小学数学中行程问题教学策略的探讨

费树优

【摘  要】 行程问题是培养小学生思维能力的较好素材，是小学数学应用题教学中不易突破的难点之一。文章将行程问题划分为单一物体运动、两个物体运动和稍复杂的行程问题等三类进行教学探讨，旨在实现分类指导，有的放矢地培养小学生的数学思维能力。

【关键词】 小学数学；行程问题；教学探讨

在小学数学中，行程问题是解决实际问题时常见的一类题型。广大数学教师孜孜不倦地探索各类行程问题的教学方法，深入浅出地对学生进行学法指导。教学时借助线段图和多媒体技术使条件形象化，帮助学生审题。解题后，引导学生反思解题思路和解题过程，再运用变式举一反三，拓展学生的思维。

一、单一物体运动

（一）基础问题

在小学中低年级阶段，有关行程问题比较简单，通常只要求学生能利用行程问题的两个已知量，或乘或除直接求出第三个未知量。但也有行程问题中求某个量时，其他两个量并不明确具体，直接用乘或除求解比较困难，这时就需要依据他们之间的关系先确定好两个量，再解决问题。

例1. 一辆汽车5小时行驶300千米，照这样的速度，行驶2400米需要多少分钟？

在这个求时间的问题中，路程是2400米，而速度不明确，需要通过“汽车5小时行驶300千米”先计算出汽车的速度。分析本题时，要提醒学生注意题目中的单位要统一。300÷5=60（千米/小时），合1000米/分钟。2400÷1000=2.4（分钟）。行驶2400米需要2.4分钟。

解决教学行程问题中的基础问题时，要充分运用生活情境。

（二）航行问题

运动过程中，有时尽管物体本身的速度保持不变，但因受到外力的影响，物体运动的实际速度发生了变化，比如船在水中行受水流的影响，飞机在空中飞受气流的影响等。

例2. 一轮船往返于相距120千米的A、B两个港口。这段水路的水流速度是5千米/小时，从A港口到B港口顺流而下需要3小时，从B港口到A港口逆流而上需要几小时？

本题已知路程欲求时间，但逆流速度未知，必须根据其他条件先求出逆流速度。从顺流需要3小时知顺流速度是120÷3=40（千米/小时），又从水流速度5千米/小时算出轮船在静水中的速度是40-5=35（千米/小时），那么从“B港口到A港口逆流而上”的速度为35-5=30（千米/小时），逆流航行需要120÷30=4（小时）。

在求“船（或飞行器）最多行驶多远”的问题中，一般依据“往返的路程不变，往返的时间与速度成反比”先求出时间再求最大行驶距离。

（三）过桥问题

过桥问题是指研究火车过桥或隧道时，火车或隧道的长、火车的长、火车行驶的速度等一类问题。当火车完全过桥或隧道时，火车实际行驶的距离是桥或隧道长加火车的长。

例3. 李明乘一列火车，发现这列火车穿过1500米的隧道花了90秒，越过600米的桥梁花了40秒，求这列火车的长度。

火车过隧道时，它所走的路程除了要考虑隧道的长度外，还要考虑火车本身的长度。“火车穿过1500米的隧道”，实际上火车行驶了“1500米的隧道+火车本身长度”的距离，火车过桥也是如此。本题中，火车过隧道比火车过桥时多行了1500-600=900（米），多花了90-40=50（秒），那么火车的速度就是900÷50=18（米/秒）。火车过隧道实际行驶了90×18=1620（米）。因此，火车本身的长度为1620-1500=120（米）。

教学过桥问题时，应要求学生将解得的结果代入原先的问题中验算，确保符合各个环节。

二、两个物体运动

（一）相遇问题

在行程问题中，两个物体从两地出发，相向而行，经过一段时间相遇，这就是相遇问题。在相遇问题中，两个物体同时行走时，他们的“速度”其实是两者速度的和，他们所行驶的总路程也恰是两者的路程之和。

