哲学视域下高中数学与课程思政的融合

江苏省江阴市青阳中学(214400)夏俊

近年来,“课程思政”成为教育者研究的重点内容,各科教师更是努力将课程思政融入各学科.高中数学是整个高中比较抽象的一门学科,学生学起来比较吃力.经过作者多年的实践,将马克思主义哲学与高中数学结合不仅提升学生的数学核心素养,而且还有育人价值的作用.马克思主义哲学虽然产生于19 世纪,但他依然具有强大的现实生命力,依然闪耀着光辉灿烂的真理光芒,散发出永恒的思想魅力.

马克思主义哲学内容较为丰富,本文重点从唯物辩证法(联系观、发展观、矛盾观)以及认识论将哲学与高中数学有机结合.

1 马克思主义哲学与高中数学的结合

1.1 联系观与高中数学的结合

(1)联系的普遍性原理

联系具有普遍性,但并不意味着任何两个事物之间都存在联系,因为任何两个事物的联系是具体的,有条件的.只有在一定条件下两个事物之间才能建立联系.

例1若曲线y= (x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是____.

解∵y= (x+a)ex,∴y′= (x+ 1 +a)ex,设切点为(x0,y0), 则y0= (x0+a)ex0, 切线方程为:y- (x0+a)ex0= (x0+1+a)ex0(x-x0), ∵切线过原点, ∴ -(x0+a)ex0= (x0+1+a)ex0(-x0), 整理得:, ∵切线有两条, ∴Δ =a2+ 4a＞0,解得a＜-4 或a＞0.

本题将切线个数问题转化为方程的解的问题,正是联系的普遍性.用联系的普遍性原理来解题,可以找到问题切入点.

(2)整体与部分的辩证关系

整体与部分相互联系,密不可分.整体是由部分构成的,离开了部分,整体就不复存在.部分的功能及其变化会影响整体的功能.部分是整体中的部分,离开了整体,部分就不成其为部分.整体的功能、状态及其变化也会影响部分.

例2已知在三棱锥P-ABC中,PA=4,,PB=PC=3,PA⊥平面PBC,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是( ).

A.43πB.42πC.48πD.46π

解在ΔPBC中, 由余弦定理得:, ∴ ΔBPC外接圆半径,又PA⊥平面PBC,∴三棱锥P-ABC的外接球半径,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积

本题直接研究三棱锥(整体)很难找到突破口, 不妨降维先研究三角形PBC(部分), 找到外心.过外心做平面PBC的垂线,在垂线找到一点,使得它到P点和A点的距离相等.

图1

(3)抽象与具体的辩证关系

抽象指客观对象中存在着的诸如对象具有的某种性质、与其他对象具有的某种关系等抽象的东西.具体指具体的事物,具体的东西.

例3已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则( )

C.f(2)=0 D.f(4)=0

本题中给出的是抽象函数,不好研究.不妨找一个具体函数,更有利于帮助学生解题,发现问题根源.

1.2 矛盾观与高中数学的结合

(1)矛盾的同一性和斗争性的辩证关系

矛盾的同一性不能脱离斗争性而存在,矛盾双方的同一是对立中的同一,是包含着差别的同一;矛盾的斗争性也不能脱离同一性而存在,斗争性寓于同一性之中,并为同一性所制约.矛盾双方的对立统一推动事物运动、变化和发展,矛盾是事物发展的源泉和动力.

例4平行四边形ABCD中,AB= 2,AD= 1,, 点M在边CD上, 则的最大值为( ).

解∵平行四边形ABCD中,AB= 2,AD= 1,,点M在边CD上,∴,∴,又A∈(0°,180°),∴A=120°.

以A为原点, 以AB所在的直线为x轴, 以AB的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, ∴,则的最大值是2.故选: A.

图2

一个点对应着一个坐标,点是几何元素,坐标是代数元素.点和坐标是相互依存的.

(2)矛盾的普遍性和特殊性辩证关系

矛盾的普遍性和特殊性是共性和个性、绝对和相对的关系.是关于事物矛盾问题的精髓.普遍性寓于特殊性之中,并通过特殊性表现出来,没有特殊性就没有普遍性;特殊性离不开普遍性,特殊性包含普遍性.

