基于整体建构 引领深度学习

特级教师周卫东近期执教了一节精彩的展示课“分数的基本性质”，他基于学生的学习经验整体建构，引导学生举例、探究，充分经历观察、概括、探究等学习活动，探寻“等值分数”背后的数学道理。他还借助古代数学家刘徽的“乘以散之，约以聚之”，让学生理解“分数的基本性质的实质是表征计数单位与其个数之间的一种补偿关系”，让学生对分数的基本性质的理解更全面、更通透。下面笔者通过几个教学片段展示周老师设计与教学之精妙。

一、举例交流，初步感知等值分数

师：同学们，告诉你们一个秘密——三年级下学期有个知识点，叫等值分数。你们知道什么是等值分数吗？等就是相等，值就是大小，等值分数其实就是大小相等的分数。请同学们在草稿本上写一组等值分数。

（教师组织全班学生交流）

生：我写的是[1530]=[12]。

生：我写的是[36]=[12]。

生：我写的是[50100]=[12]。

师：同学们，像这样的分数写得完吗？

生：写不完！

师：对，永远也写不完。我也来写一个分数。

（教师板书[14]）

师：它等于几？

生：[14]等于[28]。

师：再往后写等于几？

生：再往后写就等于[416]。

（教师板书[14]=[28]=[416]）

师：继续往后写，还能不能写？

生：能！还有很多。

师：看来大家对等值分数还是有感觉的。我们刚才举的例子中的三个分数一定相等吗？如果相等，你能用合适的理由来说明吗？

（教师出示学习要求）

[【我探究】

你能用自己喜欢的方式说明理由吗？（可以画一画、算一算，或者联系学过的知识写一写。）]

师：友情提醒，尽量画草图。

师：画图的同时想一想，可以用哪些图形来表示呢？

……

【赏析】在课始，周老师就直接告诉学生一个教材中的小秘密——三年级下学期学生将要学习“等值分数”。这个小秘密的引入，激发了学生探究如何实现“等值”的好奇心和求知欲。接着，教师引导学生写出两个大小相等的分数，激活他们的学习经验，让每个学生充分感受到大小相等的分数有很多，其中隐藏着一定的秘密，激发了学生探究其背后隐藏的数学道理的积极心理需求。

二、多元表征，深入理解分数的基本性质

师：至少找到一种方法的同学请举手，找到两种方法的同学也请举手，还有找到三种方法的同学吗？我选择了一些有代表性的作品，请上台交流。我们一起听听这些小老师是怎么想的！

生：我用画图的方法把它们都画了出来（如图1）。我画的是长方形，[14]是把长方形平均分成4份，取其中的1份，就是[14]；[28]是把长方形先平均分成4份，再将每一份再平均分成2份，这样平均分成8份，取其中的2份就是[28]；第三次，我先把长方形平均分成4份，然后把每份平均分成4份，这样平均分成16份，取其中的4份，就是[416]。大家看，其实它们所占的大小都是一样的，可以把它们全部转化成[14]，所以它们是相等的。

师：老师有个问题，你来回应一下！这里的阴影部分是1份吗？到了这里是2份了吗？到了这里是4份了吗？1份、2份、4份，怎么就相等呢？

（教师指着学生画的图形提问）

师：这是多少份中的1份？

生：是4份中的1份，而这里是8份中的2份，这里是16份中的4份。其实它们的大小是相等的。

师：你的解释让我明白了，虽然取的份数在不断增加，但是总份数也在增加，所以表示的三个分数大小相等。

师：刚才这个同学用的是画图的方法，还有别的方法吗？

（教师投影学生画的线段图，如图2）

生：要在同样长的线段里分，如果在长度不同的线段里分，它的大小就会不一样。

师：这个提醒太重要了！要研究这三个分数，在画图的时候，首先要保证三个单位“1”相等。

生：[14]是把它平均分成4份，取其中的1份；[28]是把它平均分成8份，取其中的2份;[416]是把它平均分成16份，取其中的4份。我们可以看出[14]、[28]和[416]是相等的。

师：如果画的图形是一条数轴，这三个分数如何在数轴上表示？（教师顺势将线段图变成数轴，如图3。）[14]是不是这个点？[28]是不是这个点？[416]是不是这个点？（教师用虚线标齐）我们可以看到这三个点的位置是对齐的。能不能说明这三个分数相等？

师：我们刚才研究的是画图的方法。有没有用计算方法的同学？用最简单的语言说说你是怎么想的。

生：我们之前学习了分数与除法的关系，所以可以把分数看成除法计算，[14]是1÷4，[28]是2÷8，[416]是4÷16，它们计算出来的结果都是0.25，所以这三个分数相等。

师：计算的方法真好！运用已有的经验与知识，把分数转化成小数，也能看出它们相等。

生：我认为等值分数和商不变的规律是一样的，商不变的规律是在除法中，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。1÷4=2÷8=4÷16，所以它们相等。

（学生用箭头表示同时变化的作品，如图4）

师：他从分数想到除法算式。我们已经学过商不变的规律，有没有同学用商不变的规律来说明这个问题？看来其中确实有异曲同工之妙。

师：通过刚才的研究，我们看到有用画图的方法来说明的、有用计算的方法来说明的，还有通过分数与除法关系来说明的。能不能用这些方法来说明这三个分数是否相等呢？

（课件出示图5）

师：既然三个分数大小相等，请大家仔细观察，如图5，先从左往右看，再从右往左看，分数的分子和分母是怎样变化的？你们能试着用一句话概括其中的规律吗？每个同学先自己说一说，有想法再和同桌说一说。

