小学数学几何直观的理解和教学实践

江苏省无锡市江阴市第三实验小学 黄凤华

德国数学家D.希尔伯特在《直观几何》一书中指出，图形可以帮助我们发现、描述研究问题；也可以帮助我们寻求解决问题的思路；还可以帮助我们理解、记忆所得到的结果。这就是几何直观带给我们的好处。在小学数学教学过程中，教师应在深入理解几何直观素养的基础上，努力探索有效培养学生几何直观能力的教学策略，让他们能更积极、更有效地参与到数学教学活动中，提高几何直观能力，以促进学生数学素养的发展。

一、看图——生成数学描述的意识

看图，就是教师在课堂上问学生“从图中看到了什么数学信息”后，学生带着目的，有意识地观察、提炼图中涉及的数学信息，并能用自己的语言描述看到的数学信息。在看图能力培养的过程中，教师要引导学生有目的地看图，剔除图中的非数学信息，提炼出相关的数学因素，并逐步过渡到用精练的数学语言表达所看到的数学信息。

（一）用数学的眼光看图

对于以形象思维为主的小学生来说，他们往往会被教材中生动的主题图吸引，尤其是低年级学生，如果没有教师的有意识引导，读图时他们往往会被色彩鲜艳、形象生动的图片吸引，把数学表达当成看图说话。

从第一节数学课开始，教师就要在课堂上引导学生进行读图的训练，用导向性明确的问题引导学生用数学的眼光观察、识别图像的信息，生成用数学语言描述信息的直观意识。引导学生读图时，首先可以给予具体的提示：“从图中可以看出的数学信息是什么？数学问题又是什么？”先看条件，再看问题，是读图的基本顺序。

（二）用数学的语言表述信息

在教学过程中，教师除了需要引导学生说出图中的数学信息，还需要引导学生用数学的专用词汇概括看到的信息，比如：用速度、时间、路程来描述行程问题，用单价、数量、总价来描述购物问题。更重要的是，当图像中的信息较多时，教师还要引导学生按一定的逻辑顺序来表达：先说哪个条件，再说哪个条件能体现出它们之间的关系。这里不仅需要学生能读图说意，还需要学生能将直观信息进行逻辑思考和数学加工。这样的持续训练不仅能使学生把图意表述得更准确，还能使学生的数学思维能力得到长远的发展。

（三）用变式抓住本质特征

教师要对图形素材进行多样的加工，引导学生在读图的过程中抓住数学知识的本质特征，促使学生在数学直觉的基础上构建图形的典型类型与常见变式，在丰富数学表象的同时进行数学的初步建模。

如“认识垂直”一课，通过初步感知关于垂直，学生能够提炼出的关键词是“相交”“直角”，但对于很多学生来说，他们印象深刻的垂直是“横平竖直”，是能直接观察到两条直线相交后的垂足。为了突破常见类型带来的思维定式，教师在设计练习时，就需要注重常见的典型类型与变式的交互出现，以帮助学生在图形的辨析中，抓住两条直线垂直关系的本质特征。

二、析图——深入对图像信息的理解

“从图中还能知道什么？”教师用这样的问题引导学生对图像展开深度思考和探究，对读图之后获得的数学信息进行再次加工，或是对已知图像进行自主测量、分析、比较等，结合文字语言和数学图形进行合理的猜测、推理、计算等，进一步发掘图像所表达的信息。

（一）结合图形获取信息

对于高年级学生，教师要鼓励他们借助几何直观进行比较、分析，充分发挥直观推理在发现问题、分析问题过程中的作用，从而发现图像条件之间的联系以找到解决问题的突破点。

苏教版数学六年级下册“扇形统计图”的课后练习，除了要求学生能读懂扇形统计图中各项分类所占总量的百分比，还要求学生对图像进行分析，特别是图中把条形统计图和扇形统计图结合起来分析的类型，更加考验学生对图像信息深入理解的能力。教学时，教师要引导学生对条形统计图和扇形统计图进行对比、分析后进行相应的计算，促进学生对图像的深入理解。多种数学思维和数学方法的融合运用，能有效促进学生数学素养的生成和发展。

（二）辨析图形理解意义

在不同的图中找相同点，在类似的图中找不同点，学生经历在辨析图像中同中求异、异中求同的思维过程，不但能沟通数学知识之间的联系，还能在对比、分析的过程中发展推理能力。

以“2和5的倍数的特征”为例，以往在探究“5的倍数”特征时，教师都是采用“初步发现—提出猜想—举例验证”的方式，但这样的不完全归纳法所得出的结论，并不能完全消除学生心中的疑虑。于是，我们采用方格图的方式，从“7为什么不是5的倍数”开始研究，逐步加大到17、27、37……107、9997……随着格子图的不断变化，学生很容易通过对比发现，无论其他数位上是几，只要个位上是7，5个5个地数格子，都会多2个格子，就不会是5的倍数。怎样才能变成5的倍数？怎样的数不会是5的倍数？方格图中就能给出答案。（如图1）因此，用数形结合的方式可以通过解释规律将枚举归纳提升为科学归纳，具有长远的、广泛的迁移价值。