相互转化: 矛盾的普通性和特殊性在一定条件下可以相互转化.

例5设椭圆的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0),设O为坐标原点.证明: ∠OMA=∠OMB.

解当l与x轴重合时, ∠OMA= ∠OMB= 0°.当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线, 所以∠OMA= ∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时, 设l的方程为y=k(x- 1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则, 直线MA,MB的斜率之和为.由y1=kx1-k,y2=kx2-k得.将y=k(x-1)代入得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.所以.则从而kMA+kMB= 0, 故MA,MB的倾斜角互补, 所以∠OMA=∠OMB.

综上,∠OMA=∠OMB.

当l与x轴重合以及l与x轴垂直时,这是特殊性.当l与x轴不重合也不垂直时,这是普遍性.

(3)主要矛盾与次要矛盾辩证关系

主要矛盾在事物发展过程中处于支配地位,对事物发展起决定作用的矛盾.次要矛盾处于从属地位,对事物发展不起决定作用的矛盾.因此,既要善于抓重点,集中力量解决主要矛盾;又要学会统筹兼顾,恰当处理好次要矛盾.

例6天和核心舱是我国目前研制的最大航天器, 同时也是我国空间站的重要组成部分.2021 年6 月17 日,神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱.这是中国人首次进入自己的空间站,这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的台阶.为了能顺利的完成航天任务,挑选航天员的要求非常严格.经过统计,在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标ξ服从正态分布N(90,100),航天员在此项指标中的要求为ξ≥110.某学校共有1000 名学生,为了宣传这一航天盛事,特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查,对于符合要求的学生再进行4 个环节选拔,且仅在通过一个环节后,才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为,且相互独立.

(Ⅰ)设学生甲通过筛查后在后续的4 个环节中参与的环节数量为X,请计算X的分布列;

(Ⅱ)请估计符合该项指标的学生人数(结果取整数).以该人数为参加航天员选拔活动的名额,请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值.

参考数值:P(µ-σ＜X＜µ+σ)=0.6827,P(µ-2σ＜X＜µ+2σ)=0.9545,P(µ-3σ＜X＜µ+3σ)=0.9973.

解(Ⅰ) 易知学生甲参与的环节数量X的所有可能取值为1, 2, 3, 4,所以X的分布列为

X 1 2 3 4 P 2 3 2 9 2 27 1 27

(Ⅱ) 因为ξ服从正态分布N(90,100), 所以.设1000 名学生中该项指标合格的学生人数为Z, 则Z～B(1000,0.02275), 所以E(Z) = 1000×0.02275 = 22.75≈23,所以估计符合该项指标的学生人数约有23 人, 且每位同学通过选拔的概率,则通过学校选拔的人数,故.

本题的第一问并不是涉及到题干中所有的信息,只是涉及到部分信息.在解决第一问过程中,要善于找到问题的主要信息,妥善处理好次要信息.

1.3 发展观与高中数学的结合

(1)量变达到一定程度必然引起质变

事物的发展总是先从量变开始的,量变是质变的必要准备.量变达到一定程度必然引起质变,质变是量变的必然结果.

随着n的增大,趋向于某个数,将变量转化为定量.

(2)否定之否定

任何事物都要经历肯定、否定,再到否定之否定的辩证发展过程.辩证否定的实质是扬弃,自己否定自己,自己发展自己.

例8从2 位女生,4 位男生中选3 人参加科技比赛,且至少有1 位女生入选,则不同的选法共有____种.(用数字填写答案)

解

本题正难则反,正向思维解决本题较为复杂,不妨考虑逆向思维.

1.4 认识论与高中数学的结合

(1)感性认识与理性认识

感性认识是认识的初级阶段,理性认识是认识的高级阶段.感性认识有待于发展、深化为理性认识,理性认识依赖于感性认识.二者相互渗透、相互包含,具有辩证统一关系.

