保持等价关系的变换半群的一些结果

王守峰 陈辉

DOI：10.16783/j.cnki.nwnuz.2024.01.002

收稿日期：20230205;修改稿收到日期：20230510

基金项目：国家自然科学基金资助项目（12271442）

作者简介：王守峰（1979—），男，山东济南人，教授，博士.主要研究方向为半群理论及其应用.

Email：wsf1004@163.com

摘要：给出了保持等价关系的变换半群上的格林关系L，R，H和格林*-关系L*，R*，H*相容的充要条件，刻画了这类半群的左（右， 完全）正则性，得到了这类半群的全体幂等元（正则元， 富足元）构成子半群的等价描述.

关键词：变换半群；格林*-关系；正则性；富足元;幂等元

中图分类号：O 152.7    文献标志码：A    文章编号：1001-988Ⅹ（2024）01-0005-06

Some results on transformation semigroups

that preserve an equivalence

WANG Shou-feng，CHEN Hui

（School of Mathematics，Yunnan Normal University，Kunming  650500，Yunnan，China）

Abstract：For transformation semigroups that preserve an equivalence，sufficient and necessary conditions are given，

in which the Green relations L，R，H and Green *-relations L*，R*，H* are compatible.The left（right， completely） regularity are characterized，and equivalent descriptions are obtained that idempotent（regular， abundant） elements form a subsemigroup.

Key words：transformation semigroup;Green *-relation;regularity;abundant element;idempotent

0  引言

设X是非空集，T（X）是X上的全体变换半群，E是X上的等价关系，则对x，y∈X，

TE（X）={α∈T（X）：（x，y）∈E（xα，yα）∈E}

形成T（X）的子半群.该半群是裴惠生教授［1］首次引入的，自此，这类半群成为变换半群研究的热点，得到了国内外学者的广泛关注.文献［2，3］讨论了TE（X）上的格林关系，文献［4］讨论了TE（X）上的格林*-关系，文献［5，6］讨论了TE（X）上的单位正则元，文献［7，8］讨论了TE（X）上的自然偏序.

本文在上述研究的基础上刻画半群TE（X）上格林关系和格林*-关系的相容性、 相等性，以及半群TE（X）的左正则性、右正则性和完全正则性，同时给出其幂等元、正则元和富足元构成子半群的充要条件.

1  预备知识

对任意α∈T（X）及YX，记

Xα={xα：x∈X}，

Kerα={（x，y）∈X×X：xα=yα}，

Yα-1={x∈X：xα∈Y}.

设S是一个半群，S1表示在S上添加一个单位元后得到的半群.当S中有单位元时，S1表示S本身.根据文献［9］，半群S上的格林关系L和R定义如下：

L={（a，b）∈S×S：x，y∈S1，使得a=xb，b=ya}，

R={（a，b）∈S×S：x，y∈S1，使得a=bx，b=ay}.

记H=L∩R，则H也是S上的格林关系.

引理1［9］  设α，β∈T（X），则

（1）（α，β）∈L当且仅当Xα=Xβ；

（2）（α，β）∈R当且仅当Kerα=Kerβ；

（3）（α，β）∈H当且仅当Xα=Xβ，Kerα=Kerβ.

设X/E是X的E-类构成的集合.对任意的α∈TE（X），记

E（α）={Aα-1：A∈X/E，Aα-1≠}.

引理2［2］  设α，β∈TE（X），则

（1）（α，β）∈L当且仅当Xα=Xβ，且对任意A∈X/E，存在B，C∈X/E，使得AαBβ；

（2）（α，β）∈R当且仅当Kerα=Kerβ，E（α）=E（β）；

（3）（α，β）∈H當且仅当Xα=Xβ，Kerα=Kerβ，E（α）=E（β），且对任意A∈X/E，都存在B，C∈X/E，使得AαBβ，AβCα.

引理3［2］  设α∈TE（X），则α正则当且仅当对任意A∈X/E，存在B∈X/E，使得A∩XαBα.

记

εX={（x，x）：x∈X}，

ωX={（x，y）：x，y∈X}.

引理4［2］  半群TE（X）正则当且仅当E=εX或E=ωX.此时，TE（X）=T（X）.

