高考数学试题溯源的缘由、内容与途径

唐海军, 王佳佳, 黄维燕

(1.四川文理学院 数学学院, 四川 达州 635000;2.四川省达州中学, 四川 达州 635711)

在新高考背景下,数学试题对中学数学教学改革具有引导和促进作用.数学试题的分析是认识核心素养评价取向和巩固数学知识学习的主要手段.学生对一道试题数学本质与求解方法的溯源分析,有助于提升他们的问题解决能力和促进数学核心素养的发展.然而,长期以来,题海战术严重困扰着数学教学.一方面,在试题讲评课上,“教师示范解答,学生重复练习”,“师生就题论题”而缺乏试题求解的本源知识和通性通法分析,造成学生在新的情境中解决问题迁移困难.另一方面,在高考数学试题的分析中,部分教师只是按部就班地进行若干试题的分解或者仅仅简单地罗列出近似的高考题,而没有分析试题之间的联系,导致课堂出现“一讲就懂、一做就错”的现象.弗里德曼[1]认为“若学生解题只是为了得一个答案或重复解题,没有在应有的程度上分析题目,就不能从解题活动中获得一般方式和方法”.因此,对于试题进行溯源分析十分重要.本文以2022年全国甲卷理科数学第21题为例阐述数学教师实施试题溯源的缘由、内容和途径.

1 高考数学试题溯源的缘由

溯源是人们以某种题材为载体追根寻本的一种思考问题的模式.试题溯源是一种对试题进行深入地“逆向”分析的学习活动.试题溯源核心目的是发现试题的继承与变化规律,以及问题解决的一般方法.具体而言,师生要实施试题溯源的原因在于四个方面.

1.1 试题溯源是要在数学要素之间揭示普遍联系

数学试题的解决就是在问题涉及的各要素、问题条件与待解问题之间,建立起普遍联系的过程.从哲学来看,事物之间以及事物内部诸要素存在着相互作用和相互影响的联系.外在现象是事物可以被直接感知的表面的东西;内在本质则是事物的内部联系.外在现象不能直接把握,必须通过理性的思考分析才能认识内在的联系.在数学中,“具体的数学问题仅仅反映出问题本身的表面现象,它是问题本身的一种表现形式,而题源反映的却是数学问题的深层结构和真正含义[2]”.所以,学生需要在高考题的分析中,通过试题溯源将试题涉及的数学各要素联系起来.如本题中,学生通过阅读情境,初步提取出试题中的常见元素“函数”“参数a”“取值范围”,再在深度思考的基础上发现函数f(x)、不等式f(x)≥0、方程f(x1)=f(x2)=0三者统一于同一个问题情境中.因此,学生如果把握了试题题源,更能认清问题的本质属性.

1.2 试题溯源有助于在知识组块间形成“结构图”

数学试题解决过程是学生处理来自外部数学情境与内部思维信息的过程.从认知心理学看,“如果所有的知识不分巨细,都罗列在长时记忆中,那么寻找这些知识会有可能要将整个记忆搜索一遍[3]”,所以学生先前的认知和经验会影响到解题时从“记忆器”中对信息的提取.数学解题中“学生不具有解决问题的一般技巧和能力,其基本的原因就在于没有对自己的解题过程进行不断的分析,不善于从中整理出最常用的演算方法以及缺乏必要的理论基础[1]”.而试题溯源过程是形成新的更优数学认知结构的过程,相当于将问题相关知识及思维嵌入一张大图,并以某些特定的联系影响其他知识,与它们结合,从而形成试题“结构图”.这有助于学习者在今后面临新的问题情境时回忆试题的起点,回忆相关知识“组块”和出入“记忆器”,从整体的角度将有关知识有机地串联起来.

1.3 试题溯源是追求知识与方法本原的过程

数学试题的解答是一个应用通性通法的过程.从教育视角看,奥苏贝尔认为一切有意义的学习都是在原有认知结构的基础上产生的,学生原有认知结构是极为丰富的.试题溯源是一个追求知识与方法本原的过程.卡尔·雅思贝尔斯[4]认为教育的关键全在于选择完善的教育内容,尽可能使学生之“思”导向事物的本原而不误入歧途.涂荣豹[5]认为数学解题应该把学生引导到本原的思考、本原的方法上.因此,试题溯源作为一种回溯知识本原(核心知识)和方法本原(一般方法)的数学学习过程,有助于学生今后解答试题时,与原有的认知结构和适当观念建立起自然而非人为的联系,如本文中提到的高考试题,涉及函数的单调性,就需要建立导数与函数单调性判断之间的内在联系.学生在试题的溯源过程中巩固基础知识、基本技能,掌握数学基本方法及思想,提升数学核心素养.