图1

学生通过分析图，不但拓展了图像信息理解的深度，还实现了图与数、意与形的有机结合，更能在这个过程中提升学生的数学素养。

三、画图——形成几何表达的惯性

学生的画图能力并不是与生俱来的，而是需要教师的有意识引导。教师要积极鼓励学生通过画图来寻找解决问题的途径，逐步培养学生借助几何直观进行数学思考的习惯。

（一）教给画图的技巧

1.从示范到放手

用图形直观表达数学信息意识的形成，一定是从教师的示范和指导开始的。从最初的表示简单事物的示意图，到表达数量关系的线段图，或是表示两个量积的矩形图，甚至是表示集合关系的韦恩图，都需要教师有意识地引导和示范以及提出规范要求，引导学生不但要画图，还要在图上标注出已知条件和问题，从而让图形更直观，让数量关系一目了然。在学生掌握了一定技能后，教师可以放手让学生独立画图。但为了保证图画准确性，在学生独立画图的初期，教师需要逐个关注，给予适时的点拨，并组织学生相互交流画图的过程和图形表达的含义，通过教师的示范再逐步放手让学生独立画图表达，逐渐形成画图的习惯。

2.先思考再下笔

对于辅助解题类的画图，一开始，学生会根据题目信息精准画图。比如，需要画一个长方形时，学生会用直尺精确量出长、宽的厘米数，这样往往需要耗费大量的时间，反而影响了教学的效率。其实，对于此类画图，教师要引导学生不需要画得非常精准，但也不能随心所欲，可以根据所给数据的特点确定所画图的大概模样。比如，画长方体时，要根据长、宽、高的不同数据大小来决定长方体的形状；画线段图时，需要画几条线段？（整体和部分的关系用一条线段，两个独立量的关系用两条线段比较合适）需要画多长？（要根据数据来预估所画线段的长短）把图画得大小合适、形状妥帖的前提是提前对数量、数据进行分析，先思考再下笔，这样可以大大提高画图的准确性。同时，教师还要引导学生注意画图的顺序，注意图形的层次性、结构性、合理性。

在“稍复杂的分数乘法实际问题”中，“单位1的量”“分率的对应量”这样的文字描述对学生来说枯燥且难以理解。比如：要表示“女生人数比男生人数多四分之一”，要画几条线段？先画谁？为什么要先画男生？表示男生的线段画多长比较合适？多四分之一怎么画？有了这样的思考顺序的线段图，学生对各个量所对应的分率就能形成精准的把握，从而通过线段图的分析找出数量关系。

（二）养成画图的习惯

1.习惯来源于自我需求

曹培英教授在《小学数学问题解决教学研究》中指出，学习图示丰富了问题解决的辅助手段，有利于学生逐步形成主观构造直观、整理信息的习惯与意识，这些收获具有长远的效能，甚至可以说终身受益。随着年级的升高，数学问题开始越发抽象，特别是出现有关分率的解决实际问题和平面图形的周长、面积，立体图形的表面积、体积变化，这类稍复杂问题的分析更需要直观图的支撑。当学生在文字理解上遇到困难时，教师不要急于引导和指路，而是需要“等一等”，让画图成为学生自己的需求。“一下子想不到办法怎么办？”“图形变化之后变成什么模样？”在解题困顿时，学生迫切需要一种策略来帮助自己理解数量关系，表达图形直观。此时，画图的策略才会成为学生真正的心理需求。

“一个分数，分子与分母相差15，约分后的结果是七分之四。这个分数原来是多少？”在没有画图之前，学生应该会利用分数的基本性质，用一一列举的方法，找到这个分数原来是多少。画图之后，有的学生在反思性作业中写道：“这种方式十分简便，重点就是画图，画一画，数据一标，你就什么都懂了！”对学生来说，最直接的画图需求就是遇到了解题困顿。

2.习惯养成于教师要求

在日常教学中，教师会发现，很多学生无法理解为什么要画图，更没有自觉画图的意识，这样自然就无法养成画图的习惯。因此，教师需要在某一阶段教学时，明确提出画图要求，让学生必须通过画图解决问题，并用是否画图作为评价学生解题过程是否完整的标准之一。渐渐地，学生才会在解决问题时产生主动画图的意识：“是否需要用画图直观表达题意？应该用怎样的图才能准确表达？”把主动画图的意识和学生的认知结构相结合，进而提升学生的数学素养。

（三）用图像语言表达

教师让学生长期经历问题分析与图形描述相结合的过程，培养学生画图的本能，引导学生会用图像语言表达文字语言。这样，学生的几何直观意识才能逐步发展起来。借助画图手段可以展示数学思考的过程，也可以证明数学推理的结论，特别是对于小学生来说，一些数学知识概念性较强，用语言描述、推理判断过程时会存在一定困难。

比如，在学习了“多边形的面积”后的练习题：“如果有一个平行四边形和三角形等底，平行四边形的高是三角形高的2倍，此时平行四边形的面积是三角形面积的几倍？”面对这样一个缺少了图形底和高长度的实际问题，学生呈现了不同的描述方式：一些学生用文字描述和计算表述推理过程，另一些学生则直接用画图的方式表示推理过程。从学生的图中，我们不难发现，他们实际上是实现了用图像语言表达文字语言。正是教师在日常教学中有意识地引导和训练，才让学生在遇到实际问题时自然就形成了几何表达的惯性。

几何直观作为一种重要的数学素养，它的培养并不是一蹴而就的，教师需要在教学过程中努力探索有效的培养路径，以帮助学生不断积累借助几何直观进行数学思考和解决问题的经验，发展几何直观能力。