静电场描绘实验仿真研究

武颖丽,倪 朔,代少玉

(西安电子科技大学 物理学院,陕西 西安 710126)

电场强度和电位是静电场描述的基本物理量。静电场场区无电荷运动,不产生电流,故不能用伏特计测量其电势。同时,用探测仪器的探针探入待测静电场时,静电感应现象使探针内部电荷重新分布,出现感生电荷产生的电场叠加使原电场发生畸变。因而,直接测量复杂形状静电场分布较困难,加上标量的计算与测量比矢量简单,往往通过电势分布描绘静电场。

“静电场描绘实验”是大学物理实验中的常规性内容,这一实验相关科学问题已有研究:林春丹等[1,2]用MATLAB绘制两个平行圆柱面间区域及电荷位于无限大导体平面上的电场分布,以更好理解静电场分布特征,而且用智能手机拍摄测量打点图、软件Geogebra处理数据,完成了测量半径、等势线绘制、数据拟合等;张季等[3]模拟了两点、三点、点线和双线电极的等势线分布,并将其与实验结果进行比较;赵燕萍等[4]用交变电信号幅值项验证以水为电介质的静电场描绘仪测量实验值与理论值相吻合。实验装置方面:宫吉祥等[5]利用高压直流电源,将极化微物在静电场中被极化定向移动运动结果,显示了同轴柱面电极静电场的二维分布;黄志鹏等[6]通过带电球体模拟空间电场的三维分布,并用Geogebra软件可视化。赵俊等[7]设计探讨“静电场实验”在教学环节如何有机融合课程思政问题。许平等[8]针对静电场描绘实验在实验讲义、实验器材以及实验操作等方面存在的问题进行了分析与探讨。目前,大多教学中采用模拟法实现“同轴电缆、平行线电极、聚焦电极”等经典的静电场描绘,与该实验内容一致的教学软件鲜有报道。

西安电子科技大学的大学物理实验“静电场模拟”,是给定10V电压,要求测量同轴电缆及平行线电极的电场,每个电场测7条等位线、每条等位线测10个点,并在坐标纸上描点画等势线,然后根据电场线与等势线的垂直关系描绘电场分布。在实际实验中有些弊端显而易见,一是测量点多且测量精度不高,在坐标纸上描绘点不准确;二是输入电压变化时等势线疏密随之变化,有限时间内无法完成导致对电场分布认识不完整;三是“聚焦电极、飞机场机翼速度场”电场描绘难度大任务重,上课期间难以完成。基于以上原因,提出了通过软件编程对“同轴电缆”“平行直线电极”“聚焦电极”劈尖电极”“平行板电极”等5种典型静电场进行高精度仿真,以实现对静电场分布、电场特性的深刻全面理解。

1 理论基础

1.1 静电场理论

静电场是由静止电荷激发的电场。由于电场具有叠加性,多个电荷激发的电场等于每个电荷激发电场的矢量和。设第i个电荷QI到P点的矢径为rI,P点的电场强度E为

(1)

考虑电荷与电场的局域关系,由空间无限小区域电场的性质,可得高斯定理的微分形式

(2)

式中,ρ为电荷密度,ε0为真空电容率(真空介电常量)。

标量φ作为表征静电场的另一个量电势,进而电势与电场强度矢量的微分关系为

E=-φ。

(3)

若取无穷远点为参考点(电势零点),则电势与电场强度间的积分关系为

(4)

均匀各向同性线性介质中D=εE,关于电势满足的基本微分方程(泊松方程)为

(5)

其中,ρ为自由电荷密度。

为描述静电场的电场分布,除基本微分方程外要考虑边值关系(边界条件)、导体表面及介质交界面处电势边值关系。已知在两介质交界面处,电场的边值关系为

en×(E2-E1)=0 ,

(6)

en×(D2-D1)=σ。

(7)

进而,交界面处静电势的边值关系为

φ1=φ2,

(8)

(9)

由于导体内不带净电荷,电荷只分布于导体表面;导体内部电场为零,表面电场沿法线方向、导体表面为等势面、整个导体电势相等。结合式(8)和(9)可得导体表面边界条件为

(10)

由式(5)、(8)、(9)和(10),可得到静电场具体的电场分布。

1.2 模拟法可行性与局限性

与实际静电场描绘实验一致,我们建立包含同轴电缆、平行线电极、聚焦电极以及机翼速度场等四个静电场相对应的理论模型与仿真,再增加“平行板电极”的电场分布仿真。

理想的静电场电场分布实验是在无穷大静电场物理情境中完成,同轴电缆和平行线电极的电场分布,在仿真实验中由静电场原理求出解析解,再描绘出静电场分布;而聚焦电极、机翼速度场及平行板电极的电场,无法求得解析解,则借助模拟法用稳恒电流来模拟。具体设计流程如图1:

