幺半群中最小的变色龙

DOI：10.16783/j.cnki.nwnuz.2024.01.001

收稿日期：20230624;修改稿收到日期：20230818

作者简介：李永康（1973—），男，中国香港人，教授，博士.主要研究方向为半群代数.

Email：edmond.lee@nova.edu

摘要：称一个半群为变色龙，如果它既是一个有限基对合半群的约简，又是一个非有限基对合半群的约简.目前已知的变色龙最小的阶数为8，本文构造了两个阶数更小的变色龙，一个是阶数为7的半群，另一个是阶数为6的幺半群，后者恰好是幺半群中階数最小的一个变色龙.

关键词：半群；幺半群；对合半群；有限基；变色龙

中图分类号：O 153.5    文献标志码：A    文章编号：1001-988Ⅹ（2024）01-0001-04

A smallest chameleon among monoids

LEE Edmond W H

（Department of Mathematics，Nova Southeastern University，Florida 33328，USA）

Abstract：A semigroup is a chameleon if it is the reduct of both a finitely based involution semigroup and a non-finitely based involution semigroup.Presently，the smallest published example of a chameleon is of order eight.This article constructs two smaller examples：a semigroup of order seven and a monoid of order six.The latter turns out to be a smallest chameleon among monoids.

Key words：semigroup;monoid;involution semigroup;finitely based;chameleon

称一个代数为有限基的，如果它的等式可以有限公理化.许多重要代数类的有限成员都是有限基的，例如群［1］、结合环［2-3］和李代数［4］.但不是所有的有限代数都是有限基的.有限基问题，即确定哪些有限型的有限代数是有限基的，在一般情况下是不可判定的［5］.对于有限半群和有限对合半群，虽然近几十年得到了广泛研究，但它们的有限基问题仍未解决.称S，*为对合半群，如果S为半群，且“*”为满足以下等式的一元运算：

（x*）*≈x， （xy）*≈y*x*.（1）

称此一元运算“*”为S的对合运算.常见的例子是： 群G在逆映射“-1”下构成的对合半群G，-1，矩阵半群Mn 在转置“T”下构成的对合半群Mn，T.

虽然半群和对合半群在许多方面相似，但它们的等式性质可能会有很大的差异.尤其值得注意的是，对合半群S，*及其约简S不一定同时是有限基的［6-10］.在研究对合半群的等式时，另一个有趣的现象是：存在一个半群S既是一个有限基对合半群S，*的约简又是一个非有限基对合半群S，的约简［9-11］，为了方便起见，称这样的半群S为变色龙.

目前已知变色龙中阶数最小的为8：它是由一个非有限基6阶半群与一个3阶循环群或3阶非链半格合并而成的［10-12］.一个有趣的问题是：是否存在更小阶数的变色龙.本文构造了一个7阶的变色龙和一个6阶的变色龙，后者恰好是一个幺半群，并证明了6阶变色龙是幺半群中阶数最小的一个.

在非幺半群的半群中，是否存在小于6阶的变色龙？目前已经知道不存在阶数小于等于3的变色龙，这是因为每个阶数小于等于3的对合半群都是有限基的［13］.

问题1  是否存在4阶或者5阶的变色龙？

本文变色龙可以称为等式化的，因为在不同的对合运算下，它们变成具有不同等式特性的对合半群.值得注意的是，可以定义其他类型的变色龙，例如存在具有两个对合运算“*”和“”的半群S，其中簇VarS，*包含有限多个子簇，但簇VarS，包含不可数多个子簇［14］.

更多关于对合半群簇的信息可见文献［15-16］.

1  7阶变色龙

半群

H=e，f：e2=e，f2=f，efef=fefe=0

具有两个对合运算“*”和“”，分别由映射（e，f）（e，f）和（e，f）（f，e）诱导.本节证明H是一个变色龙（命题1和2）.