例4. 甲、乙两车从相距240千米的A、B两地同时出发，相向而行，2小时相遇。甲车的速度是65千米/小时，求乙车的速度。

可以从两个角度思考这个问题，其一是直接从“速度和”考虑，既然相距240千米，2小时相遇，那么两车的速度和为240÷2=120（千米/小时），再用“速度和”减去甲车的速度，便得到乙车的速度为55（千米/小时）；其二从甲、乙两车行驶的路程之和等于A、B两地之间的距离考虑。甲车行驶了65×2=130（千米），那么，乙车行驶了240-130=110（千米），乙车的速度：110÷2=55（千米/小时）。两种方法都要向学生讲透。

在具体问题中，有时有“先走”与“后走”的现象，此时可以从路程之和等于总路程考虑，其“速度和”只适用在同时行走的这段时间之内。

（二）追及问题

两个物体一前一后同向而行，一段时间后，原先在后面的物体追上了前面的，这样的问题称为追及问题。在追及问题中，他们相对运动的速度是两者的“速度差”，两者行驶的路程之差等于他们起步时的距离。

例5. 母子二人在同一单位上班，母亲从家到单位需要40分钟，儿子只要30分钟，如果母亲早走5分钟，儿子需要多长时間才能追上母亲？

在一般追及问题中，速度是给定的，但本题中只说母子二人从家到单位的时间，这里可以把家到单位的路程看成“1”，那么母亲的速度就是■，儿子的速度是■。由于母亲早走了5分钟，拉开了两人之间的距离，从儿子出发开始算，儿子比母亲多走的正是这段路程。5×■÷（■-■）=15（分钟）。儿子出发15分钟可以追上母亲。

学生对路程和时间具有直观感觉，对速度则感到比较抽象，他们往往从“速度和”的另一面来理解“速度差”。教师教学追及问题时，一方面可以尽量从两者路程的差等于起初的距离来考虑，也可以在学习追及问题之前首先训练“速度差”，给学生铺设一级学习台阶。

（三）相离问题

相离问题是研究两个运动的物体在运动过程中相隔一定距离，并由此产生的速度和时间的关系问题。相向而行时相遇前就是“相离”，背向而行后亦为“相离”，在同向而行中快者尚未追上慢者也属于“相离”问题。

例6. A、B两地相距24千米。甲从A地前往B地，乙从B地前往A地，同时出发。甲的速度是4千米/小时，乙的速度是6千米/小时，出发多长时间后，甲、乙两人相距4千米？

本题分“相遇前相距4千米”和“相遇后相距4千米”两种情况，学生容易忽略后一个，教学时应提醒学生注意。相遇前，两人相距4千米，两人所走路程之和为24-4=20（千米），两人的速度之和为4+6=10（千米/小时），所以两人出发20÷10=2（小时）相距4千米；相遇后两人相距4千米，可以考虑此时两人所走总路程是24+4=28（千米），28÷（4+6）=2.8（小时）。综上所述，两人出发2小时或2.8小时相距4千米。

教学相遇问题、追及问题和相离问题时，借助线段图使抽象的数量变得直观，同时可以帮助学生理清两个物体的运动情况及其相互间的关系。常画线段图，亦可提高学生的解题能力。

（四）环形跑道问题

在环形跑道上，同一起点背向而行是相遇问题，同一起点同向而行是追及问题。此时相遇问题的总路程是跑道一圈的长，追及问题中的路程差也是跑道一圈的长。环形跑道的“相离”一般是指小于跑道一半的那一段。

例7. 一条环形跑道长400米，甲、乙两人在环形跑道上训练，甲的速度是每分钟跑260米，乙的速度是每分钟跑240米。

（1）甲、乙两人从一点同时出发，背向而行，经过多长时间第一次相遇？

（2）甲、乙两人从一点同时出发，同向而行，经过多长时间第一次相遇？

本题有两问，第一问是环形跑道上的相遇问题，第二问是环形跑道上的追及问题。第一问中两人的路程之和等于环形跑道一圈的长，400÷（260+240）=0.8（分钟）；第二问中两人的路程之差等于环形跑道一圈的长，400÷（260-240）=20（分钟）。