生：我发现，从左往右看，分子和分母都是同时乘2，从右往左看，分子和分母都是同时除以2。

师：回忆一下他刚才说了什么？从左往右看，分子和分母同时乘2。2变成4，怎么变化的？4变成8，怎么变化的？还可以反过来看，同时除以2。想象一下，就只能乘2吗？还能乘几？

生：可以乘0以外的任何一个数。

师：对，可以同时乘任何一个不为0的数。太厉害了！如果从右往左看，可以同时除以一个不为0的数。能不能把刚才的经验整合成一句话？概括能力也是一种非常重要的数学能力。

生：一个分数乘任何一个不为0的数，乘完的数都是它本身；一个分数除以任何一个不为0的数，除完的数也是它本身。

师：哦，你们有没有认真听，谁听出来问题了吗？

生：从[14]变成[28]，我们分别把分子、分母乘2，而不是分数本身乘2！所以我觉得应该是一个分数的分子和分母同时乘或除以一个非0的自然数，结果和这个分数相等，大小相同。

师：简言之，我们是将分子和分母同时乘或除以一个非0的自然 数，而不是用整个分数来乘或除以一个非0的自然数，明白了吗？咱们的发现跟数学中的规定是一样的。

（教师利用课件呈现分数的基本性质）

师：这就是我们今天要研究的重要内容——分数的基本性质。

【赏析】周老师充分利用学生在独立探究时的生成资源，引导学生有层次地交流各自不同的方法。一部分学生通过画图来说明相等：有的学生画了三个相同的长方形，将它们等分后涂色，从而直观地看出它们相等；有的学生选择画线段图，以直观的方式体现相等；有的学生将分数转化为小数来说明相等；有的学生则通过分数与除法的关系，运用商不变的规律进行类比推理，来说明分数的相等。

作为组织者和引导者，周老师引导学生理解不同的方法，并顺势引入数轴。引导学生将数轴与线段图进行联结，在数轴上表示这些分数，使学生能一眼看出这三个分数相等，直观明了。学生通过多种表征，从不同视角说明了分数的相等。在此基础上，周老师进一步引导学生观察、概括，自主建构对分数基本性质的理解，使学生的理解逐渐深入。

三、多维联结，加深理解分数的基本性质

师：学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进！有同学质疑：要使分数的大小不变，难道分数的分子和分母只能这样变化吗？言下之意就是不通过同乘或同除，也能使两个分数大小相等。经过一番琢磨，他还真的找到了例子。他举的例子就在信封里，大家直接看例子，还是自己先考虑一下？如果找不到例子，就把他的例子拿出来。

师：能找到这样的例子吗？一起看这个例子。

（教师课件呈现[14]=[1+34+12]=[416]）

师：[14]等于[416]，[14]怎样变成[416]？

生：在[14]中，分母是分子的4倍；在[416]中，分母也是分子的4倍，所以[14]=[416]。

师：关于分数的基本性质，早在1700多年前，我国古代数学家就已经有了研究。

（教师课件播放散与聚的动画过程，如图6）

师：刘徽在《九章算术注》中有相关的论述，说的是什么呢？这里看到的是[14]，我们把它变成[28]，再把它变成[416]。（课件播放[14]变成[28]再变成[416]的动画过程）刘徽根据这种变化就说“乘以散之”，明白他的意思吗？你感觉到“散”了吗？反过来你能创造另外一句话吗？

生：除以集之。

师：同学们真会创造！刘徽没有用“除”，他说的是“约以聚之”，约就是除的意思。我们根据刘徽所画图形的变化，进一步研究分数的基本性质背后的原理。从图形中我们看到了几分之几？[14]的计数单位是多少？[14]的计数单位是[14]，[14]的计数单位的个数是多少？[14]是1个[14]，再看[28]是几个几分之几？[28]是2个[18]，[416]呢？

师：[416]是4个[116]。根据刚才的研究，我们知道它们是相等的，就是说1个[14]等于2个[18]，也等于4个[116]。仔细观察，分数单位由[14]变成[116]是怎么变化的？大了还是小了？计数单位的个数由1变成4，大了还是小了？所以三个分数相等，计数单位跟它的个数之间实现了一种补偿关系。“你”大了“我”就小了，“你”小了“我”就大了，所以它们才相等。

师：从分数的基本性质可以联想到曾经学过的什么性质？

生：由分数的基本性质可以联想到小数的基本性质：在小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。

师：我们再来感受一下它们之间的补偿关系，计数单位由0.1变成了0.01，除以10，个数由4个变成40个，那么一个乘10，一个除以10，计数单位和它的个数之间是不是就补偿了？实现了一种补偿关系，所以它们是相等的。

师：我们先根据过去的经验，找到了一些分数相等的现象，然后逐层研究，慢慢理解这些相等的现象背后的道理，再从计数单位和它的个数的角度，进一步了解这个知识的本质，加深了对分数的基本性质的理解。

【赏析】郑毓信教授强调：“数学对象的建构实际上是一种整体性的建构活动。也就是说，数学对象并非孤立的模式，而是整体性的建构。”周老师巧妙地利用学生的质疑，引导学生重新探究，深入思考。

首先，周老师引导学生将加法与乘法有机结合，帮助他们理解两者之间的联系。其次，周老师引入古代数学家刘徽的论述“乘以散之”与“约以聚之”，通过文化背景的引入，帮助学生明确分数的基本性质背后的原理。最后，周老师将分数与小数的基本性质联系起来，有机联结，促进学生达成共识：分数的基本性质实际上是计数单位与其个数之间的一种补偿关系。这种理解加深了学生对分数的基本性质的认识，使他们的理解从模糊逐渐变得清晰，从浅表走向深入。通过对比和思辨，学生加深了对分数的基本性质的理解，学习也变得更加透彻。

（作者单位：江苏省常州市新北区春江中心小学）