1.4 试题溯源是解题学习活动中的重要任务

数学试题解答总是与以前的解题存在关联.“我们几乎不可能想出一道全新的题目,它和以前解过的题目既不相像,又无联系.事实上,我们在解题时总是得益于以前曾解过的那些题目,应用它们的结果或者方法,或是我们在解答它们当中所获得的经验[6]”.从解题视角看,试题的溯源也是教师有效开展复习教学的一个重要任务.由于新高考背景下,数学试题命制是依据课程标准,深化基础考查,突出主干知识,强化数学思想方法的渗透和关键能力的考查,聚焦“教考”衔接和“考选”衔接,突出了高考试题对中学教学改革的引导和促进作用,以及数学学科对人才的选拔功能,所以数学教师与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目,还不如选择一个有意义的典型试题,去引导学生溯源分析题目的各个侧面,提高他们的综合素质.

2 高考数学试题溯源的内容

高考数学试题溯源是师生围绕高考数学中的典型真题,回溯试题的数学知识逻辑、学生认知原点和教材知识要点等三个方面的内容.

2.1 溯数学逻辑之源

试题溯源的第一个内容维度是溯数学逻辑之源.奥苏伯尔认为学生实现有意义学习根源在于新知识要与学生原有知识建立合理和本质的联系.数学试题溯源作为一种特殊的学习活动,就是要将新的试题情境与学习者认知结构中已有观念建立起非人为、实质性的联系.因此,试题溯源要关注溯数学逻辑之源.溯源数学逻辑就是教师引导学生探索与分析该试题的知识与思维逻辑是什么.知识逻辑是试题涉及的数学基础知识,是分析试题“考的是什么”的问题.思维逻辑是人们在试题求解过程中,涉及的思维活动的规律,分析试题“求解的途径是什么”.两者结合构成数学试题基础,包括了数学试题涉及的概念、命题、性质、公式、基本方法、数学思想等数学核心内容.教师在组织学生试题溯源时,只有厘清了知识与思维发生的本源,科学地组织了学习材料,才能保证学生在溯源中既能学到基本的知识点,又能理解试题与题源间的内在逻辑性,从学科意义上建构知识网络.

对于本文中的高考试题而言,在数学知识上,函数主线围绕以下几个主题展开:函数概念,函数性质,函数模型,函数应用和研究的方法.通过函数学习和应用,提升数学学科核心素养.对于综合性的函数问题,函数常常与方程、不等式和导数等知识交叉命题,成为学生数学学习的难点.在思维方法上,“研究函数会涉及函数图象、数学运算和微积分—极限思想[7]”.本题较好地考查了分类与整合思想、转化与化归思想.由于函数作为描述现实世界变化的模型,“导数及其应用”的引入帮助学生在用单调性定性整体描述函数变化的基础上,过渡到定量地刻画一个更小区间上(局部)函数的变化,所以,求解复杂函数的单调性、单调区间、最值和极值问题,需要学生利用导数思想将函数整体性质与局部性质结合起来,定性描述与定量方法融合起来,这成为高考数学的热点.溯逻辑之源有助于找到问题求解规律,实现多题同解.与2022年全国甲卷第21题类似的有2017年全国高考数学卷Ⅲ理科第21题第1问,已知函数f(x)=x-1-alnx.若f(x)≥0,求a的值.这样的类似高考题拥有共同的求解逻辑.

2.2 溯学生认知之源

试题溯源的第二个内容维度是分析认知与经验起点.维果茨基认为学生的认知发展主要有两种情况:一种是学生现有学习水平,一种是学生可能达到的发展水平,在这两种情况之间存在的水平差异则是学生的最近发展区.在试题溯源的学习活动中,溯源认知与经验是教师引导学生对自己和同伴已知什么、思维特征、能力水平以及学习经历等的反省分析,确定现有水平.教师着眼学生的最近发展区,引领学生通过复盘平时的测评和总结类似试题的解答情况,对解决当前试题执果索因,不断寻找题源.教师在这个过程中为学生搭建支架,从而帮助学生超越最近发展区.

