）-G1（，）（x）dx≤

Lρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

（S（x）-（x）+I（x）-（x））dx.

所以

F1（S，I）（ξ）-F1（，）（ξ）e-λ｜ξ｜≤

2Lρ1

∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

eλ｜x｜-λ｜ξ｜dxS-Iλ≤

2Lρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）eλ（｜ξ｜-｜x｜）dx+

∫∞ξeΛ+1（ξ-x）e-λ（｜x｜-｜ξ｜）dxS-Iλ=

2Lρ11Λ+1-λ-1Λ-1+λS-Iλ，

因此算子F1关于范数·λ是连续的. 类似可得算子F2也是连续的.

下证算子F关于范数·λ是紧的. 对任意（S，I）∈Γ，ξ∈R，有

ddξF1（S，I）（ξ）=

1ρ1∫ξ-∞Λ-1eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξΛ+1eΛ+1（ξ-x）×

G1（S，I）（x）dx≤

S-∞ρ1α1+βa×

∫ξ-∞Λ-1eΛ-1（ξ-x）dx+∫∞ξΛ+1eΛ+1（ξ-x）dx=

2S-∞ρ1α1+βa.（14）

同理可得，對任意ξ∈R，有

ddξF2（S，I）（ξ）≤

1ρ2α2I（ξ）+rhbI（ξ）×

∫ξ-∞Λ-2eΛ-2（ξ-x）dx+

∫∞ξΛ+2eΛ+2（ξ-x）dx=

2aρ2α2+rhbβS-∞γ-1.（15）

因此Fi（S，I）（i=1，2）关于ξ连续.

另一方面，对任意（S，I）∈Γ，算子F：ΓΓ满足

F1（S，I）（ξ）

F2（S，I）（ξ）≤1aβS-∞γ-1， ξ∈R.

因此对任意ε>0，存在N>0（N∈N），使得对任意ξ>N，都有

（F1（S，I）（ξ）+F2（S，I）（ξ））e-λ｜ξ｜≤

S-∞+1aβS-∞γ-1e-λN<ε.（16）

由（14）～（15）式及Arzel-Ascoli定理，可以选取F（Γ）中有限个元素使得当ξ

3  行波解的存在性

定理2  假定R0>1.对任意c>c*，系统（4）存在非平凡行波解（S（x+ct），I（x+ct）），满足

0

0

及邊界条件

S（-∞）=S-∞， S（∞）=S∞， I（±∞）=0.

此外，S（ξ）关于ξ∈R单调递减，且

∫∞-∞S（x）g（I（x））dx=cβ（S-∞-S∞），

∫∞-∞I（ξ）dξ=cbγb+rh（S-∞-S∞）.

0

证明  当c>c*时，根据引理6和引理7，由Schauder不动点定理可得，（S，I）∈Γ是算子F的不动点，因此（S（x+ct），I（x+ct））是系统（4）的行波解，且

0≤S（ξ）≤S-∞，

0≤I（ξ）≤1aβS-∞γ-1， ξ∈R.

下证（17）式成立.设（S，I）∈Γ是算子F的不动点，则S（ξ）=F1（S，I）（ξ）.由于S-（ξ）是连续函数且不恒为零，从而

G1（S-，I+）（ξ）=

α1S-（ξ）-βS-（ξ）g（I+（ξ））≥

α1-βaS-（ξ）， ξ∈R.

因此

S（ξ）=F1（S，I）（ξ）≥F1（S-，I+）（ξ）=

1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）+∫∞ξeΛ+1（ξ-x）×

G1（S-，I+）（x）dx≥

α1-βa

1ρ1∫ξ-∞eΛ-1（ξ-x）S-（x）dx+

α1-βa1ρ1∫∞ξeΛ+1（ξ-x）

S-（x）dx>0.

类似可证其余不等式也成立，因此（17）式成立.

以下我们将证明分为四个步骤.

