上“讲道理”的数学课：培养代数推理能力的策略与路径

*本文系江苏省十四五规划课题“初中数学课程中的代数推理及教学策略研究”（SJMJ/2022/02）、“走向整体设计：初中数学结构化教学的实践研究”（E/2022/05）的研究成果。

收稿日期：2023-10-15

作者简介：胡松，南京市鼓楼区教育局副局长，正高级教师，江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象，南京市学科教学带头人。

摘要：传统教学中，教师常把推理能力的培养交给“图形与几何”，忽视了“数与代数”对于培养学生推理能力的价值与作用。其实，代数推理是数学中的重要推理类型，也是启发思维的重要载体。代数教学中，要促使学生真正学习，开发学生潜能，教师不仅要讲授知识，更要点明其算理，即在课堂上“讲道理”。教师可以从讲清知识的来龙去脉、破解代数中的“规定”之疑、厘清例习题道理三个方面入手，分析教材结构、改造教学内容，培养学生的代数推理能力。

关键词：初中代数；代數推理能力；数学思维

中图分类号：G633.62 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2023）22-0089-04

数学道理是指数学中的概念、法则、定理等知识背后蕴含的算理，包括产生之理、本源之理、呈现之理及隐性之理。数学教学中，要促使学生真正学习，开发学生潜能，教师不仅要讲授知识，更要点明其算理，即在课堂上“讲道理”。学生通过教师“讲道理”的过程，经历、感知、体验知识的产生和发展过程，由浅入深、由易到难地学习知识、理解知识，主动发现数学知识的萌芽点、连接点和生长点，建立新旧知识的联系，提高数学创造力，培养和强化数学思维，形成系统性的推理能力。推理能力的培养一直是认知心理学和教育学的热门话题。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022版课标”）将“会用数学的思维思考世界”作为数学课程要培养的学生核心素养之一，并指出数学思维主要表现为运算能力、推理意识或推理能力。学生经历独立的思维过程，具备推理意识或推理能力，有助于形成实事求是的科学态度和理性精神[1]6。

一、培养推理能力的教学现状

推理是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。培养推理能力是数学学习的核心价值所在，学生推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。初中阶段，“数与代数”“图形与几何”都是培养学生推理能力的数学知识体系。在传统教学中，教师常把推理能力的培养交给“图形与几何”，忽视了“数与代数”对于培养学生推理能力的价值与作用。其实，代数推理是数学中的重要推理类型，而代数运算是代数推理的重要形式，是得到结论的重要途径，也是启发思维的重要载体。“数与代数”的学习有助于学生认识数量关系、探究数学规律、建立数学模型，有利于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。依托“数与代数”的内容，教师可以通过情境、活动、问题串的设计，在归纳的过程中引导学生依次计算或尝试，寻找探索事物变化规律的方法，从而养成有条理地思考的习惯，让学生在代数逻辑论证的过程中，逐渐提升自身的推理能力。

在2022版课标的指引下，关于几何逻辑推理能力的研究与成果百花齐放，但针对“数与代数”推理能力的研究仍很薄弱。在教学实践中，目前的教学设计也弱化了代数推理的作用。3年来笔者跟踪了区域内近百节代数领域的课，发现：35％的代数课上，教师直接抛出概念或法则，然后根据概念、法则进行巩固训练，对概念、法则的生成缺乏必要的阐述与探究；55％的代数课上，教师由特殊情形或大量的实例类比得到概念或法则，然后根据概念、法则进行直接应用，对概念、法则的生成同样缺乏从算理角度进行论证的过程；只有10％的代数课，教师在概念、法则的教学过程中，融入丰富的类比、归纳、猜想、验证的环节。因此，加强代数推理的理论研究和实践探索是摆在广大教师面前的重要课题。

推理的本质是有条理地思考和表达，即建立思维的条理性和逻辑性[2]。在“数与代数”教学中，培养学生的代数推理能力，关键是在课堂上“讲道理”，即揭示概念、法则的生成逻辑。

二、培养代数推理能力的教学策略

数学课堂是培养学生核心素养的主战场，相较于知识、结论的呈现与记忆，每个概念、法则的感知、抽象、概括、验证等过程更为重要。代数课程的价值在于让学生理解算理，熟练计算，善用推理。一堂好的代数课应让学生在掌握知识技能的过程中，学会理性思考，提升代数推理能力。教师要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材。教师明理，课堂方能讲理；课堂讲理，学生方能悟理。

