高考真题引领教学，提升数学关键能力

卢伟山

新高考注重考查学生关键能力和学科核心素养等多重功能，笔者研读近年真题时，发现对函数最值的考查频率非常之高，函数最值问题需要學生较好掌握三角函数、二次函数，导函数，基本不等式等知识，而且需要一定的数学思维，能够全面考查学生关键能力。

一、指向数学关键能力提升的函数最值高考真题赏析

1.利用导函数求函数最值问题

利用导数求最值的问题在这近年高考试题中开始慢慢的渗透到其他知识考点的考查中。

例1.已知函数f（x）=2sinx+ sin2x，则f（x）的最小值是          ．

例2.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p（0

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0.

例1和例2分别是2018年全国卷I的填空题第16题和第20题概率题，这是两道极具创新的试题，学生熟悉又陌生。学生会主观上会认为这是考查三角函数，从而选择利用三角函数的方法来求最值（辅助角公式化成单一三角函数），其实不然，注意例1的函数解析式并非同角的两个三角函数的形式。因此，学生在尝试后会发现思路受阻，无法解答。例2则是将二项分布的概率和函数最值相结合，意料之外，情理之中，概率解析式是学生比较熟悉的，但这类“函数”的最值求法却是“新颖”的。

若解析式中的三角函数不是同角的两个三角函数的形式时，考虑到函数的连续性，就可以尝试利用利用导数求最值的方法。例2中的函数f（p）=p2（1-p）18，将P视为自变量，函数的解析式可以看作是自变量P的高阶函数，然后利用求导来求最值，在高中阶段，对自变量的高阶函数最值问题，最有效的方法就是通过求导求最值。2017年全国卷I填空题第16题也以属于此类题型，此类题型属于对连续型函数的通过求导求最值。此外，非连续型的函数（如数列）也可以通过导函数求最值。

2.利用基本函数的有界性求最值问题

高考试题中常见利用三角函数和二次函数的有界性来求函数最值。

（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

例7考查三角形周长最大值的问题，在余弦定理构造的等式中，应用基本不等式构造不等关系求得最值，例8是高考解题几何中常考这类求最值的题型，基本思路是通过计算，最后转成基本不等式求最值。选择填空题也常见到利用基本不等式求最值。

基本不等式的本质是揭示常量与变量之间的关系，利用基本不等求最值的第一个类型就是求几个正数和的最小值，关键在于构造条件，通过添加常数、拆项等方式使其积为常量；当积是常量时，就可以求变量的和的最值；第二个类型求几个正数积的最大值，一般通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的因式）、平方等方式构造条件使其和为常数，当其和是常量时，就可以求变量的积的最值。利用基本不等式求最值时需要特别注意：一正、二定、三相等的原则，考题常从这三个角度设置考点。

二、基于函数最值问题的数学关键能力提升的教学建议

教学中，像本文所探讨的函数最值问题的几种解法都需要在平时教学中着重讲解的求解方法，我们教学要帮学生夯实几种最值解法的解题思路，解题步骤，应用场景等。另外，我们还需要重视教会学生牢牢掌握、理解好数学知识的本质、模型的本质。

从近五年的函数最值问题的高考真题来看，并不考查的单一知识点，往往都多个知识点的交汇，综合性较强。我们教学中需要重视知识的整体性和关联性，厘清各个知识点的要素，以及要素之间的关联性。只有这样，学生才能够在复杂的题目中寻找到解决方法。

此外，高考题逐渐淡化特殊解题技巧，越来越重视通性通法的考查。在教学中我们也应该更多注重解决相关问题的通性通法，尽量探索问题解决最本质、最基本的方法。当学生掌握好通性通法后，就有可以进一步提升、拓展的空间，提升数学的关键能力。

【注：本文系广州市天河区教育科学“十四五”规划2021年度小课题（2021X011）的研究成果】

责任编辑 韦英哲