学习数学，品味数学，挖掘数学

■北京大学 张建圆(2023年毕业于河南省扶沟县高级中学)

(2023年高考成绩:语文134分,数学150分,英语130分,理综275分,共计689分)

本期邀请以总分689分考入北京大学的张建圆同学(高考数学150分)分享自己在高中学习、生活的经验,张建圆的数学老师王冲对他有着怎样的评价呢? 希望张建圆同学的学习经验分享和王老师的点评能对同学们的学习有所帮助。

2023年高考早已拉下帷幕,作为2023年高考数学满分的获得者,我很乐意将自己的数学学习经历分享给大家,以期与大家共勉。

兴趣是最好的老师,小时候我就对数学很感兴趣,感受到了数学的无限魅力。但小学阶段,我的数学成绩并不理想。随着我“攻克”一个又一个“难题”,譬如短除、比例、阴影区域面积等问题,数学成绩才有所好转。

初中时期,我的数学成绩更是起伏不定。我曾困扰于平面直角坐标系,徘徊于平行四边形的证明,好在这些问题后来都被我一一克服。

高中数学是一个转折点,很多初中数学学霸在此折戟沉沙。我想,高中数学和初中数学不在一个维度。初中数学经过大量重复训练,基本上可以学好;而高中数学更侧重思维能力。高中数学的抽象函数、立体几何、圆锥曲线、概率与统计、导数等知识,都会难住很多同学。我们要及时调整,以便更好地适应高中的数学学习。

我刚上高中时数学成绩并不优异,但我有一颗好奇钻研的心。我会经常抽时间看一些趣味数学视频,有时也会买一些相关书籍来拓宽数学视野,它们无形中提升了我的数学思维。譬如说,我曾经了解拉马努金、佩尔数列、庞加莱猜想、黎曼猜想,我从中感受到了顶级数学家或者数学天才的思想。开始我并不能完全理解他们解决问题的方法,但过一段时间学了一些其他的数学知识,再回头想这些问题时,会发现那些数学家的思路是如此的自然、简捷和美妙。我在高中时经常会研究一些趣味数学题,这对我确实有帮助。自习课上我也会反复琢磨,我并不认为这是浪费时间,反而认为是一种放松。我也会进一步进行挖掘、改编,加深自己的印象。

高一上学期,我的数学一直在进步,并没有感到特别吃力。高一下学期,我意识到必须要克服粗心的习惯。我做题速度较快,所以有充足时间检查,于是我把做题速度慢下来,一字一字地看,这样做效果立竿见影。

高二时,我们学习了圆锥曲线,计算量加大;学习了立体几何,题目更棘手;学习了导数,思维量增加。圆锥曲线就是计算量大,但我们要知道圆锥曲线是几何题,要善于观察几何图形并利用有关性质解题。立体几何题需要我们去想象、去尝试,但我们需要保持严谨的态度,不能出现漏洞。导数试题较难,有很多导数题源自高等数学。切割线放缩、极值点偏移、洛必达法则、泰勒公式等,都有高等数学的影子,我们不下一番功夫是不容易学好的。概率与统计是我们经常忽略的一个重点,它难的话可以作压轴题,简单的话可以作第17题或者第19题。2019年的高考试卷就以概率题作为压轴题,它以药物测验作为背景,考查概率知识在生活中的实际应用,同时体现出了概率在实际生活中的意义,这样的题目耐人寻味。

高二数学难度确实比高一数学加大了很多,很多同学的数学成绩也下降了不少。我刚学圆锥曲线知识时,连最简单的圆锥曲线题都感觉十分困难。设而不求、转化思想全都不太会用,经常计算出错。但当我一遍一遍重复时,会发现做题速度明显加快。比如说,证明垂直可以采用向量法、斜率乘积为-1(注意讨论斜率不存在的情况),也可以用直线一般式求解;定值、定点问题可以猜测,或者说先猜后证;最值问题一般是先列出表达式,再利用相关知识、方法求解(一般最值会在特殊情况下取得)。高二下学期的导函数虽然难,但也是有规律的。就像上面提到的,导数题中蕴含着高等数学的思想。

进入高三后,基本上都是综合性问题。我在学习时,特别喜欢将知识融会贯通、举一反三。比如,向量与三角形面积,圆锥曲线中经常遇到求三角形面积的最值问题,我会采用三角形面积的向量公式辅助解题。

高三一轮复习很重要。一轮复习我们可以打好基础,多回顾知识点。那些导数常用不等式,圆锥曲线二级结论,立体几何中公理、定理及推论,我们最好可以熟练运用。在高三后期,我对数学是拥有绝对的自信,同时,我还会对数学试题进行挖掘。经验是愚者之智,智者之得。刷题固然重要,总结也很重要。以我为例,我不喜欢摘抄错题,一般是记住失误点,了解题目构成。这样做,对试题套路会多了解一些,数学水平也会提高。我会培养自己的数学思想,多了解一些数学基础公式及其证明方法,从而提高自己的数学思维水平。

2023年全国高考乙卷变化很大,不少人说立体几何题需要用几何法去解决。但是建系法足够熟练的话,建系也可以,我考试时就用的建系法,的确可以做,也不算太麻烦。2023年的全国乙卷,命题风格变化很大,让人做着有一种身陷沼泽的感觉,十分别扭。考的题目很新颖,告别了传统考法,冲击死记硬背、盲目刷题的学习方法,但追根溯源,我们就会发现考的还是数学思维。

善思近乎知,力行近乎仁。我想说,学习数学要学习数学的思想,不要把学习做数学题称作学数学。数学绝非是一潭死水,数学之中蕴含着创新,这绝不是盲目刷题可以感悟到的。在学习高中数学知识时,我们要大胆尝试,积极探索。在做题之余,我们不妨真正地去理解数学思想,发现问题、提出问题、解决问题。

以上这些,就是我对数学及数学学习的感悟和体会,希望对正在进行数学学习的同学们有所帮助。不当之处,还请大家批评指正!