“学历案”妙设计，有效深度学习

1 问题提出

在新课标、新教材、新高考的“三新”背景下，基于新教学改革理念的逐步深入，教学改革不断延续创新，课堂教学越来越重视学生的中心地位，关注学生的自主学习，因此倡导学生的深度学习，新的教学形式方案——“学历案”应运而生.

“学历案”在继承与发展“教案”“学案”“导学案”等传统教学方案优点的基础上，更多地融入学生自主学习的经历与过程，关注学生的参与度与思维性，逐渐成为“三新”背景下课堂教学与学习中的一种更加科学、合理的文本方案，而且还在教学与学习的过程中不断得到全面优化.

而如何全面优化与继承传统教学方案中的优点，深化学生的自主参与度，设计出更加契合学生自主学习与深度学习的“学历案”，就成为新阶段教师教学过程中的一个重点，也是教师在“学历案”编写与设计的不断实践与教学过程中的一个热门课题.

2 教学实践

下面以“5.4.2正弦函数、余弦函数的性质”为例（大体安排2课时），通过合理设计，进行教学创设，抛砖引玉.

2.1 自主学习

预习人教A版《数学》（必修第一册）第五章“三角函数”模块对应的第201～209页的教材内容，并思考以下问题：

（1）如何定义周期函数？又如何定义正弦函数、余弦函数的周期？它们的周期是怎样的？

（2）正弦函数、余弦函数的基本性质有哪些？相应的奇偶性、单调区间以及最值分别是什么？

2.2 新知初探

（1）函数的周期性

周期函数与最小正周期，对应的概念直接在教材中加以应用.

微思考1：是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？

提示：有些函数是周期函数，有些则不是周期函数；若一个函数是周期函数，其周期也不唯一.

（2）正弦函数、余弦函数的性质

微思考2：函数y=Asin（ωx+φ）满足什么条件时是奇函数、偶函数？y=Acos（ωx+φ）满足什么条件时是奇函数、偶函数？

提示：当φ=kπ+π2，k∈Z时，y=Asin（ωx+φ）为偶函数；φ=kπ，k∈Z时，y=Asin（ωx+φ）为奇函数.当φ=kπ+π2，k∈Z时，y=Acos（ωx+φ）为奇函数；当φ=kπ，k∈Z时，y=Acos（ωx+φ）为偶函数.

微思考3：正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？

提示：不正确.

2.3 讲练互动

（1）探究正弦函数、余弦函数的周期问题

例1求下列三角函数的最小正周期T：

①f（x）=sinx+π3；

②f（x）=12cos2x+π3；

③f（x）=|sin x|.

（2）探究正弦函数、余弦函数的奇偶性问题

例2判断下列函数的奇偶性：

①f（x）=cos2x+5π2；

②f（x）=sin（cos x）.

（3）探究三角函数的奇偶性与周期性的综合应用问题

例3定义在R上的周期函数f（x）是偶函数，若其最小正周期为π，且当x∈0，π2〗时，f（x）=sin x，则f5π3等于（）.

A.－12

B.12

C.－32

D.32

（4）探究正弦函数、余弦函数的单调性问题

例4求下列函数的单调递减区间：

①y=12cos2x+π3；

②y=2sinπ4－x.

（5）探究三角函数值的大小比较问题

例5比较下列各组数的大小：

①sin10π17与sin11π17；

②cos－7π8与cos6π7；

③sin 194°与cos 160°.

（6）探究正弦函数、余弦函数的最值问题

例6求下列函数的最值：

①y=3+2cos2x+π3；

②y=－sin2x+3sin x+54.

2.4 配套练习（略）

3 教学启示

3.1 学生主体的基本设计理念的体现

“学历案”的编写与设计，其基本理念必须是以学生为主体，同时围绕学生为中心这一根本来编写.

在以上“学历案”的编写与设计中，教学设计的各个环节都离不开学生这一“主角”，从“导学聚焦”开始，引导学生明确本课时的学习目标与核心素养要求；而“自主学习”栏目，引导学生课前进行必要的预习与学习；“新知初探”，是在教师的合理引导下，学生自主探求新知识的过程；在“讲练互动”阶段，结合本课时的重点合理设计实例，引导学生利用新知识加以分析与解决，在此基础上可以合理“变式”，充分引导学生开拓思维，提升能力；最后“配套练习”部分，要求学生课后独立完成.在整个“学历案”中，各个环节都有学生的自主经历与全方面参与，充分体现了“学历案”以学生为主体的“生本中心”的基本设计理念.

例如，在例3的教学过程中，根据学生对实例的理解与掌握情况的反馈，可合理设置几个典型变式，结合归纳加以展示：

变式1（变条件）定义在R上的周期函数f（x）是奇函数，若其最小正周期为π，且当x∈0，π2〗时，f（x）=sin x，则f5π3等于（）.

A.－12

B.12

C.－32

D.32

变式2（变条件、变设问）定义在R上的周期函数f（x）是偶函数，若其最小正周期为π2，且当x∈0，π2〗时，f（x）=sin x，则f－17π6等于（）.

A.－12

B.12

C.－32

D.32

变式1，2的答案分别为选项C，D.

“学历案”的编写与设计，要强化学生主体的基本设计理念，这也是区别于传统教学方案的一个特点.设计方案时，要深入学生学习的各个环节（括课前预习、课堂教学与学习、课后学习等），巧妙创新设计，合理引导学生参与深度学习，从而有效实施自主学习.

3.2 核心素养的基本设计目标的实施

“学历案”的编写与设计需要以学生核心素养的养成为基本目标计，同时围绕关键能力的提升这一根本来编写.

在以上“学历案”的编写与设计中，为了区别正弦函数与余弦函数的图象与性质，借助表格的形式来区别展示，充分体现数学抽象、直观想象等核心素养.如，在例1的讲解后，通过总结，全面归纳求对应函数周期的基本方法，充分体现数学运算、逻辑推理以及数学抽象等核心素养.在教学的各个环节中，都要合理关注学生的学习经历与思维历程，从而更好地引导学生积累学习经验与学习技能，形成数学核心素养，有效促进“四基”的全面落实，深化深度学习，夯实基础.

如，在例6的教学过程中，结合对应的变式问题，给出限制条件，充分提升学生的关键能力与核心素养.

综上，“学历案”的编写与设计，必须以学生为中心，在不断提升教师各方面基本能力与教学水平的同时，为学生“学会”数学的“四基”与养成数学的“四能”等铺设更加合理有效的教学环节，也为学生的深度学习奠定更加坚实的基础，形成双赢、和谐的教学与学习环境.