2.3 溯教材内容之源

试题溯源的第三个内容维度是探寻教材起点.教材是落实数学课程标准的内容载体,是对课程标准的再一次创造和组织,从而成为教师实现课程目标的重要资源以及教学过程的重要参考,也因此成为试卷命题时设置题材的主要来源.溯源教材内容是教师指导学生再次对课本中的概念、定义、定理、法则、公式进行理解,进一步理解数学公式是如何正用、逆用和活用,并在教材中发现一些有联系的题目.由此,一方面,试题分析时,围绕典型试题,指导学生通过变式,识别和聚焦试题中的关键属性,依题溯源,回归教材.另一方面,指导学生挖掘教材例(习)题的潜在功能,分析它们的普遍化、特殊化或类比情形,建立高考试题与教材典型问题之间的内在联系.

3 高考数学试题溯源的途径

在数学试题的分析活动中,学生可以通过三种途径来实现试题溯源,从而理解题意和优化求解的步骤.

3.1 通过直觉形式溯源

直觉形式溯源是指在解题经验的基础上,识别数学试题中的图形或表达式中的视觉特征,形成试题求解的粗略框架.这类溯源立足于学生的直觉思维,是对一个问题未经严格推理,仅依据个体对事物或问题的感知并迅速对问题答案做出判断、猜想、设想[8].由于数学的高度抽象性,在数学活动中往往只能看到通过数学图形语言和符号语言组合而成的图像或表达式这样一些“形式化”的材料.在溯源活动中,学生通过观察和回忆,由直觉去发现数学问题情境中存在的各类典型可见的数学元素、模型和与以前类似的问题情境.正如波利亚[6]所言“要回忆起某些和目前的题目多少有点联系,而且是以前解过的题目,通常毫不困难”.直觉溯源有助于再暴露学生在理解和解决问题时的原始想法和思维过程,它为人们继续探索这类问题的深层结构提供了研究的对象与平台. 由此,在试题溯源活动中,教师要让学生多尝试以直觉形式溯源归纳,进一步发展学生的数学问题解决能力.

函数的单调性作为函数知识结构的重要组成部分,不但可以解决很多与函数相关的问题,也可以解决许多非函数问题(如不等式的证明,方程根的存在性判定等)[9]．在本试题中涉及的高中生需要掌握的必备知识,包括函数解析式、函数最小值、参数a的取值范围、函数的零点和复合函数,从而溯源到类似的试题或教材例习题.由于该试题第1问仍然是对数学基础知识和数学运算素养的考查,所以通过直觉形式溯源,容易将其归入基础题型.学生应用转化思想,对函数实施求导运算,确定函数的单调区间,得出参数范围,从而求解.由于f(x)的定义域为

令f′(x)=0,得x=1.

当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以得到fmin(x)=f(1)=e+1-a.因此,要保证f(x)≥0恒成立,需要e+1-a≥0,即a≤e+1,从而a的取值范围为(-∞,e+1].

3.2 聚焦概念特征溯源

概念特征溯源指根据数学概念的特征和其他本质特征,分析数学试题涉及的概念系统,给出问题求解的通性通法.“由于数学抽象的结果,使得数学的形式化材料脱离了作为它客观背景的实例材料的具体,却保留了一类事物的抽象本质属性,并以这些形式化的材料作为它们的代表”[5].在本试题中涉及的概念是函数的最值.因此,聚焦最值的概念,进一步追问该如何研究函数的性质,求解函数性质问题的一般方法是什么.教师需要引导学生回归到函数学习的初始状态,去发现解析式是求解和研究函数最重要的载体;而复合函数中的最值又与函数的导数密切相关,需要采用求导的运算. 由此,引导学生立足高考试题的概念特征溯源,有助于他们重新从数学的角度来发现问题、提出问题、分析和解决问题.

3.3 抓住关系结构溯源

抓住关系结构溯源是指利用概念、命题间的关系及关系结构的特点分析数学试题出处,并探寻解法. 数学学习的本质是揭示各个数学概念间的关系,从而形成大量的定理、公式和法则,形成一定的结构关系.学生在试题溯源活动中对关系结构的溯源,就在于识别数学关系的各种模式和关系的结构模式,达到再次理解数学问题情境、找到问题解决的步骤.同时这种溯源途径相较于前述两类溯源,还具有形成并强化新认知结构的功能. 这种溯源策略使得学生对数学试题的理解进入新的深层结构.

总之,试题的溯源是一个对试题的分析过程,有助于揭示数学问题相关要素的联系,促进知识组块形成结构图,还原数学问题解决的本原方法.教师通过溯源数学知识与思想逻辑、学生的认知起点和数学教材的根源,揭示数学试题解决过程中的多层结构,对学生的直觉溯源加以点拨指导,对概念特征的溯源铺设必要的认知基础,对关系结构的溯源创造时间和机会,为提升学生的数学核心素养优化路径.