（一）讲清知识的来龙去脉

数学教材中呈现的概念、法则等是前人对数学知识产生和形成过程进行的概括，抽象性较高。“讲道理”的数学课要还原知识的形成过程，让学生了解知识的形成轨迹，避免死记硬背性学习，从理解的角度去学习知识，提升数学学习的效率。在教学设计中，教师要将数学的基本思想、基本经验落实到基础知识、基本技能的教学过程中去，要设计出体现数学知识整体性、逻辑连贯性、思想一致性、方法普适性、思维系统性的系列化数学活动，引导学生对现实问题进行数学抽象，发现值得研究的数学问题，构建研究数学对象的基本路径，获得有价值的数学结论，建立数学模型，解决现实问题，以实现从“知其然”到“知其所以然”，再到“知何由以知其所以然”的跨越。

（二）破解代数中的“规定”之疑

代数课堂有许多“规定”。遇到一些难以理解的知识点，教师则告诉学生，这是“规定”。久而久之，学生不再问“为什么”，数学课堂也逐渐变得不讲道理。而我们倡导“讲道理”，就要破除课堂“规定”之风，解决学生心中的疑惑。具体怎么做呢？要学生猜想如何“规定”，从知识的连续性理解“规定”的合理性，从体系的完整性体验“规定”的必要性，从验证的角度推导“规定”的科学性。如“0的绝对值、相反数是0，一个数与0相加仍得这个数，任何数与0相乘都得0”等代数知识的教学均应遵循上述四个步骤。

（三）讲解例习题时厘清道理

代数的研究对象不仅是数字，而且是各种抽象的结构。代数推理是使用代数的定义、性质，从已知的数学式子推导出新的数学式子的过程。例习题讲解是代数教学的重要环节，从“讲道理”的角度看，我们对例习题的讲解不能停留在熟能生巧的层面，也无须过多地强调技巧。“讲道理”的教学要把每一道例习题看成一种代数模型，尝试从分析问题、发现问题、提出问题、解决问题的角度去讲解例习题，在讲解过程中要多追问，厘清每一个步骤的依据。讲解过程中也要渗透数学的常见思想方法，如归纳类比、分类讨论、数形结合等，培养学生数学思考的品质。

三、培养代数推理能力的教学探索

在代数学习的起始阶段，教师就应重视如何在代数课中讲好道理。越“简单”的课，越应该挖掘其内在的原理，将“理”贯穿在学习的始终。苏科版数学七年级上册“去括号”这节课在很多教师眼中就是这样一节“简单”的课。他们认为，在学生的认知里，很容易得到去括号法则，学生运算出现错误，也不是不明白法则导致的。但学生是否明白法则的合理性和逻辑性，大部分教师是忽略的。所以，本文就以这一课为例，从分析教材结构、改造教学内容两方面，在教学实践中探索如何上好“讲道理”的数学课。

（一）分析教材结构

教材从情境引入、活动建构、例习题讲解三个方面呈现了“去括号”一课的教学内容。首先，教材在“议一议”环节创设了小亮在假期勤工俭学活动中卖报纸的学习情境，引出如何合并多项式同类项的问题：

在假期的勤工俭学活动中，小亮从报社以每份0.4元的价格购进a份报纸，以每份0.5元的价格卖出b份（b≤a）报纸，剩余的报纸以每份0.2元的价格退回报社，小亮赢利多少元？

小亮购进a份报纸支出0.4a元，售出b份报纸收入0.5b元，退回剩余报纸收入0.2（a-b）元。这样，小亮赢利[-0.4a+0.5b+0.2（a-b）]元。

如何合并多项式-0.4a+0.5b+0.2（a-b）中的同类项？

在此基础上，教材在“试一试”环节展开“填表”与“讨论”的建构活动，通过反复代入不同的数值，引导学生构建对概念、法则的初步认知，由此引出去括号法则：

括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项的符号都不改变。括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项的符号都要改变。

