双减促提质作业落素养——以“尺规作图”作业设计为例

浙江省杭州云谷学校(310000)张东东

1 作业设计的背景

2021 年7 月,中共中央、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》(以下简称《意见》),明确要求“减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担”.在这样的背景下,学校成为“双减”政策顺利落地的重要一环,一线学科教师需要根据本校学生的特点,制定符合个体发展的作业,通过提高作业质量来渗透数学核心素养.

《意见》中指出:“明确作业总量,初中书面作业平均完成时间不超过90 分钟;提高作业设计质量,发挥作业诊断、巩固、学情分析等功能,系统设计符合年龄特点和学习规律、体现素质教育导向的基础性作业,鼓励布置分层、弹性和个性化作业,坚决克服机械、无效作业,杜绝重复性、惩罚性作业”.

2 作业设计的类型与形式

喻平教授认为数学作业可以划分为三种形式和四种类型,并设计了数学作业类型与形式的二维结构框架[1].将这个二维结构框架进行编码, 如表1, 这个结构框架能够清晰的反映数学作业的三种形式包括阅读作业(M1)、习题作业(M2)、写作作业(M3), 四种类型包括基础类(T1)、综合类(T2)、探究类(T3)、实践类(T4).

表1 数学作业类型与形式的二维结构

3 基于核心素养的作业水平划分

《义务教育数学课程标准(2022 年版)》中的核心素养表现为小学9 个,初中7 个[2];《普通高中数学课程标准(2017年版2020 年修订)》(以下简称《标准》)中核心素养表现为6个[3],史宁中校长将中小学核心素养归为数学眼光,数学思维与数学语言,如表2.从小学到高中,表2 能够清晰看出核心素养表述的变化,不同阶段对学生素养的要求是不同的,但又是一脉相承的.

表2 中小学数学核心素养

《标准》对高中数学核心素养划分了三级水平,为了体现中小学数学核心素养的一致性与层次性,现将初中数学核心素养划分为三级水平,如表3 为初中数学核心素养对应的水平的描述.

表3 初中数学核心素养对应的水平描述

4 作业设计的目标解析

笔者以浙教版《义务教育教科书·数学》八上“1.6 尺规作图”的作业设计为例,将数学作业的类型与形式,初中数学核心素养等内容落实到具体课时.表4 是课时作业的目标解析,对本节课的课时目标进行编码为O1、O2、O3;由于部分题目同时考察多个目标[4].

表4 课时作业的目标解析

5 课时作业设计的内容

1.下列作图语言中,正确的是( )

A.过点P作直线AB的垂直平分线

B.延长射线OA到B点

C.延长线段AB到C,使AB=BC

D.过∠AOB内一点P,作∠AOB的平分线

2.根据下列条件,能作出唯一的ΔABC的是( )

A.AB=4,BC=7,AC=2

B.∠A=35°,AC=4,BC=3

C.∠A=90°,BC=5

D.∠B=35.5°,∠C=42°,AB=4

3.如图,用尺规作图作∠AOC= ∠AOB的第一步是以点O为圆心,以任意长为半径画弧①,分别交OA、OB于点E、F,那么第二步的作图痕迹②的作法是( )

A.以点F为圆心,OE长为半径画弧

B.以点F为圆心,EF长为半径画弧

C.以点E为圆心,OE长为半径画弧

D.以点E为圆心,EF长为半径画弧

(第3 题)

(第5 题)

4.如图,已知ΔABC,AB＜BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项中,正确的是( )

5.给出下列关于三角形的条件: ①已知三边; ②已知两边及其夹角; ③已知两角及其夹边; ④已知两边及其中一边的对角.利用尺规作图,能作出唯一的三角形的条件是____.

6.如图,在ΔABC中,∠C= 90°,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径作弧,两弧分别交于M,N两点,过M,N两点的直线交AC于点E,交AB于点D.若AC=6,BE=4,则CE的长为____.

7.如图,是一块破损的三角形模具的一部分.

(1)只要从残留的模具片中度量出哪些边、角,就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC形状和大小完全相同的模具A′B′C′? 请简要说明理由.

(2)作出模具ΔA′B′C′的图形(要求: 尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明).

(第7 题)

(第8 题)

8.如图所示,已知∠AOB及点M,N,求作一点P,使点P到∠AOB两边的距离相等,且PM=PN,不必写出作法.

※9(选做)阅读作业: 尺规作图的简史.

中国古代“规”就是圆规,是用来画圆的工具,在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像木工使用的角尺,由长短两尺相交成直角而成,两者间用木杠连接以使其牢固,其中短尺叫勾,长尺叫股.

《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳,右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水,……望山川之形,定高下之势,……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水,要先测量地势的高低,就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.

古希腊由于《几何原本》的巨大影响,希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题: 立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.1637 年笛卡尔创立了解析几何,关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837 年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882 年林德曼证明了π 是超越数,化圆为方问题不可能用尺规作图解决,这才结束了历时两千年的数学难题公案.

6 作业设计的实施结果

根据学生完成作业的情况绘制成表5,表中可以看出第1-8 题的形式是M2,第9 题(选做)的形式是M1;第1、2、3、5、9 的题目类型是T1,第4、6、7、8 的题目类型是T2;第1 题考察了空间观念,第2 至8 题考察了几何直观.

表5 课时作业实施结果

第1 题的目标为O1,考察了空间观念,达成水平一的要求,学生作业用时较少,正确率是0.975,说明学生对基础知识的记忆与巩固情况比价扎实;第3、4、6、8 题的目标为O2,考察了几何直观, 达成水平二的要求, 4 个问题的层次性明显,用时也有了明显的差异,但都能达到0.75,符合预期;第2、5、7 题的目标为O3,考察了几何直观,从符号语言的特例到文字语言的一般化,再到动手画出图形,不同的考察形式,可以了解学生掌握知识的情况,从正确率的角度看,几个问题略有差异但都符合预期.第9 题的形式为M1,目标为O1,是针对能力较强学生的一项有关数学文化的阅读作业,从中国的简史中可以让学生了解到中国古代数学的发展,让学生感受到在不同时间、不同空间尺规作图的演变,从而激发学生学习数学兴趣.

本节课第1-8 题的平均用时约为17 分钟,阅读(选做)作业约1 分钟,共约18 分钟,符合“双减”要求,作业设计围绕着教学目标有效进行,基础知识训练到位,数学核心素养能够有效落实,符合学生的学习规律,通过作业能够培养学生良好的思维习惯,发挥作业诊断、诊断、学情分析等功能.