环形跑道问题，对于小学生来说比较抽象，教学时可以借助多媒体演示两人行走的情况，便于学生理解。

三、稍复杂的行程问题

（一）两次相遇

两个物体在相遇后继续前行，他们在返回的路上再次相遇。解决两次相遇的问题时，要充分挖掘他们两次相遇的信息，借助线段图进行分析。

例8. 甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，出发后在距A地48千米的C地相遇，相遇后两人继续前行，到目的地后立即返回。两人在距离B地52千米的D地相遇，求A、B两地的距离。

本题所给的两个数据都是关于路程的数据，而关于速度与时间的数据却没有。教师可借助线段图与学生一起分析，如图，他们第一次相遇，两人所走的路程之和就等于A、B两地的距离，当他们再次相遇时，两人所走的路程之和就等于A、B两地距离的3倍。

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根据比例，他们第二次相遇时，甲所行的路程是他们第一次相遇时甲行路程48千米的3倍，两人再次相遇时，甲共走了48×3=144（千米）。從图中可直观看出：第二次相遇时，甲所行的路程比A、B两地间距离多52千米。所以，A、B两地间距离为144-52=92（千米）。

当速度一定时，路程与时间成正比。比例也是解决较复杂行程问题的常用方法。

（二）多个物体运动的行程问题

在多个物体运动的行程问题中，存在多次相遇或多次追及或相遇与追及兼有的现象，这时要使学生分清楚某两个物体之间是相遇还是追及，找出其相互间的联系。

例9. A、B、C三村庄依次在同一条路边上，甲从B村前往A村，乙从B村前往C村，丙从A村前往C村。他们三人同时出发，丙遇到甲后35分钟追上了乙。甲、乙、丙三人的速度分别是30米/分、40米/分和50米/分。求A、B两村的距离。

本题中甲与丙是相遇问题，乙与丙是追及问题。在丙与甲相遇后35分钟，丙追上了甲，说明当丙与甲相遇时，丙与乙两人之间的距离是35×（50-40）=350（米），其时甲与乙之间距离也是350米，说明当丙与甲相遇时他们都行了350÷（30+40）=5（分钟）。当丙与甲都行5分钟时相遇，A、B两村的距离为（30+50）×5=400（米）。

教学多个物体相遇时，可借助线段图理顺他们之间的关系，思考各部分之间的联系，从中寻找解决问题的突破口。解决问题后，应验算一下各部分的结果是否都与题目条件相吻合。

（三）较复杂的行程问题分数应用题

分数应用题有其特殊的解题方法，关键是找出问题中的某个量及其对应的分率，算出总数后再求出各个分量。将分数应用题与行程问题相结合，就形成了稍复杂的应用题。

例10. 一列火车从甲地开往乙地。第一天行了全程的一半多16千米，第二天所行的路程是第一天的■，此时距离乙地还剩下15千米。甲、乙两地相距多少千米？

由火车“第二天所行的路程是第一天的■”，计算■×■=■，16×■=14. 即第二天所行路程比全程的■还多14千米。此时第一天“多16千米”“第二天多14千米”，“还剩下15千米”，三部分的总分率是1-（■+■）=■。（16+14+15）÷■=720（千米）。甲、乙两地相距720千米。

四、结语

行程问题种类繁多，难度较大，方法灵活，有利于培养学生的思维能力。教师教学时引导学生根据题目的条件，仔细审题，认真分析变量因素，多角度思考。必要时，借助线段图来形象地刻画各运动物体之间的关系，提升教学效果。

■ 参考文献：■

［1］ 李柳英. 新课标下“行程问题”教学的思考与实践［J］. 数学学习与研究，2015（12）：123-124.

［2］ 杨卉青. 行程问题应用题解析［J］. 甘肃教育，2014（18）：122.

［3］ 王翠环. 刍议运用线段图解析行程问题的策略［J］. 新课程导学，2013（17）：77.