设S是半群，则S上的格林*-关系L*和R*定义如下：

L*={（a，b）∈S×S：x，y∈S1，

ax=aybx=by}，

R*={（a，b）∈S×S：x，y∈S1，

xa=yaxb=yb}.

显然，L*和R*是半群S上的等价关系，L*右相容，R*左相容.记H*=L*∩R*.称S中的元素a是右（左）富足元，若包含a的L*-类（R*-类）具有幂等元.既是左富足元又是右富足元的元素称为富足元.进一步，若S的每个元素都是左富足元（右富足元， 富足元），则称S左富足（右富足，富足）.容易验证，正则元是富足元，且在正则半群S上，有

L=L*， R=R*， H=H*.

一般情况下，有

LL*， RR*， HH*.

引理5［4］  设α，β∈TE（X），则

（1）（α，β）∈L*当且仅当Xα=Xβ；

（2）（α，β）∈R*当且仅当Kerα=Kerβ；

（3）（α，β）∈H*当且仅当Xα=Xβ，Kerα=Kerβ.

对任意α∈TE（X），记X上包含E和Kerα的最小的等价关系为Eα.

引理6［4］  对半群TE（X）及α∈TE（X），下列结论成立：

（1）TE（X）的每个L*-类都包含幂等元，从而TE（X）是右富足半群；

（2）α是富足元当且仅当：对于每一个Eα-类F，都存在A∈X/E，使得对任意包含在F中的Kerα-类K都有A∩K≠；

（3）TE（X）富足当且仅当每个E-类至多含2个元素或至多有一个非单点集E-类.

2  主要结果

本节首先给出半群TE（X）上格林关系和格林*-关系相容的充要条件，然后刻画半群TE（X）的左正则性、右正则性和完全正则性，最后给出幂等元、正则元和富足元构成子半群的等价刻画.

命题1  对半群TE（X），下列结论等价：

（1）L左相容；

（2）H左相容；

（3）X=1；

（4）L*左相容；

（5）H*左相容.

证明  （1）（2）.由H=L∩R且R总是左相容关系知此时H左相容.

（2）（3）和（5）（3）.假设（3）不成立，则X≥2.若E=εX，则由引理4知TE（X）=T（X）.取a，b∈X并定义α，β，γ∈T（X）如下：

xα=a， x=a，b， x≠a;

xβ=b， x=a，a， x≠a;

xγ=a， x∈X.

则Xα=Xβ且Kerα=Kerβ，于是由引理1知：在T（X）中有（α，β）∈HH*.然而Xγα={a}≠{b}=Xγβ，从而由引理1知，在T（X）中有（γα，γβ）H.由于T（X）正则，故H=H*.这说明H和H*两者都不左相容.

若E≠εX，则存在A∈X/E使得A≥2.取a，b∈A，并且定义α，β，γ∈T（X） 如下：

xα=a， x=a，b， x≠a;

xβ=b， x=a，a， x≠a;

xγ=a， x∈X.

则α，β，γ∈TE（X），Xα=Xβ，Kerα=Kerβ，E（α）={X}=E（β），且对任意B∈X/E，有BαAβ，BβAα.

由引理2知（α，β）∈HH*.然而Xγα={a}≠{b}=Xγβ，因此由引理5知（γα，γβ）H*，这说明H和H*两者都不左相容.

（4）（5）.由H*=L*∩R*且R*总是左相容关系知此时H*左相容.

（3）（4）和（3）（1）.显然.  】

命题2  对半群TE（X），下列结论等价：

（1）R右相容；

（2）H右相容；

（3）X≤2；

（4）R*右相容；

（5）H*右相容.

证明  （1）（2）.由H=L∩R且L总是右相容关系知，此时H右相容.

（2）（3）和（5）（3）.假设（3）不成立，则X≥3.若E=εX或E=ωX，则据引理4可知TE（X）=T（X）.取a，b，c∈X并定义α，β，γ∈T（X）如下：

xα=b， x=a，c， x=b，a， x=c，x， x≠a，b，c;

xβ=a， x=a，c， x=bb， x=c，x， x≠a，b，c;

xγ=c， x=b，a， x≠b.

则Xα=Xβ，Kerα=Kerβ.由引理1知，在T（X）中（α，β）∈HH*.然而

xαγ=c， x=a，a， x≠a;

xβγ=c， x=c，a， x≠c.