（Ⅰ）分析当ξ→-∞时，S（ξ），I（ξ）的渐近边界条件.

由上下解的定义可知，对任意ξ∈R，有

S-∞-1σeσξ≤S（ξ）≤S-∞，

eλ1ξ（1-M2eη2ξ）≤I（ξ）≤eλ1ξ（1-M1eη1ξ），

所以由极限性质可得

limξ→-∞S（ξ）=S-∞，

limξ→-∞I（ξ）=0.

由于（S，I）∈Γ是算子F的不动点，对映射F1，F2应用LHspital法则可得

limξ→-∞（S′（ξ），I′（ξ））=（0，0）.

（Ⅱ）S（ξ）关于ξ的单调性.

对系统（6）的第一个方程两边从-∞到ξ积分可得

d1S′（ξ）=c（S（ξ）-S-∞）+

β∫ξ-∞S（x）g（I（x））dx.（18）

假设积分

∫∞-∞S（x）g（I（x））dx<∞.（19）

若假设不成立，则根据上下解的定义，对所有ξ∈R，00，使得对所有充分大的ξ，有S′（ξ）>δ，那么当ξ→∞时S（ξ）→∞，这与S（ξ）的有界性相矛盾.因此假设成立，从而S′（ξ）对所有ξ∈R一致有界.

由系统（6）的第一个方程得到其等价方程

e（-c/d1）ξS′（ξ）′=

βd1d（-c/d1）ξS（ξ）g（I（ξ））.

等式两边从ξ到∞积分得

S′（ξ）=-βd1e（c/d1）ξ∫∞ξe（-c/d1）x×

S（x）g（I（x））dx.

由于S（ξ），I（ξ）>0关于ξ∈R连续，从而对ξ∈R， S′（ξ）<0，因此S（ξ）关于ξ∈R是单调递减的.

（Ⅲ）分析当ξ→∞时，S（ξ），I（ξ）的渐近边界条件.

已知S（ξ）关于ξ∈R单调递减，因此0

I（ξ）=F2（S，I）（ξ）=

12

∫ξ-∞e-2（ξ-x）+∫∞ξe+2（ξ-x）βS（x-cτ）×

g（I（x-cτ））-rhI（x）b+I（x）dx，（20）

其中-2<0<+2为方程d22-c-γ=0的两个根，系数2=d2（+2--2）.根据（19）式，令

∫∞-∞S（x）g（I（x））dx=A，

且根据I（ξ）的有界性，令

∫∞-∞rhI（ξ）b+I（ξ）dξ=B，

则由Fubini定理可得

∫∞-∞I（ξ）dξ=12∫∞-∞∫ξ-∞e-2（ξ-x）+

∫∞ξe+2（ξ-x）βS（x-cτ）×

g（I（x-cτ））-rhI（x）b+I（x）dxdξ=

β2∫∞-∞S（ξ-cτ）g（I（ξ-cτ））dξ×

∫ξ-∞e-2（ξ-x）+∫∞ξe+2（ξ-x）dx-

12∫∞-∞rhI（ξ）b+I（ξ）dξ×

∫ξ-∞e-2（ξ-x）+∫∞ξe+2（ξ-x）dx=

β21+2-1-2A-

121+2-1-2B=

1γ（Aβ-B）.

對于（S，I）∈Γ，有

0

S（ξ-cτ）I（ξ-cτ）1+aI（ξ-cτ）≤S-∞a， ξ∈R.

所以对任意ξ∈R，有

I′（ξ）≤

β2Λ′-2

∫ξ-∞e-2（ξ-x）+Λ′+2∫∞ξe+2（ξ-x）×

S（x-cτ）g（I（x-cτ））-rhI（x）b+I（x）dx≤

β2Λ′-2

∫ξ-∞e-2（ξ-x）+Λ′+2∫∞ξe+2（ξ-x）×

S（x-cτ）g（I（x-cτ））dx≤2βS-∞a2.

