借助公式合理应用，回归函数本质创新

数列是《普通高中教科书＼5数学》选择性必修课程中函数主线的重要内容之一，也是历年高考数学试卷中的主干知识之一.在每年高考中，数列都是一个重要命题点，也是高考命题中考查“四基”，以及考查创新意识与创新应用的一个重要的风向标，备受各方关注.

1 真题呈现

高考真题（2023年高考数学新高考Ⅱ卷·8）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=－5，S6=21S2，则S8=（）.

A.120

B.85

C.－85

D.－120

本题目简单明了，解题的思路可以从等比数列的公式与性质应用两个视角切入，利用相应的公式加以合理变形与转化，或利用对应的性质加以构建与应用，都可以有效化归与转化，实现问题的解决.

2 真题破解

2.1 等比数列的公式应用

等比数列的公式应用的前提就是熟悉掌握等比数列{an}的前n项和Sn的公式，当q≠1时，Sn=a1（1－qn）1－q，借助公式及其变形，以及函数与方程思想等的应用，是解决问题的“通性通法”.

方法1：利用等比数列求和公式.

解析：依题知，等比数列的公比q≠1.

由S6=21S2，利用求和公式可得a1（1－q6）1－q=21×a1（1－q2）1－q，可得1－q6=21（1－q2），

展开有（1－q2）（1+q2+q4）=21（1－q2），即（1－q2）（q4+q2－20）=0，亦即（1－q2）＼5（q2－4）（q2+5）=0，

解得q2=1或q2=4或q2=－5lt;0（舍去）.

而当q2=1时，S4=a1（1－q4）1－q=0，与条件S4=－5矛盾，舍去.故q2=4.

因为S4=a1（1－q4）1－q=－5，所以S8=a1（1－q8）1－q=a1（1－q4）1－q（1+q4）=－5×（1+42）=－85.故选：C.

方法2：方程求解法.

解析：依题知，等比数列的公比q≠1.由S4=－5，S6=21S2，

联立方程可得

a1（1－q4）1－q=－5，a1（1－q6）1－q=21×a1（1－q2）1－q.

解得q2=4，a11－q=13.

所以S8=a1（1－q8）1－q=13×（1－44）=－85.故选C.

解后反思：根据等比数列的通项公式、求和公式等来处理与解决问题，是解决等比数列中最基本的一种解题方法，通过公式的展开，结合不同问题场景加以灵活化简、巧妙运算等.在实际解题时，要注意数列中的通项公式、求和公式等的灵活应用，以及公式中的整体思维、函数与方程思想等的应用.

2.2" 等比数列的性质应用

等比数列的性质应用的前提就是初步掌握一些与等比数列的通项、求和等相关的基本性质，利用对应性质合理构建相应的关系式，为问题的进一步求解提供条件，是解决问题的“巧技妙法”.

方法3：利用等比数列求和公式的变形.

解析：依题意可知，有Sm+n=Sn+qnSm，

结合S6=21S2，可得S6=S3×2=（1+q2+q4）S2=21S2，可得q4+q2－20=0，解得q2=4.

所以S8=S2×4=（1+q4）S4=（1+42）×（－5）=－85.故选：C.

解后反思：等比数列求和公式的变形形式Sn+m=Sn+qnSm，以特殊形式，并结合等比数列的求和性质应用来转化与解决问题.利用相关等比数列的变形公式法处理问题时，其关键在于充分挖掘各Sn中的下标的倍数关系或和差关系，结合变形公式的熟练掌握来分析与应用.

方法4：利用等比数列的性质.

解析：在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列的性质，

可知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6也成等比数列.

所以（S4－S2）2=S2（S6－S4）.

结合S4=－5，S6=21S2，可得（－5－S2）2=S2（21S2+5），

整理有4S22－S2－5=0，解得S2=－1或S2=54.

当S2=－1时，结合（S6－S4）2=（S4－S2）（S8－S6），可得S8=－85.