注意到

（b，c）∈Ker（αγ）， （b，c）Ker（βγ），

所以Kerαγ≠Kerβγ.由引理1知在T（X）中有（αγ，βγ）H.由于T（X）正則，故H=H*.这说明H和H*都不右相容.

若E≠εX且E≠ωX，则存在两个不同的E-类A，B使得A≥2.取a1，a2∈A，b∈B，定义α，β，γ∈T（X）如下：

xα=a2， x=a1，a1， x∈A＼{a1}，b， xA;

xβ=a1， x=a1，a2， x∈A＼{a1}，b， xA;

xγ=x， x∈A，a2， xA.

则α，β，γ∈TE（X）.易证

Xα=Xβ， Kerα=Kerβ，

E（α）={A，X＼A}=E（β），

且对任意C∈X/E，有CαCβ，CβCα.由引理2知（α，β）∈HH* ，然而

a2αγ=a1γ=a1≠a2=bγ=bαγ，

a2βγ=a2γ=a2=bγ=bβγ，

这表明Kerαγ≠Kerβγ.由引理5知（αγ，βγ）H*.这说明H和H*不右相容.

（4）（5）.由H*=L*∩R*且L*总是右相容关系知此时H*右相容.

（3）（4）和（3）（1）.若X=1，则结论成立.下设X=2，此时有E=εX或E=ωX，因此TE（X）=T（X）.由T（X）正则知R=R*.设X={a，b}，并记

α=abaa， β=abbb，

γ=abab， δ=abba，

则Kerα=Kerβ，Kerγ=Kerδ.由引理1知T（X）的R-类有{α，β}和{γ，δ}.由事实

αα=α， βα=α， αβ=β， ββ=β，

αγ=α， βγ=β， αδ=β， βδ=α，

γα=α， δα=α， γβ=β， δβ=β，

γγ=γ， δγ=δ， γδ=δ， δδ=γ

可知R和R*都相容.  】

命题3  在TX（X）中，L=L*当且仅当E=εX或E=ωX.

证明  若L=L*，则由引理6（1）知，每个L*-类都包含幂等元，从而每个L-类都包含幂等元，故TE（X）正则.由引理4知E=εX或E=ωX.反之，若E=εX或E=ωX，则由引理4知TE（X）正则，从而L=L*.  】

命题4  在TE（X）中，R=R*当且仅当E=εX或E=ωX.

证明  若E=εX或E=ωX，则由引理4知TE（X）正则，从而R=R*.反之，若R=R*，E≠εX且E≠ωX，则存在两个不同的E-类A，B，使得A≥2.取a1，a2∈A，b∈B，定义α，β∈T（X）如下：

xα=a1， x∈A，b， x∈X＼A;

xβ=a2， x∈A，a1， x∈X＼A.

易证α，β∈TE（X）且Kerα=Kerβ，由引理5（2）知（α，β）∈R*.但由

E（α）={A，X＼A}和E（β）={X）知E（α）≠E（β）.由引理2得（α，β）R.这是一个矛盾.  】

命题5  在TE（X）中，H=H*当且仅当下列条件之一成立：

（1）E=εX；

（2）E=ωX；

（3）X恰含有2个E-类且每个E-类中至多含有两个元素.

证明  先证必要性.设H=H*，若条件（1）～（3）不成立，则有以下两种情况：

（i）X/E=2且存在某个E-类A使得A≥3.设X/E={A，B}并取a1，a2，a3∈A，b∈B，定义α，β∈T（X）如下：

xα=a2， x=a1，a3， x∈A＼{a1}，a1， x∈B;

xβ=a3， x=a1，a1， x∈A＼{a1}，a2， x∈B.

则α，β∈TE（X）且Xα=Xβ，Kerα=Kerβ.由引理5（3）知（α，β）∈H*.又因为

Aα={a2，a3}， Aβ={a3，a1}， Bβ={a2}，

故不存在C∈X/E使得AαCβ.从而由引理2知（α，β）H.这说明H≠H*.矛盾.

（ii）X/E≥3且存在某个E-类A，使得A≥2.取B，C∈X/E，a1，a2∈A，b∈B，c∈C，定义α，β∈T（X）如下：

xα=a1， x∈A，a2， x∈B，b， x∈X＼（A∪B）;

xβ=b， x∈A，a1， x∈B，a2， x∈X＼（A∪B）.