因此I′（ξ）是一致有界的，且I（ξ）在R上是可积的，这意味着limξ→∞I（ξ）=0.若不然，则存在ε>0，δ>0以及序列{ξn}，使得对所有ξ-ξn<δ有I（ξ）≥ε，这与I（ξ）的可积性相矛盾.此外，

limξ→∞S（ξ）=S∞，在（18）式中令ξ→∞，则根据（19）

式可得limξ→∞S′（ξ）存在.由于对所有ξ∈R，S′（ξ）<0，从而limξ→∞S′（ξ）≤0，因此limξ→∞S′（ξ）=0.若不然，则limξ→∞S′（ξ）<0，这意味着limξ→∞S（ξ）=-∞，这与S（ξ）的正性相矛盾.

由于limξ→∞S′（ξ）=0，limξ→∞S（ξ）=S∞，于是在（18）式中令ξ→∞，则

A=∫∞-∞S（ξ）g（I（ξ））dξ=

limξ→∞d1S′（ξ）+c（S-∞-S∞）β=

cβ（S-∞-S∞）.（21）

同理可得

∫∞-∞I（ξ）dξ=1γ（Aβ-B）=

cbγb+rh（S-∞-S∞）.（22）

对系统（6）的第二个方程两边从-∞到ξ积分得到

d2I′（ξ）=cI（ξ）-

β∫ξ-∞S（x-cτ）g（I（x-cτ））dx+

γ∫ξ-∞I（x）dx+∫ξ-∞rhI（x）b+I（x）dx.

令ξ→∞，则由（21）和（22）式可知，

limξ→∞I′（ξ）=0.

（Ⅳ）证明对任意ξ∈R，有

0

由文献［8］定理2.9可知，令

Nc（ξ）：=I（ξ）+γb+rhcb∫ξ-∞I（x）dx+

γb+rhcb∫∞ξecd2（ξ-x）I（x）dx， ξ∈R.

（23）

根据已有结论

limξ→-∞Nc（ξ）=0， limξ→∞Nc（ξ）=S-∞-S∞.（24）

对（23）式关于ξ求导可得

N′c（ξ）：=I′（ξ）+

γb+rhbd2∫∞ξecd2（ξ-x）I（x）dx，（25）

从而limξ→-∞N′c（ξ）=limξ→∞N′c（ξ）=0.

对（25）式关于ξ求导，由于I（ξ）满足系统（6）的第二个等式，且I（±∞）=0，因而

d2N″c（ξ）=

cI′（ξ）+γb+rhbd2∫∞ξecd2（ξ-x）I（x）dx-

βS（ξ-cτ）g（I（ξ-cτ））=

cN′c（ξ）-βS（ξ-cτ）g（I（ξ-cτ））， ξ∈R，

N′c（±∞）=0，

由常数变易法易得

N′c（ξ）=βd2ecξd2∫∞ξe-cξd2S（x-cτ）×

g（I（x-cτ））dx>0， ξ∈R.

因此Nc（ξ）关于ξ是非减的，由（24）式得

0

limξ→∞Nc（ξ）=S-∞-S∞， ξ∈R.

综上所述，结论成立.  】

4  结论

本文讨论了一类具有饱和恢复率的SEIR 时滞模型行波解的存在性.首先，讨论系统对应的二维初值问题的适定性；其次，构造一对有界的向量值上、下解，利用Schauder不动点定理证明当c>c*时行波解的存在性；最后，得到系统行波解的存在性.这些结论能较好地刻画从初始无病平衡点到最终无病平衡点这一过程的疾病传播，并且考虑疾病潜伏期以及属地医院的医疗条件也更加贴合实际.与行波解的存在性密切相关的一个问题是其不存在性，猜测当01或R0≤1时，行波解不存在.此外，疾病的长距离传播或潜伏期的动态变化也是值得考虑的实际问题，这些将是笔者进一步研究的问题.

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（責任编辑  马宇鸿）