H0efefefeffefe

00000000

efe000000efe

fef00000fef0

ef0000efeefefe

fe000fef0feffe

f00feffeffeffe

e0efe0efefeefe

x*0efefeffeeffe

x0fefefeeffeef

命题1  对合半群H，*是有限基的.

证明  引入下列对合半群H0，*：

H00efefeeffe

0000000

efe00000efe

fe00000fe

ef00efe0efefe

f00fe0ffe

e0efeefeefefe

x*0efeeffefe

其中

H0=e，f：e2=e，f2=f，fef=0，

且运算“*”由映射（e，f）（e，f）诱导.对合半群H0，*的所有等式可以由（1）式和下式推导：

x3≈x2， x2yx2≈xyx，

xhykxty≈yhxkytx， xy*x*≈xyx*，

x*yx*≈xyx， xhx*kx≈xhxkx.（2）

换句话说，H0，*是有限基的［10］.

因为H0，*同构于H，*模理想{0，fef}，所以VarH0，*VarH，*.又因为H，*满足等式（2），所以VarH，*=VarH0，*，故H，*是有限基的.  】

一个对合半群S，称为扭的，如果它的簇VarS，包含对合半格Sl3，，其中Sl3={0，e，e}，且e2=e，ee=ee=0.

引理1［12］  令S，是任意一个扭对合半群.如果S是非有限基的，那么S，也是非有限基的.

命题2  对合半群H，是非有限基的.

证明  由命题1的证明可知，VarH，*=VarH0，*，故VarH=VarH0.因为半群H0是非有限基的［17］，所以半群H也是非有限基的.由于对合半群H，模理想{0，ef，fe，efe，fef}之后同构于Sl3，，故H，是扭的.根据引理1，H，是非有限基的.  】

2  6阶变色龙

幺半群

K=e，f：e2=e，f2=f，efe=fef=0∪{1}

具有兩个对合运算“*”和“”，分别由映射（e，f）（e，f）和（e，f）（f，e）诱导.本节证明K是一个变色龙（命题3和4）.

K0effeef1

0000000

ef0000efef

fe000fe0fe

e0ef0eefe

f00fefeff

10effeef1

x*0feefef1

x0effefe1

命题3  （i）对合幺半群K，是非有限基的;

（ii）幺半群K的等式可以由以下等式集公理化：

x3≈x2， x2yx2≈xyx，

xhxkx≈xhkx， xyxy≈yxyx.（3）

证明  引入下列对合幺半群K0，：

K00efef1

000000

ef000efef

e0efeefe

f000ff

10efef1

x0effe1

其中

K0=e，f：e2=e，f2=f，fe=0∪{1}，

且运算“”由映射（e，f）（f，e）诱导.因为K，模理想{0，fe}之后同构于K0，，所以VarK0，VarK，.注意到从K，到K0，×K0，的映射

0（0，0），  ef（ef，0），  fe（0，ef），

e（e，f），f（f，e），1（1，1）

是一个嵌入，所以VarK，=VarK0，，故VarK=VarK0.

性质（i）成立是因为K0，是非有限基的［6］，而性质（ii）成立是因为K0的等式可以由（3）公理化；具体细节参见文献［18］的命题3.2（a）.  】

设X是可数无限字母表且X*={x*：x∈X}是与X不交的X的一个复制.称X∪X*的元素为变元.字母表X上的自由对合幺半群是自由半群（X∪X*）+加上空集并且带有一元运算“*”，其中对任意x∈X，x1，x2，…，xn∈X∪X*∪{}，有

（x*）*=x， *=，

（x1x2…xn）*=x*nx*n-1…x*1.

称（X∪X*）+∪{}中的元素为字，而X+∪{}中的字为单纯字.字w的内容记作con（w），是w中出现的变元的集合.

显然每一个字w∈（X∪X*）+都可写成

w=xα11xα22…xαnn，

其中x1，x2，…，xn∈X，α1，α2，…，αn∈{1，*}；这个字w的单纯投影是指单纯字

=x1x2…xn.