图1 流程图

2 仿真测绘

以静电场基本理论为基础,用有限差分方法,参考静电场模拟实验仪,利用MATLAB App Designer,设计以上五种常见静电场描绘的高精度仿真程序。

2.1 仿真界面

仿真实验由测量仪、描绘仪和操作栏三部分组成,界面如图2所示。“测量仪”提供可调节的电压,显示探针的电压读数。“描绘仪”提供同轴电缆电场、平行线电极电场、聚焦电极、劈尖电极以及平行板电极等5个经典电场的描绘。“操作栏”提供该五种经典电场的等势线图和电场图等。此外,坐标可显示或隐藏,坐标区相当于精度为0.2 mm的坐标纸,坐标区大小与导电媒质一致。测量过程中软件显示测量点电压及其对应的坐标,测量结束后可以存储测量数据。

图2 静电场测绘实验界面

2.2 电场线和等势线的描绘

以聚焦电极的静电场为例,阐述电场线和等势线的描绘。

2.2.1 测量等势点

在软件界面上,将“测量仪”中“电压”表右侧的按钮由“输出”拨到“测量”,“电源”开关由“On”调至“Off”,调节电压确定输出电压大小,点击操作栏的开始测绘按钮进行测绘。用鼠标左键点击“描绘仪”的中间位置,用鼠标点击不同的位置或者通过键盘的“W”“A”“S”“D”键来选取所需要的等位点,找到后右键将其留在图中,以此法寻找一组等位点,等位点的坐标可以显示,测量结束可以存储并导出测量点的数据。

测量时可选择显示坐标,以输入电压为10 V为例、导电媒质大小为10 cm×10 cm的情况下的测量仿真,得到如图3所示结果。在图3中,用仿真软件描绘聚焦电极电场的电压为1～9 V的等位点,间隔1 V,寻找等压点过程,点的颜色为红色。同时,在测量仪上显示电压值,描绘仪上显示测量点的坐标。若确定该点为测量点时点击右键,电压点颜色显示为蓝色。

图3 聚焦电极电场等势点的测量

2.2.2 等势线和电场线

测量完等势点,可得到图4所示等势线。进一步,根据电场线和等势线垂直的原理,画出电场线并标出电场方向如图5所示。图5(a)和图5(b)给出显示和不显示坐标时的情况。

图4 聚焦电极电场的等势线

2.2.3 数据参数的改变

与实际的测量仪器相比,静电场描绘仿真软件能实现更多功能,两个重要的参数是输入电压调节和导电媒质大小的调节。图6为输入电压为5 V时的聚焦电极的电场分布,与图5(a)相比,可以看出输入电压越小,电场线变得越稀疏,说明同一点处的电场强度变小。

图6 输入电压变化的聚焦电极电场分布

进一步,导电媒质大小从10 cm×10 cm调整到26 cm×26 cm,聚焦电极的电场分布如图7所示。可以看出,导电媒质变大,相当于聚焦电极间距离变小,则靠近电极处的电场变强,电力线变得更密集。可以看出,仿真软件中参数变化引起的电场变化,与静电场理论相一致。

图7 导电媒质变化的聚焦电极电场分布

3 其他四种静电场的描绘

图8给出了同轴电缆、平行线电极、劈尖-平行板电场以及平行板电极四种电场描绘结果,其中输入电压均为10 V,导电媒质大小从10 cm×10 cm。每个电场中描绘电压为1～9 V的等势点。图8中虚线为等势线,实线为电场线,箭头表示电场线方向。各个静电场描绘结果与线下实验测量结果基本一致。

4 结 论

(1)基于MATLAB App Designer设计的静电场描绘实验仿真软件,实现了五种常见静电场分布模拟,仿真测绘程序高度还原了实际静电场模拟实验仪的实验操作与UI设计,与现实实验操作高度近似。

(2)该实验仿真软件,可以帮助学生直观感受不同静电场电场分布,有助于理解静电场原理,其独特的仿真设计可以锻炼学生实验操作能力;同时,扩展了实际静电场描绘实验的内容,增加了等势线与电场线,并可实现导电媒质尺寸、输入电压的调节与显示等功能,有利于学生对理想静电场关于边界条件的理解。可以说,该描绘仿真软件实现在再现实际实验的操作,仿真度高,并可供无线下实验条件作为拓展实验。