默会知识视域下小学数学尺规作图教学探究

张烨栋

［摘 要］默会知识是一种经常使用却没法通过语言、文字、符号予以清晰表达或直接传递的知识，小学数学尺规作图教学内容需要认知、实践、情感三大维度的默会知识提供程序、迁移、方向的支撑。学生在尺规作图时需要默会知识引领，而尺规作图也是培育默会知识、提升核心素养的重要途径，即通过核心问题激活学生认知，通过关键活动积累实践经验，通过感悟反思丰盈情感。

［关键词］核心素养；默会知识；尺规作图

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）26-0091-03

纵观小学数学课程目标的关键词从“双基”到“三维目标”再到“核心素养”的演变，课标目标始终在从“知识技能”向“知识见识（智慧）”持续变化，课程的要求从“学会”向“会学”转变，课程的导向不断在强调动手实践等学习方式的重要性。尺规作图作为《义务教育数学课程标准（2022版）》（以下简称《课程标准》）新增的教学内容，它不仅丰富了知识的表征方式，还原了知识的产生过程，应用了知识的基本原理，还为抽象的数学知识直观化、可视化创造了条件，成为促进学生深度理解数学知识的一条重要路径。但尺规作图具有很强的“默会性”，需要默会知识的支撑，对教师和学生都有一定的挑战性。基于此，笔者以“作等长线段”“画三角形”“三角形三边关系”三个尺规作图内容为例，对默会知识视域下小学数学尺规作图教学进行探究。

一、厘清：默会知识和尺规作图的内涵

1.默会知识的内涵及特征

默会知识最早由波兰尼提出，他认为人类知识分为显性知识（明确知识）和默会知识（隐性知识、缄默知识）两类。前者指的是能用语言、符号加以表述的知识，后者指的是不能被表述出来的知识。任何认知活动都根植于默会知识，显性知识的获得也依赖于个体的“默会能力”。有研究者指出人类知识大部分属于默会知识，它对行为支配和实践结果有决定性作用。默会知识具有情境性、个人性、实践性和不可言传性的特征。

因此，默会知识与个体的认知、实践和情感有密切关系，它对个体的学习起着至关重要的作用。学生对知识的真正理解本质上就是一种“默会认识”，对默会知识的培养具有非常重要的意义。

2.小学数学尺规作图的诠释

尺规作图是几何作图的重要内容，它是指用无刻度的直尺和圆规进行作图。教师引导学生在学习任务的引领下利用直尺和圆规通过操作、观察、探究来发现及论证数学知识、建构数学概念、探索数学规律和解决数学问题。无刻度的直尺和圆规既是操作的工具，也是数学思维的工具模型。从学习方式上看，尺规作图能将数学上原本抽象、乏味的符号知识直观化，让学生具身参与操作，有助于学生深度理解数学知识，培养学生的空间观念、几何直观和推理意识。从文化视角上看，尺规作图背后蕴藏着数学理性精神、数学美学等丰富的文化要素。

在对默会知识的内涵特征和小学数学尺规作图的诠释中不难看出：默会知识和小学数学尺规作图有着重要联系，学生在尺规作图时需要默会知识支撑，而尺规作图也是培育默会知识、提升核心素养的有效途径。

二、审视：默会知识支撑尺规作图

结合默会知识与尺规作图的内涵意义及教学实践，笔者发现默会知识能支撑学生在尺规作图的实际情境中完成对应任务。尺规作图需要默会知识的支撑，主要原因可归结为以下三个方面。

1.认知维度默会知识，提供程序支撑

认知维度的默会知识是显性知识获得的基础，它对个体的行为有重要影响，在尺规作图中主要表现为：作图的直觉方法、工具的合理利用、结论的严谨推演等。虽然个体难以发现自身的认知模式，但认知模式对个体的行为却有重要影响。如通过作图认识三角形的周长，认知维度的默会知识能帮助学生明确三角形各边长与周长的关系，学生能生成将三角形周长转化成一维线段长度之和的直觉，进而获得合理利用直尺和圆规将三角形三条边画到一条直线上的探究方案，從中进一步感悟知识的本质。

