用非常规方法巧解平衡问题

周 春

(江苏省扬州中学,江苏 扬州 225009)

1 用拉密定理巧解平衡问题

拉密定理内容为:如果在共点的同一平面内的三个力作用下,物体处于平衡状态,那么各力的大小分别与另两个力夹角的正弦成正比,如图1,其表达式为:

图1 拉密定理图示图2 例1题图

例1 用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中,如图2所示.已知绳ac和bc与竖直方向的夹角分别为45°和60°,则绳ac和绳bc中的拉力大小分别为( ).

答案:B.

本题也可用正弦定理、正交分解法求解,但显然用拉密定理更为直接[1].

2 用三力汇交原理巧解平衡问题

一个物体受到三个力作用而处于平衡状态,如果三个力不平行,则这三个力的作用线一定交于一点,通常称为三力汇交原理.遇到三力以上的平衡问题,有时也可把某几个力先合成,再用该结论解题[2].

例2两平行直杆竖直放置,间距为d,一质量分布不均匀的绳子的长度大于d,两端分别系在两杆上,系结点位于同一水平线上,如图3所示.已知系结处绳子与直杆之间的夹角分别为θ1和θ2,试求绳子重心到两杆的垂直距离.

坚持早中晚三巡塘制度，尤其是台风、暴雨、连续阴雨等极端天气，更应全天候坚持巡塘，观察鱼池水质变化及鱼的活动情况，发现问题及时采取处置措施。通常采用的鱼病防治方法有泼洒法、悬挂法和内服法。坚持定期泼洒药物，按时挂篓挂袋，间隔投喂药饵，防治结合，严格管控，坚决杜绝病害发生。一般每间隔15～20d，全池泼洒氯制剂一次，鱼病高发时期每间隔15d用出血宁、五黄粉等药物拌饵或制成药饵投喂，用量一般为投饵量的0.5%左右。同时打扫好池塘卫生，及时清除残饵及池中杂物，渔具使用后应放在阳光下曝晒，并药浴消毒，保持池塘环境卫生，消除治病因子。

图3 例2题图图4 例2受力分析示意图

3 用摩擦角巧解平衡问题

设两接触面间的静摩擦因数为μ,则φ=arctanμ叫做摩擦角.如果可近似认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则静摩擦因数近似等于动摩擦因数.如图5,摩擦角的几何意义是:当两接触面间的静摩擦力达到最大值时,最大静摩擦力与支持力的合力R和接触面法线间的夹角即为摩擦角.如图6,设有物体A置于支撑面B上,B对A的支持力为N,B对A的摩擦力为f,显然当N、f的合力R与法线的夹角α≤φ时,静摩擦力不会超过最大静摩擦力,则A、B之间不会发生相对滑动.

图5 摩擦角图示1图6 摩擦角图示2

例3 如图7所示,长为l、质量为m的均匀杆一端支撑在竖直墙上,另一端由轻线吊着,线长等于杆长,墙与杆之间的动摩擦因数μ=0.3,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力.问:当角α在多大的情况下杆将处于平衡状态?

图7 例3题图图8 例3受力分析示意图

4 用辅助圆巧解平衡问题

圆是十分对称的数学图形,它有很多特殊的数学规律,如果在平衡问题中隐含圆的相关规律,可以借助辅助圆,解题可能十分方便.

图9 例4题图

例4如图9所示装置,OQ杆竖直,OP杆水平,AC、BC两根轻绳拉住一球,其中AC绳水平,现保持两细绳间的夹角不变,若把整个装置顺时针缓慢转过90°,则在转动过程中,设AC绳的拉力为F1,BC绳的拉力为F2,下列说法中不正确的是( ).

A.F1先减小后增大

B.F1先增大后减小

C.F2逐渐减小

D.F2最终变为零

答案:A.

5 用微元法巧解平衡问题

微元法是分析、解决物理问题的常用方法,也是从部分到整体的思维方法.用该方法可以帮助我们用熟悉的物理规律迅速地加以解决一些复杂的物理问题,使所求的问题简单化.在使用微元法处理问题时,需将整体分解为众多微小的小段,这样,我们只需分析这些微元,然后再将微元进行必要的数学方法或物理思想处理,进而使问题求解.

6 用力矩平衡巧解平衡问题

力矩表示力对物体作用时所产生的转动效应的物理量,力与力臂(即转轴到力的作用线之间的距离)的乘积称为力矩M.我们知道,共点力作用下物体的平衡条件为F合=0,而一般物体的平衡条件则为F合=0且M合=0.

例6 如图10所示,一光滑大圆环固定在竖直平面内,环上套着两个小球A和B,A、B间由轻绳连接着,它们处于图中所示位置时恰好都能保持静止状态.此情况下,B球与环中心O处于同一水平面上,A、B间的细绳呈伸直状态,与水平线成30°夹角.已知B球的质量为m,求A球的质量是多少?

图10 例6题图图11 例6受力分析示意图

解析本题用力矩平衡解则更加简便.对小球A、B及轻绳整体分析,受到重力mAg、mBg、大圆环对两球的支持力NA、NB,如图11所示.选圆心O为转轴,由于NA、NB的力臂均为零,故二者力矩均为零,根据力矩平衡的条件M合=0,可得mAgRcos60°=mBgR,很方便地可以解得mA=2m,显然比从F合=0角度解题简便得多.

7 用虚功原理巧解平衡问题

在某给定瞬间,质点或质点系为约束所允许的无限小的位移称为质点或质点系的虚位移,力在虚位移上做的功称为虚功.一个原为静止的质点系,如果约束是理想双面定常约束,则系统继续保持静止的条件是所有作用于该系统的主动力对作用点的虚位移所作的功的和为零,这称为虚功原理,有的参考书上称为“元功法”.

图12 例7题图

例7 如图12,质量为m、长度为l的均匀柔软粗绳,穿过半径为R的滑轮,绳的两端吊在天花板的两个钉子上,两钉间距离为2R.滑轮轴上挂一重物,重物与滑轮总质量为M,且相互间无摩擦.求绳上最低点C处的张力.

总而言之,虽然以上方法不是很常用,但在遇到用常规方法难以解决的平衡问题时,可以灵活选用合适的非常规方法求解,这对训练学生的思维、拓宽学生的视野、加深对物理的理解也大有裨益.