借助表格，辅助数学概念教学

于春梅

［摘  要］ 文章以“三角函数”的概念教学为例，具体从“表格导入，发现问题；表格类比，探究问题；表格抽象，获得概念；表格练习，辨析概念；表格追问，应用概念”等方面谈谈如何巧用表格，优化数学概念教学.

［关键词］ 概念；表格；教学

表格是理科教学的重要辅助工具之一，具有简洁明快、条理清晰、对比鲜明、一目了然等特点，其应用较为广泛，如數据分析、工程造价、分类管理与生产管理等领域都有涉及. 概念是数学的基本组成部分，是对数学现象的高度概括，具有一定的抽象性与枯燥性［1］. 实践证明，巧妙地将表格融合到概念教学中，能让学生通过比较，更好地提炼出概念的内涵.

教学简录

1. 表格导入，发现问题

课堂导入是一节课的起点，对一堂课的情感基调起着决定性的作用. 表格导入法，充满着“数学味”，既简洁明了，又容易吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，为发现问题、提出问题奠定基础. 本节课，笔者选择开门见山的导入方式，要求学生按照以下步骤进行操作：

（1）在草稿纸上画一个∠A=30°；

（2）在∠A的一条边上任意取点B，向另一边作BC⊥AC，C为垂足；

（3）分别测量线段AB，BC的长度（精确到mm）；

师：通过对表格的观察，我们发现哪个量在不断地变化，哪个量却没有发生变化？由此你们能获得什么结论？

师：很好！我们一起来观察，AB，BC之间是否存在一定的联系呢？

生2：确实有联系，点C的位置取决于点B的位置.

师：由此，大家觉得我们可以探讨什么问题呢？

师：非常好！这是两个值得分析的问题，接下来我们就一起来探究这两个问题.

的位置变化而变化，学生自然地发现并提出接下来需要研究的问题.

2. 表格类比，探究问题

师：把表1中的四组数呈现在同一个图形中，大家一起来分析一下它们的比值相等的原因是什么.

生5：比值相等的主要原因是∠A的角度没有发生变化.

师：这仅仅是个猜想，能否验证呢？

生5：可以取一个不同的角，从反面来尝试验证，比如取一个45°的角.

师：现在我们就沿着生5提出的验证思路来探究，大家先画一个∠A=45°，然后按照之前的步骤进行测量、计算、填表（见表2）.

生6：是定值，因为∠A=45°这个条件没有发生变化.

师：通过两张表格数据的对比，大家有什么发现？据此有什么想法？

师：那我们就一起再来探讨其他度数的角，看比值是否会发生改变. 现在我们假设∠A=50°，请大家按照之前的探索步骤，完成表3.

生8：当角的度数为50°时，比值

3. 表格抽象，获得概念

生9：不一样. 因为角的度数不同，所以比值也不同.

师：不同的数值能说明什么问题？

师：这个说法是否正确呢？现在我们一起来探讨这个问题.

教师将各组填写好的表格进行投影，并要求学生对比各组的表格，说说自己的发现.

生11：每组呈现的表格中填写的比值都是一样的，但不同组之间的比值不同.

师：这是为什么呢？

生12：因为每个组所取的角的度数不一样，因此呈现出来的比值也各不相同.

师：非常好！通过表格的类比，你们有什么收获？

师：这里面存在哪些变量？变量之间是什么关系？

设计意图  由特殊到一般的表格汇总，让学生通过对各组所填写的表格内容的对比，获得相应的结论，使得函数形式的概念自然生成. 表格的“可视性”，让学生亲历了函数概念发生与发展的过程，为后继更多类型的三角函数的学习积累了研究经验，也为学习能力的提升奠定了基础.

4. 表格练习，辨析概念

练习：∠A为一个已知的角，若过∠A一条边上的点B作垂线，请判断以下各种操作方法的正确性，并改正错误结论. （见表5）

生16：我认为第一、三列的两张图的表达与题意相符，其他两张图是错误的.

师：哦？说说你这么判断的理由是什么呢？

生16：我就是目测图形而得到的结论.

生17：我认为第一、四列的两张图与题意相符，其他两张图表达得不正确. 刚刚这位同学是从图的模样进行的判断，这种方法不够严谨，比如将第四列的图调转位置，则与第一列的图一样. 因此，本题应从分子与分母的角度进行判别，即分别从对应三角形的直角边与斜边进行考虑.