2.实践维度默会知识，提供迁移支撑

实践维度的默会知识与问题解决有着重要联系，它能助推个体在具体情境中顺利解决问题，属于默会知识领域中的技能。实践维度的默会知识往往依附于个体，随着个体认知的提升而提升，需要个体在实践中不断积累，进而迁移到新的任务中。尺规作图是学生在教师的引导下运用无刻度直尺和圆规，在手脑相协同的过程中，通过动手操作来体验数学知识、感悟数学思想、发展核心素养的学习方式，具有很强的实践性和迁移性。比如学生在利用尺规作等长线段的过程中获得的方法和技能就属于实践维度的默会知识，当学生遇到利用尺规作图将三角形三边画到一条直线上的问题时，就能将此默会知识迁移过来应对。

3.情感维度默会知识，提供方向支撑

情感维度的默会知识主要是指个体在无意识情况下调节或转变个人情感态度的默会知识。研究表明，学生的认知过程与其情感密切相关，认知内容、方式方法等都受到情感维度的默会知识的影响。情感维度的默会知识能引领自身向积极的方向前进。义务教育数学课程第三学段尺规作图在教学提示中指出“要引导学生经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程”，这个任务中三角形第三个顶点的确定比较困难，但情感维度的默会知识丰富的学生能在不断尝试、试错、调整中向积极的方向前行，最终探究出作图方法、掌握作图原理。

三、探寻：默会知识视域下尺规作图教学的路径

基于以上各维度默会知识对尺规作图的支撑分析及笔者对尺规作图的教学实践，在默会知识视域下尺规作图教学可以从以下三方面入手。

1.选定原点：提炼核心问题，激活认知维度默会知识

核心问题是一节课中最重要的问题，相对而言也是大问题，它是课堂的主线，是引领学生数学学习的关键，教师的“教”与学生的“学”都围绕核心问题的解决而展开。核心问题不仅能串联和衔接课堂教学，而且直指数学知识本质，能促进学生从概念表层向数学本质深入，从而逐步理解所学知识，发展数学核心素养。在高观点统领下审视尺规作图的内容，提炼统摄性、内核性的核心问题，把零散的知识、技能串联起来，可以有效激活学生认知维度的默会知识。

（1）梳理情境脉络，确定思维起始点

默会知识具有情境性的特征。波兰尼认为感知是从整体上对线索的把握，任何认识活动人们都需要注意到认识的整体情境，默会知识需要在情境中获得，个体默会知识也需要在具体情境中被激活。虽然教材将数学知识按学段分散编排，但数学知识具有结构化、连贯性和整体性的特点，教师教学之前应该确定知识的起点，从整体把握教学方向。比如，《课程标准》把“认识三角形和四边形，会根据图形特征对三角形和四边形进行分类”安排在第二学段，把“知道三角形任意两边之和大于第三边”安排在第三学段，在相应单元分别增加了有关尺规作图的内容。默会知识的特征要求教师要对知识脉络进行整体梳理，确定学生思维的起点，进而提炼核心问题。这样，能充分激活学生认知维度的默会知识，帮助学生沟通知识的来龙去脉，建立知识间的联系。

（2）立足学科本质，确定思维进阶点

学科本质指某个教学主题中最原始、朴素、根本的观念、思想和方法。数学教材是以“明线”的方式呈现知识，而数学本质则以“暗线”的方式隐藏其中。教师教学时要找准隐藏其间的“暗线”，把握其中的数学要素。尺规作图不仅是一种操作的过程，更是数学思维直观体现的过程，是联系、重构、内化知识的过程，它是培养学生几何直观、推理意识和数学品格的重要渠道。立足学科本质确立的核心问题往往具有内核性，能引导学生深入探究知识的内涵意义及背后的思想方法，激励学生深入思考、深度体验、深刻建构，促使学生思维及对知识理解的进阶。

2.紧扣重点：巧设关键活动，积累实践维度默会知识

默会知识具有实践性的特征，实践维度的默会知识需要个体在不断的实践中积累。教师要让学生通过观察、操作、归纳、类比、推理等数学活动，体验到数学问题的探索性和挑战性，在实践中感受到数学思考的严谨性和数学结论的确定性。这些数学活动有助于学生实践维度的默会知识的积累，能促进学生思路与思维的衔接、直观向抽象的跨越、学知向创造的转化。