当S2=54时，由于S4=S2×2=（1+q2）S2=54（1+q2）=－5，解得q2=－5lt;0，不合题意，舍去.

综上分析，可得S8=－85.故选：C.

解后反思：根据等比数列求和公式的性质，即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，合理构建一个新有关等比数列求和的线性关系式的等比数列，并利用等比数列的性质进一步解题.该等比数列的性质应用也离不开各Sn中的下标的倍数关系，这与等比数列的变形公式法有异曲同工之妙.

方法5：等比数列的函数性质法.

解析：在等比数列{an}中，令Sn=A（1－qn），A≠0，

由S6=21S2，可得1－q6=21（1－q2），解得q2=4（q2=－5lt;0，舍去）.

由S4=A（1－q4）=－15A=－5，解得A=13.

所以S8=A（1－q8）=13（1－44）=－85.

故选：C.

解后反思：根据等比数列求和公式的函数性质Sn=A（1－qn），A≠0，借助待定系数法，通过等比数列的求和性质应用来分析与解决问题.回归数列的函数本质，借助等差数列或等比数列的通项公式、求和公式所对应的函数性质，合理构建对应的含参关系式，具有普通性，解题更加灵活巧妙.

方法6：构造法.

解析：构造数列{bn}，其中bn=a2n－1+a2n，结合等比数列的性质可知，数列{bn}是等比数列.

根据S4=－5，S6=21S2，可得b1+b2=－5，b1+b2+b3=21b1.

设等比数列{bn}的公比为p（这里p=q2gt;0，q为等比数列{an}的公比），

可得1+p+p2=21，解得p=4（或p=－5lt;0，舍去），

结合b1+b2=b1+b1p=－5，解得b1=－1，所以S8=S4（1+p2）=－5×（1+42）=－85.

故选：C.

解后反思：根据条件合理构造新数列——从首项起，连续两项之和为新数列的一个项，利用等比数列的性质知其也是等比数列，进而构建相应的关系式加以分析与求解.借助构造思维，引入新数列，使得问题的破解更加直接，更有针对性，解决起来也方便快捷.构造法是创新思维与创新应用的一个重要表现.

3 变式拓展

该等比数列是确定的，因而也可进一步确定其通项公式与前n项和公式的表达式.

变式1记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=－5，S6=21S2，则an=.

变式2记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=－5，S6=21S2，则Sn=.

以上变式问题，由于等比数列的首项与公比的差异，因而都有两个答案，不能遗漏，否则容易导致错误.

4 教学启示

4.1 抓住数列本质，回归函数应用

数列作为离散函数的典型代表之一，是函数主线的一个重要分支.因此，在实际解决数列问题时，往往要回归数列的函数本质，抓住数列的函数属性，挖掘出相关数列（等差数列与等比数列）的概念、通项公式、求和公式等，以及这些基础知识与函数之间的内在联系，借助函数的观点来合理揭开数列神秘的“面纱”，有效构建联系，进而利用函数的性质与方法来解决数列问题，从而使得数学知识更加系统化，培养学生数学的整体意识，以及用联系发展的眼光学习数学、应用数学等.

4.2 倡导“一题多解”，实现“一题多得”

借助一些典型例题，特别是高考真题的“一题多解”，在进一步巩固与提升基础知识的基础上，拓宽解题思路、技巧方法等，从而开阔学生思路、发散学生思维，加深对问题的“通性通法”的认识与掌握.通过解决问题的“巧技妙法”的应用，进而挖掘相关问题的本质与内涵，提升各方面的能力.

在此基础上，利用问题的“一题多解”，不断研究探索，回归问题本源，深入进行“一题多变”，巧妙实现问题的“一题多得”，聚合数学思维的基础上又加以开拓，特别是在变式中寻找通法，在探究中升华能力，研究之路定会越铺越远.这样可以很好全面提升数学基础知识、思想、方法、技巧等，是综合应用能力、创新应用能力等方面提升的一大表现.