例9有6 个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1 个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )

A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立

解,P(甲丙) = 0P(甲)P(丙) ,,P(丙丁)=0P(丁)P(丙),故选: B.

学生解本题过程中,往往忽视了相互独立的概念,凭感觉直接判断,很容易选错.这反映学生基础不扎实,需要对公式深入理解.

(2)实践是检验认识的真理性的唯一标准

通过实践,人们可以把自己头脑中的观念的存在变为现实的存在.在这一过程中,人们把指导自己实践的认识和实践所产生的结果加以对照,从而检验认识是否正确地反映了客观事物.

例10在ΔABC中,角A,B,C所对的边长为a,b,c,b=a+1,c=a+2.是否存在正整数a,使得ΔABC为钝角三角形? 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

解显然c＞b＞a, 若ΔABC为钝角三角形,则C为钝角, 由余弦定理可得, 解得-1 ＜a＜3,则0 ＜a＜3,由三角形三边关系可得a+a+1＞a+2,可得a＞1,∵a∈Z,故a=2.

本题属于探索性题型,问题中的存在与不存在,无法直接给出答案.唯有通过自己的实践,才能给出最终的结果.

(3)真理是客观的

由于人们的立场、观点和方法不同,每个人的知识结构、认识能力和认识水平不同(认识多样性),对同一个确定的对象会产生多种不同的认识,但是,在同一条件下人们对同一对象的真理性认识只有一个而不可能有多个(真理唯一性).真理面前人人平等.

例11ΔABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=(2a-c)cosB.

(Ⅰ)求B;

(Ⅱ) 若BC= 6,AC边上的中线BD的长为7, 求ΔABC的面积.

解(Ⅰ) 根据正弦定理, 由bcosC= (2a-c)cosB, 可得sinBcosC=(2 sinA-sinC)cosB,整理得sinBcosC+cosBsinC=2 sinAcosB,所以sin(B+C)=2 sinAcosB,即sinA= 2 sinAcosB.因为sinA0,∴.因为B∈(0,π),所以.

(Ⅱ)解法一: 如图3,延长BD至点E, 使得DE=BD, 连接AE,CE.因为D为AC的中点, 所以四边形ABCE为平行四边形, 所以,BE= 14.在ΔBCE中,根据余弦定理,得,即,即CE2+6CE-160=0,解得CE=10(负值舍去) , 所以AB=CE= 10.所以ΔABC的面积.

图3

解法二: 因为BD是AC边上的中线, 所以, 所以, 即.所以, 即, 解得(负值舍去) , 即AB= 10.所以ΔABC的面积

解法三: 设AB=x,CD=DA=y.在ΔABC中,根据余弦定理,可得,即

在ΔBCD中, 根据余弦定理可得,, 在ΔABD中,同理可得,.因为∠BDC+ ∠BDA=π, 所以cos ∠BDC= -cos ∠BDA, 所以y2+ 13 =-(y2-x2+49),即

由①②可得x2+6x-160 = 0, 所以x= 10(负值舍去) ,即AB= 10.所以ΔABC的面积.

一题多解解题过程是不同的,但是结果是唯一的,正是真理客观性的表现.

2 结语

哲学视域下,高中数学的研究任重而道远,值得广大师生深入研究.教师作为引导者,应当将哲学与高中数学结合.

首先，教师加强研究.哲学是一门热爱智慧、追求智慧的学问.哲学对于高中数学教师是陌生的,所以大部分教师不会想到将哲学和高中数学结合.但是教师要想挖掘哲学中的思政元素,就必须学习哲学理论并加以应用.教师们可以先研究哲学的理论内容,然后有意识的将哲学的知识应用到高中数学上来,通过不断的实践,一定会收获颇多.

其次，创设合理的问题情境.《中国高考评价体系》中指出情境是试题的载体,情境有利于发展学生的数学核心素养.教师引入哲学的思政元素,必须想办法找出恰当的题目,寻求数学知识与哲学的最佳切入点.通过引入情境,让学生发挥核心价值的引领作用,学会用必备知识和关键能力去解决问题,全面发展学科素养.