（1）恰当的活动方式，促思路与思维衔接

恰当的活动方式能引导学生在探究中实现数学内涵的“再发现”，促进学生思路与思维的高效衔接。学生除了要掌握作图技能，还要从中理解数学概念、探索规律、把握数学本质、厘清思维路径。因此，在尺规作图教学中教师要选择恰当的活动方式，使学生在思路与思维的衔接中积累实践维度的默会知识。比如，在“作等长线段”的尺规作图教学中，不能让学生死记硬背作图步骤或跟着教师亦步亦趋，而要鼓励学生在不断尝试的过程中发现问题、及时调整，从中形成对图形的感知，体会两点确定一条线段的意义，在初步学会使用圆规的同时，感受尺规作图的奇妙与趣味。

（2）合理的活动层次，促直观向抽象跃迁

合理的活动层次能帮助学生在抽象概念的具体感知中获得“再发现”，促进学生由直观向抽象有效跃迁。小学阶段加入尺规作图的重要意义是让学生感受到数学的严谨性，但小学阶段的几何内容以描述性的直观几何为主。因此，在进行尺规作图教学时，活动的层次尤为关键。笔者在“作等长线段”的教学时设计了三个层次的关键活动：①作一条线段等于已知线段。②比一比哪个图形周长更长。③找一找“宝物”在哪里。学生在“做数学”的过程中唤醒了原有认知，感受到了两点确定一条线段的意义；在“作比较”的过程中体悟到了线段的可加性；在找一找的过程中进行深度思考……既为后续画三角形做铺垫，也明白了所运用到的尺规作图的原理。三个关键活动层层递进，学生在动手和动脑的过程中思维不断由直观向抽象跨越，实践维度的默会知识也得到不断丰富。

（3）完整的探究过程，促学知向创造转化

完整的探究过程能促使学生感悟数学“再发现”的一般过程，感悟数学中常用的思想方法，深刻理解数学知识，促进学生由学习知识向创造知识转化。比如，笔者在教学“三角形三边关系”时，先让学生对三角形的三边关系进行合理猜想，进而引导学生通过圆规和直尺进行验证，最后组织学生交流表达验证的方法及过程。在合理猜想、动手实践、验证猜想、归纳说理的完整探究过程中，学生深刻理解三角形的三边关系，感悟數学探究常用的方法，学生对数学的认知从概念表层向数学本质进阶，学生的推理意识和创新意识得以发展。

3.架构支点：适时感悟反思，丰盈情感维度默会知识

默会知识具有不可言传性的特征，造成默会知识不可言传的根本原因在于默会知识是一种身心合一的认识活动，是一种整体的活动。默会知识的不可言传性并不是指不能谈论，它是可以通过实践、体验、感悟被传递和获得的。因此，适时的感悟反思有助于丰盈学生情感维度的默会知识。感悟反思不是对尺规作图的过程进行笼统而简单的回顾，而是要对尺规作图过程中关键节点进行具体回顾及结构上的整体反思；不仅要感悟学会了怎样的知识，还要从怎样学会的反思中感悟数学思想；不仅要感悟取得了哪些成功发现，也要反思实践过程中的错误、挫折及其调整的方法，从中体验积极的情感态度，积累数学活动经验，为后续的学习提供研究方向的支撑。比如，笔者在“作三角形”的尺规作图教学时发现学生能想到利用之前学过的知识将其中一条线段作为三角形的一条边，但对于如何把另外两条线段的端点连接起来得到三角形的第三个顶点有不小困难。教师要鼓励学生把作图过程中的困惑和感受表达出来，在表达交流中培育学生积极的情感态度，不断丰盈学生的情感维度的默会知识。

综上，尺规作图具有丰富的育人价值，对学生默会知识的培育及数学核心素养的提升具有重要意义。因此，在尺规作图教学中教师不光要让学生掌握作图方法，更要注重学生默会知识的激活及培养，帮助学生实现由直观认识到抽象推理的蜕变，使学生体会到数学思想的统一、推理过程的严谨、作图痕迹的简洁、细致操作的精准，从而培养学生的数学核心素养。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 顾容，苏永慧，杨青青.默会知识视角下问题解决能力的教学模式研究[J].教育评论，2020（5）：134-140.

[3] 迈克尔·波兰尼.个人认识：迈向后批判哲学[M].许泽民，译.贵阳：贵州人民出版社，2000.

[4] 李白鹤.波兰尼默会认识思想研究[D]，武汉：武汉大学，2006.

（责编 梁桂广）