则α，β∈TE（X）且Xα=Xβ，Kerα=Kerβ.由引理5知（α，β）∈H*.但

E（α）={A∪B，X＼（A∪B）}≠

{A，X＼A}=E（β）.

由引理2知（α，β）H.矛盾.

再证充分性.若条件（1）或（2）成立，则由引理4知TE（X）正则，從而H=H*.若条件（3）成立，则可设X/E={A，B}，其中A，B≤2.由于HH*，故只需证明H*H.任取α，β∈TE（X）.设（α，β）∈H*，则由引理5知Xα=Xβ，Kerα=Kerβ.由于X/E={A，B}，故E（α）={X}或E（α）={A，B）.

（i）E（α）={X}.此时，存在C∈X/E使得Cα-1=X.故Xβ=XαC，于是X=Cβ-1，从而E（β）={X}=E（α）.设D∈X/E.若Dα=1，不妨记Dα={u}，则u∈Xα=Xβ，从而存在x∈X使得xβ=u.设x∈M，M∈X/E，则Dα={u}Mβ.若Dα=2，则由D≤2知D=2.记D={a1，a2}和a1α=u1，a2α=u2，其中u1≠u2.又Kerα=Kerβ，故a1β≠a2β.注意到

Dβ={a1β，a2β}Xβ=Xα

CXαDα={u1，u2}

及C至多有两个元素这一事实可知Dα=Dβ.

（ii）E{α）={A，B}.设

A=Pα-1，B=Qα-1，P，Q∈X/E，P≠Q，

则AαP，BαQ.由

Aα∪Bα=Xα=Xβ=Aβ∪Bβ

知AβP，BβQ或AβQ，BβP.

这表明E（β）={P，Q}={A，B}=E（α）.

由Aα=Xα∩P=Xβ∩P=（Aβ∪Bβ）∩P

知，Aα等于Aβ或Bβ.类似可知Bα也等于Aβ或Bβ.

上述讨论证明了Xα=Xβ，Kerα=Kerβ，E（α）=E（β），且对任意U∈X/E，都有V∈X/E使得UαVβ.对偶可证，对任意U∈X/E，都有V∈X/E使得UβVα.由引理2知（α，β）∈H.这就证明了H=H*.  】

称半群S左正则（右正则， 完全正则），若对任意a∈S，有aLa2（aRa2，aHa2）.

由文献［9］定理4.4.3可得下列结果：设S是正则半群，则S左正则当且仅当S右正则当且仅当S完全正则.

命题6  对半群TE（X），下列结论等价：

（1）TE（X）左正則；

（2）TE（X）右正则；

（3）TE（X）完全正则；

（4）X≤2.

证明  （1）（4）， （2）（4）， （3）（4）.设X≥3.若E=εX或E=ωX，则由引理4可知TE（X）=T（X）.取a，b，c∈X并定义α∈T（X）如下：

xα=b， x=a，c， x≠a，

则Xα={b，c}，但是Xα2={c}，于是Xα≠Xα2.由引理1知（α，α2）L，故TE（X）不是左正则.又因为（a，b）Kerα，而（a，b）∈Kerα2，这表明Kerα≠Kerα2.由引理1知（α，α2）R且（α，α2）H.这说明TE（X）既不右正则也不完全正则.

设E≠εX且E≠ωX.此时存在两个不同的E-类A，B使得A≥2.取a1，a2∈A，b∈B，并定义α∈T（X）如下：

xα=a1， x∈A，a2， xA，

则α∈TE（X）且Xα={a1，a2}，但是Xα2={a1}，于是Xα≠Xα2.由引理2知（α，α2）L，这说明TE（X）不是左正则.又因为（a2，b）Kerα，而（a2，b）∈Kerα2，这表明Kerα≠Kerα2.由引理2知（α，α2）R且（α，α2）H.故TE（X）既不右正则也不完全正则.