师：那么正弦函数sinA是不是可以确定为对应直角三角形直角边比斜边的值呢？

生18：这么表达还不够严谨，应该说是∠A所对应的直角三角形中，∠A的对边长与斜边长的比值.

师：为什么要这么明确地表示呢？

是否也是确定的呢？

生20：对于直角三角形来说，三条边的比还存在其他两对，通过填表可以发现其他两对边的比值也是确定的，可通过相似三角形的比例关系而得. （边说边填写表格，见表6）

师：如表格所示，直角三角形中的其他两个比，分别定义为∠A的余弦与正切.

5. 表格追问，应用概念

练习：已知在Rt△ABC中，∠C为直角，CD为斜边AB上的高，若AB=5，AC=3，则∠A的三角函数值是多少？

由学生审题、分析，教师顺势将学生的答案填入表格.

生21：根据勾股定理，已知AB=5，AC=3，则可确定BC=4，此时可明确∠A的三角函数值.

生22：生21是利用Rt△ABC来获得的结论，其实用Rt△ACD也可以获得答案，即先求出BC的值为4，再获得CD的值，而后分别获得AD，BD的值.

师：具体过程是怎样的？

师：说说这么解的理由是什么.

生23：这么解的关键在于∠A=∠DCB.

师：通过对表7的观察，大家有什么发现？

生24：从表格来看，从三个不同的直角三角形中计算∠A的三角函数值，结论都一样，由此基本可以确定三角函数和角的大小有着直接关系，与其所在的三角形并没有什么联系. 也就是说，同一角度的三角函数值是相等的.

设计意图  追问的应用，促使学生从不同的直角三角形中计算∠A的三角函数值，教师将每一种解题方法都罗列在表格中，让学生能一目了然地发现其中所存在的内在联系，从而真切感知到一个角的三角函数值和该角的边的长短与位置都无关，唯与角的大小有一定联系. 构造的一些直角三角形纯粹是为了方便计算，由此让学生从真正意义上理解“相同大小的角，在不同的三角形中所对应的三角函数值是不变的”.

教学思考

1. 表格能辅助概念教学

概念学习有“形成学习”与“同化学习”两类方式，形成学习是指从丰富、典型的实例中找出共性内容，从而抽象出这类事物的本质属性；同化学习是在学习者原有认知结构的基础上，揭示新授概念与原有知识的共同特征，将新知纳入原有认知中，抽象出新的概念［2］.

这两种学习方式都离不开问题的引领，学生在问题中经历观察、归纳、辨析与抽象的过程，建构新知. 表格作为一种特殊的表达形式，能有效地激发学生的直观想象力，让学生的思维变得更具条理性、层次性，从而更好地整合信息，促进学生发现数量关系间的规律，为抽象概念奠定基础.

本节课教学，教师正是通过表格的方式引领学生自主发现问题、提出问题并分析问题，随着典型实例的呈现，有效地促进学生获得从特殊到一般的数学思想，尤其是表格式的练习形式，有效地帮助学生完善对三角函数概念的认识，使学生获得辨析概念的能力，而后的追问，则让概念自然而然地生成.

2. 关注表格的可视化作用

对于初中生而言，他们的思维处于直观形象与抽象逻辑的交界点，可视化的表格，能快速促进学生的直观想象力的发展，为抽象逻辑思维的形成奠定基础［3］. 表格的可视化特征，能将知识毫无遮挡地呈现在学生面前，是学生发现与提出问题的依據，同时，表格的整理与归纳，也是促进学生对概念本质认识的主要途径之一. 因此，关注表格的可视化作用，不仅能提高教学效率，还能有效发展学生的数学核心素养.

总之，表格直观、简洁、清晰的特点，能集中体现一定角度的信息，对概念学习时的信息类比、总结与归纳等，都具有直接影响. 作为一线数学教师，应结合学情与教学内容的特征，应用好表格，让表格最大限度地辅助数学教学.

参考文献：

［1］章建跃. 如何帮助学生建立完整的函数概念［J］. 数学通报，2020，59（09）：1-8.

［2］邵光华，章建跃. 数学概念的分类、特征及其教学探讨［J］. 课程·教材·教法，2009，29（07）：47-51.

［3］约翰·杜威. 我们怎样思维·经验与教育［M］. 姜文闵，译. 北京：人民教育出版社，2005.