字w中的变元x∈X∪X*是线性的，如果w=uxv，其中u，v∈（X∪X*）+∪{}，con（uv）.字w中线性变元的集合记作lin（w）.

引理2  令w1≈w2是K，*的任一等式且w1，w2∈（X∪X*）+，则

（i）con（1）=con（2）;

（ii）lin（w1）=lin（w2）.

证明  （i）假设存在某个变元x∈con（1）＼cos（2）.令φ：XK为将x映射到0而将其他变元映射到1的替代，则φ（w1）=0，φ（w2）=1，矛盾.因此，这样的变元x不存在，故con（1）=con（2）.

（ii）假设存在某个变元x∈lin（w1）＼lin（w2）.不失一般性，设x∈X，则w1=u1xv1，其中u1，v1∈（X∪X*）+∪{}并且xcon（u1v1）.由（i）可知x∈con（2），因此在w2中有以下两种可能：

1）w2=…xα1…xα2…，其中α1，α2∈{1，*}；

2）w2=u2x*v2，其中u2，v2∈（X∪X*）+∪{}并且xcon（u2v2）.

令φ：XK為将x映射到ef而将其他变元映射到1的替代，则φ（w1）=ef，φ（w2）∈{0，fe}，矛盾.因此，这样的变元x不存在，故lin（w1）=lin（w2）.  】

命题4  对合幺半群K，*的等式可以由（1），（3）式和以下等式集公理化：

x*x*≈x2， x*x≈x2， xx*≈x2，

x*yx*≈xyx， x*yx≈xyx，

xyx*≈xyx.（4）

证明  根据命题3（ii），对合幺半群K，*满足等式集（3）.容易验证K，*也满足等式集（4）.因此，K，*的等式可以由{（1），（3），（4）}∪Σ公理化，其中Σ是由（X∪X*）+中的字构成的等式的集合.

设w1≈w2是Σ中的任一等式.假设w1≈w2中包含一个非单纯变元x*∈X*，则由引理2（i）可知x∈con（1）=con（2）.对于每个i∈{1，2}，设w′i是将wi中每个x*的符号“*”移除而得到的字，那么有以下两种可能：

1）x*在w1或w2中是线性的，则由引理2（ii）可知，x*∈lin（w1）=lin（w2），故对于每个i∈{1，2}，存在ui，vi∈（X∪X*）+∪{}，使得wi=ui x*vi，其中xcon（uivi）.于是w′i=uixvi.因此很容易得出{（1），w1≈w2}和{（1），w′1≈w′2}定义了相同的簇.

2）x*在w1和w2中是非线性的，则利用等式集（4）可以将每个x*的符号“*”移除.因此， {（4），w1≈w2}和{（4），w′1≈w′2}定义了相同的簇.

因此在任何情况下，如果将Σ中的等式w1≈w2的每个非单纯变元x*的符号“*”移除，那么{（1），（3），（4）}∪Σ仍然可以公理化K，*中的所有等式.

上述论证可以重复应用于Σ中所有等式的所有非单纯变元.换句话说，如果将Σ的所有等式中出现的符号“*”均消除，那么{（1），（3），（4）}∪Σ仍然可以公理化K，*中的等式.因此，可以假定Σ中的等式都由单纯字组成，故也是幺半群K的等式.再根据命题3（ii），Σ中的每个等式都是（3）的后承集.因此，{（1），（3），（4）}∪Σ和{（1），（3），（4）}定义了相同的簇.  】

3  幺半群中最小的变色龙

定理1  6阶变色龙K是幺半群中阶数最小的一个.

证明  注意到，5阶对合幺半群K0，是非有限基的［6］，它的约简K0没有不同于“”的其它对合运算，所以K0不是变色龙.此外，每一个不与K0，同构且阶数小于等于5的对合幺半群都是有限基的［19］，因此，在阶数小于等于5的幺半群中不存在变色龙.  】

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（責任编辑  马宇鸿）