（4）（1），（2）和（3）.若X=1，则（1）～（3）显然成立.若X=2，则E=εX或E=ωX.由引理4知TE（X）=T（X）.设X={a，b}且α∈TE（X）.设Xα≠Xα2，则由Xα2XαX={a，b}知Xα2=1且Xα={a，b}.于是存在x，y∈X使得xα=a，yα=b，从而Xα2={a，b}，矛盾.这说明Xα=Xα2.故由引理1知（α，α2）∈L，即TE（X）左正则.据事实T（X）正则知TE（X）右正则且完全正则.  】

最后给出TE（X）中幂等元、正则元和富足元形成子半群的充分必要条件.

命题7  TE（X）中幂等元形成子半群当且仅当X≤2.

证明  若X=1，则TE（X）中幂等元显然形成子半群.若X=2，则E=εX或E=ωX，由引理4知TE（X）=T（X）.设X={a，b}并记

α=abaa，

β=abbb，

γ=abab，

δ=abba，

则T（X）={α，β，γ，δ}且其幂等元集为E（T（X））={α，β，γ}.易证E（T（X））形成子半群.

设X≥3.若E=εX或E=ωX，则由引理4知TE（X）=T（X）.取a，b，c∈X并定义e，f∈T（X）如下：

xe=a， x=a，b， x≠a;

xf=b， x=b，c， x≠b.

则e2=e，f2=f.由a（ef）2=cef=b≠c=aef知ef≠（ef）2.若E≠εX且E≠ωX，则存在两个不同的E-类A，B使得A≥2.取a1，a2∈A，b∈B，定义e，f∈T（X）如下：

xe=a2， x∈A，b， xA;

xf=a2， x=a2，a1， x∈X＼{a2}.

则e，f∈TE（X）且e2=e，f2=f.于是由b（ef）2=a1ef=a2≠a1=bef知ef≠（ef）2.  】

命题8  TE（X）的正则元形成子半群当且仅当E=εX或E=ωX.

证明  若E=εX或E=ωX，则由引理4知，TE（X）中所有元素均正则.此时，TE（X）的正则元集显然形成子半群.若E≠εX且E≠ωX，则存在两个不同的E-类A，B使得A≥2.取a1，a2∈A，b∈B，并定义α，β∈T（X）如下：

xα=a1， x∈A，x， x∈X＼A;

xβ=a1， x=a1，a2， x∈（A＼{a1}）∪B，x， x∈X＼（A∪B）.

则α，β∈TE（X）且

xαβ=a1， x∈A，a2， x∈B，x， x∈X＼（A∪B）.

注意到A∩Xα={a1}=Aα，A∩Xβ={a1，a2}=Aβ，则由引理3知α，β正则.因为A∩Xαβ={a1，a2}，故对任意C∈X/E，A∩Xαβ不包含在Cαβ中.再由引理3知αβ不是正则元.  】

命题9  TE（X）的富足元集形成子半群当且仅当每个E-类至多含2个元素或至多有一个非单点集E-类.

证明  若所给条件成立，则由引理6（3）知，TE（X）中每一个元素均富足，此时TE（X）中的富足元当然形成子半群.若所给条件均不成立，则存在两个E-类A，B使得A≥3，B≥2.取a1，a2，a3∈A，b1，b2∈B，并定义α，β∈T（X）如下：

xα=a1， x=a1，a2， x∈A＼{a1}，x， x∈X＼A;

xβ=a2， x=b1，a3， x∈B＼{b1}，x， x∈X＼B.

容易看出α，β∈TE（X）且α2=α，β2=β.于是α，β都正则，从而α，β都是富足元.然而，由于

xαβ=a1， x=a1，a2， x∈（A＼{a1}）∪{b1}，a3， x∈B＼{b1}，x， x∈X＼（A∪B），

故αβ∈TE（X）且所有Eαβ-类是C和F=A∪B，其中C∈（X/E）＼{A，B}.另外，F恰含3个Kerα-类：K1={a1}，K2=（A＼{a1}）∪{b1}，K3=B＼{b1}.容易验证，对任意的D∈X/E，都存在某个Ki，使得D∩Ki=.由引理6（2）知αβ不是富足元.这说明TE（X）的富足元集不能形成子半群.  】

参考文献：

［1］  PEI Hui-sheng.Equivalences，α-semigroups and α-congruences［J］.Semigroup Forum，1994，49（1）：49.

［2］  PEI Hui-sheng.Regularity and Greens relations for semigroups of transformations that preserve an equivalence［J］.Commun Algebra，2005，33（1）：109.

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（責任编辑  马宇鸿）