接着，教材通过典型例习题讲解，进一步巩固并拓展去括号法则的运用。

教材内容从现实情境引入，体现了数学的应用价值，设计的目的是为了引导学生联系生活实际感受去括号的必要性及价值。“试一试”环节的操作与讨论活动，设计的目的是引导学生通过数值计算，寻找到相等的式子，然后通过不完全归纳得到法则。但从实际教学效果来看，“议一议”环节，多数学生能直接得到实际结果，弱化了此环节的设计目的；“试一试”环节，大多数学生根据已有的经验，也能直观得到a+（-b+c）＝a-b+c或a-（-b+c）＝a+b-c。从代数推理的角度看，这两个环节未能充分展示去括号的必要性和去括号法则的数学道理。

（二）改造教学内容

从内容维度上看，学习本课时前，学生已经经历了数与代数的两次蜕变，一是“从正数到负数”的数的扩充过程，二是“从数到字母”的演变过程，学生已初步掌握了有理数、代数式的相关概念和计算，理解了它们的价值。从经验维度上看，学生在三个方面已具备括号的应用经验：通过用式子表示“加法的交换律、结合律，乘法的分配律、结合律、交换律”，体会了括号表达的便捷性；通过用式子表示有理数的运算法则（如，减去一个数等于加上这个数的相反数），体会了括号表达的简约性；通过“程序运算”，体会到括号应用的一般性。

首先，我们将情境问题改造为两个问题：

（1）某汽车4S店仓库中原有车辆32辆，第二天又入库12辆，并卖出8辆，那么仓库中还剩多少辆车？

（2）某汽车4S店仓库中原有车辆32辆，第二天卖出12辆，第三天卖出8辆，那么仓库中还剩多少辆车？

设计这两个问题，更加直接地指向去括号法则，以问题（1）为例，既可以列式：32+12-8，也可以列式：32+（12-8），让学生在“数”的运算中发现结论，从而迁移到“式”的运算。

然后，在建构环节中，我们设计了两个活动。第一个活动是上述情境问题的延伸：

（1）某汽车4S店仓库中原有车辆a辆，第二天又入库b辆，并卖出c辆，那么仓库中还剩多少辆车？

（2）某汽车4S店仓库中原有车辆a辆，第二天卖出b辆，第三天卖出c辆，那么仓库中还剩多少辆车？

2022版课标提出：“教材在初中阶段也需要设计相应内容，让学生经历从数的具体计算过渡到式的抽象运算的过程……”[1]93有了前面的讨论，学生已经有了感性的认识，也就能够过渡到抽象的形式化规则。

第二个活动是“讲道理”的环节，是探究“去括号法则”的主要活动，意在引导学生将经验上升为规律，抽象为符号。符号作为一种特殊的语言，有其自身的独特之处。数学符号是现代数学的基础。2022版课标提出：“在小学阶段，学生只需要感悟数学的说理；到了初中阶段，学生要会用数学的符号表达数学道理。”[1]93学生不仅要能发现规律，还要从学会数学本身的逻辑出发，“讲出道理”，解释规律的合理性，才真正实现了思维的升华。在“讲道理”的环节，教师要追问学生如何解释自己的发现是正确的。在解释规律的基础上，教师还要引导学生用文字描述法则，加深对法则的理解，在文字语言、符号语言、图形语言方面完善数学概念。

最后，在“小结与思考”环节，我们设计了两道练习题：

（1）说明：两个连续正整数的和不能被2整除。

（2）说明：若一个两位數，十位数和个位数的和能够被3整除，那么这个两位数也能被3整除。

2022版课标指出，数学课程的核心素养主要包括会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界[1]5-6。本节课的“小结与思考”没有使用常规的回忆课堂学习过程的方式，而是再次提出挑战性的问题，让学生在数学情境中自觉养成用数学的语言进行推理和运算的习惯。这里不仅用到了本节课学习的“去括号法则”，还需要学生创造性地衍生出“添括号法则”，从而达到真正内化本节课内容，并更上一层楼的目标，发展学生的代数推理能力。

数学源于对现实世界的抽象，数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。数学思维与客观事物发生和发展的规律具有同构性，是现实生活中数学内容的逻辑性在人的大脑中的反映。因此，数学教学应该以数学的内容逻辑为基本线索，将“心理逻辑”和“内容逻辑”有机地融合为一体。“讲道理”的数学课将合情推理和演绎推理融合在代数的教学中，从而提升学生的代数推理能力。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]喻平.数学学科核心素养要素析取的实证研究[J].数学教育学报，2016（6）：3.

责任编辑：殷伟