例析椭圆中最值求解的六种策略

2023-11-29 10:01安徽省霍邱县第一中学朱秀梅

■安徽省霍邱县第一中学朱秀梅

椭圆在解析几何中占有重要的地位,它是同学们学习的重点、难点,也是高考的必考内容之一。在椭圆中经常出现最值问题,它能很好地考查同学们的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养。解决这类问题可采用以下几种解题策略,下面分类进行例析。

例1设椭圆C已知点A(0,1),点P为椭圆C上的点,若|AP|的最大值为2,则a的取值范围为( )。

思路分析:不妨设点P(x,y),可得出x2=a2(1-y2), 因此,|AP| =构造函数f(y)=(1-a2)y2-2y+a2+1,问题转化为函数f(y)在区间[-1,1]上的最大值为4。对实数a进行分类讨论,结合二次函数的基本性质可求得实数a的取值范围。

解析:设点P(x,y),由1),可得x2=a2(1-y2)。

因为|AP|的最大值为2,所以关于y的二次函数f(y)=(1-a2)y2-2y+a2+1在[-1,1]上的最大值为4。因a>1,故二次函数f(y)的图像开口向下。

策略二、利用均值不等式求最值

例2已知椭圆C:,过点F(1,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,线段AB的中点为M,则点M的纵坐标的最大值为____。

思路分析:当直线的斜率为0时,可得线段AB的中点M的纵坐标为0。当直线的斜率不为0时,设过F(1,0)的直线为x=ty+1,然后将直线方程与椭圆方程联立,消去x,利用根与系数的关系可得,显然当t<0时,yM>0,再利用基本不等式求解即可。

解析:当直线的斜率为0时,直线为y=0,线段AB的中点M的纵坐标为0。

当直线的斜率不为0时,设过F(1,0)的直线为x=ty+1,设A(x1,y1),B(x2,y2)。由得(3t2+4)y2+6ty-9=0。

所以线段AB的中点M的纵坐标yM=

当t=0时,M的纵坐标为0。

例3设点P(x1,y1)在椭圆=1上,点Q(x2,y2)在直线x+2y-8=0上,则3|x2-x1|+6|y2-y1|的最小值为____。

思路分析:对椭圆进行三角换元,进而代入所求式子,再利用放缩法进行化简,最后通过辅助角公式结合三角函数的性质得到答案。

例4已知椭圆C的焦点分别为F1、F2,|F1F2|=2,若椭圆C上存在点M,使得∠F1MF2=90°,则椭圆C短轴长的最大值是_____。

思路分析:设椭圆C的焦点在x轴上,可得出椭圆C:与圆x2+y2=1有公共点,联立两者方程,可得出关于b2的不等式,解出b的取值范围即可。

解析:不妨设椭圆C的焦点在x轴上,则c=1,a2=b2+1,椭圆C的标准方程为

以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,联立可得y2=b4。所以b4=y2=1-x2≤1。

又b>0,可得0

因此,椭圆C短轴长的最大值是2。

例6已知椭圆C的左焦点为F,点M在椭圆C上,点N在圆E:(x-2)2+y2=1 上,则|MF|+|MN|的最小值为( )。

A.4 B.5 C.7 D.8

思路分析:根据椭圆的定义把求|MF|+|MN|的最小值转化为求|ME|-|MN|的最大值,再利用三角形的两边之差小于第三边即可求得。

解析:易知圆心E为椭圆的右焦点,且a=3

由椭圆的定义知|MF|+|ME|=2a=6,所以|MF|=6-|ME|。

因此,|MF|+|MN|=6-|ME|+|MN|=6-(|ME|-|MN|)。

要求|MF|+|MN|的最小值,只需求|ME|-|MN|的最大值。显然,当M,N,E三点共线时,|ME|-|MN|取最大值,且最大值为1。

所以|MF|+|MN|的最小值为6-1=5。选B。

综上,关注椭圆最值的考查方向,有利于我们掌握相关常见题型及其解题策略,能够有效提升学习备考的针对性、有效性,提高对相关数学知识、思想方法、综合运用能力,能够理性思考,从而合理选择解题方法。