拦截机动目标的多约束下协同制导律

吴盘龙，王 勇，钟 俊，何雨飞

（1.南京理工大学自动化学院，南京 210094；2.南京理工大学钱学森学院，南京 210094）

多导弹协同作战将成为未来战场中的重要作战模式之一，多导弹之间借助通信系统实现对目标的协同感知与探测，通过协同制导提高导弹突防能力，利用饱和攻击提高毁伤效果，从而提高导弹的整体作战效能。因此，开展多导弹协同制导方法的研究对提高目标打击能力和提升实际作战水平具有重要意义。协同制导技术在实际战争中有着诸多运用，例如苏联的SS-N-19 导弹，采用数枚间隔发射的方式，一枚引领弹在高轨道飞行以捕获目标，其余在低轨道跟随，在巡航过程中，导弹共享目标机动信息，若引领弹被摧毁，跟随弹跟进成为引领弹，直至打击完成；美国的XM501 巡飞弹，采用无人飞行器集群组网技术，网络化协同作战，实现导弹或无人机之间的实时信息共享，增强了对战场的综合态势感知能力和火力反应速度。在实际作战中，往往采用比例导引制导律，根据弹目之间的视线角速率进行制导，呈追尾攻击态势，通常命中目标的后方，无法从侧方对目标关键部位进行打击。为了最大限度的发挥各枚导弹的作战效能并提高毁伤效果，各枚导弹以期望的不同落角同时命中目标，从而毁伤目标的关键部位，对目标形成毁灭性打击。基于此，本文研究综合落角约束、视场角约束以及脱靶量的协同制导律，使多导弹以不同的落角同时命中目标的不同关键部位，达到使整体作战效率最大化的目的。

对于落角约束的制导律，当前已有较多研究成果，文献[1-2]在视线方向运用多智能体协同控制理论使多枚导弹的剩余飞行时间趋于一致，在视线法向运用有限时间滑模控制理论使导弹击中目标的同时满足落角约束；文献[3]采用非奇异快速终端滑模方法，设计了带有落角约束的自适应滑模制导律；文献[4]提出了一种基于扩张状态观测器的四阶积分滑模控制方法，结合自适应改进的超扭矩算法，设计了带有落角约束的滑模制导律。

对于视场角约束的制导律，文献[5]基于非线性模型并推导了终端滑模控制器，设计了指定命中时间的视场角约束制导律；文献[6]基于三维比例导引律，考虑偏航和俯仰平面的耦合，利用滑模控制理论设计了带视场角约束偏置项的制导律。

对于时间协同制导律，通常分为两类，第一类是指定攻击时间，离线设计制导律，并将其应用至每一枚导弹，各导弹之间不需要互相通信[7,8]；第二类是基于比例导引推导出制导律，估计各枚导弹剩余飞行时间，利用导弹之间的互相通信，根据不同导弹剩余飞行时间的误差在线修改比例导引系数，从而使攻击时间趋于一致[9]。

目前综合考虑落角约束、视场角约束和时间协同等约束条件的制导律设计方法较少，且多数为二维情况。文献[10]选取积分障碍Lyapunov 函数，设计了具有视场限制的落角约束制导律，并在剩余飞行时间估计的基础上设计了时间协同制导律，使得多枚导弹按期望姿态同时命中目标；文献[11]基于Lyapunov 方法设计了三维落角约束制导律，并在已有制导律的基础上附加一扩展比例导引项以满足时间协同约束条件，同时增加一可控开关修正项以保证始终满足视场角约束条件。

本文提出了一个拦截机动目标的多约束下三维多弹协同制导律。首先分别在偏航平面和俯仰平面推导了基于二次型最优控制理论的落角约束指令，使导弹按期望落角以尽可能小的脱靶量命中目标；然后设计基于可控开关反向原加速度指令方法的视场角修正指令，确保目标不会超出导弹视场；最后利用多弹分布式通信设计时变导引系数，在线调整各导弹剩余飞行时间以达到协同打击的目的；仿真实验验证本文所设计的制导律在弹间分布式通信的场景下能够实现对机动目标的多约束协同打击，可以在一定程度上降低对弹间通信的要求；时变导引系数采用饱和函数有效避免了机动抖振现象。

1 三维制导模型

1.1 弹目相对运动方程

在推导弹目相对运动方程前，先做出如下假设：(1)导弹与目标均可视为质点。(2)导弹与目标速度大小为恒定值，加速度矢量与速度垂直，仅改变速度方向。(3)忽略导弹的动态特性。

其中，OXYZ为惯性坐标系，OX L YL ZL为视线坐标系，OX M YM ZM和OX T YT ZT分别为导弹和目标的弹体坐标系，V m和Vt分别为导弹与目标的速度，r为导弹与目标的距离，ϕl和θl分别为弹目视线(LOS)的方位角和俯仰角，ϕm和θm分别为导弹速度矢量相对于弹目视线的方位角和俯仰角，ϕ t和θt分别为目标速度矢量相对于弹目视线的方位角和俯仰角，aym和azm分别为导弹在偏航平面和俯仰平面的加速度矢量，ayt和azt分别为目标在偏航平面和俯仰平面的加速度矢量。

由图1 可以得到导弹与目标的运动学方程[12]为：

图1 弹目相对运动关系示意图Fig.1 Relative motion between missile and target

1.2 代数图论

定义导弹之间的通信网络为无向图G=(v,ζ,C)，其中v代表所有导弹节点的集合，ζ代表所有节点之间的连线，矩阵C=[cij]∈Rn×n为权系数矩阵，若导弹i与导弹j之间能够进行通信，则cij=1，否则cij=0，特别地，cii=0,i∈{1,2…n}。若G为无向图，有cij=cji。定义图G对应的拉普拉斯矩阵为L，其中矩阵元素为：

导弹之间通信拓扑如图2 所示，当通信无向且连通时，有以下引理成立。

图2 弹间通信拓扑示意图Fig.2 Communication topology between missiles

引理1[13]：对于拉普拉斯矩阵L，0 为一特征值，且所有非零特征值均为正数，所有项为1 的列向量为该矩阵的一个特征向量，记为I。

引理2[14]：对任意的x∈Rn，若 IΤx=0，则有xΤLx≥λ(L)xΤx，其中λ(L)表示矩阵L的非零最小特征值。

引理3[15]：考虑非线性系统x˙=f(x,t),x∈Rn，假设存在一个连续正定、径向无界的函数V(x) 和μ＞ 0，λ＞ 0，0＜α＜ 1，并且满足：

则系统是实际有限时间收敛的。

2 综合落角约束与视场角约束的协同制导律设计

2.1 考虑落角约束和脱靶量的机动指令

考虑在末制导阶段导弹攻角和自身动态特性等因素，θm，ϕm通常为小角，忽略高阶项，可以得出：

其中uz为伪控制量，fz为目标机动所带来的扰动，并且难以获取，通常将其视为干扰量并忽略。根据式(5)可以得出俯仰平面内的状态方程为：

终端约束条件为：

记Tg为剩余飞行时间，有Tg=-r/,则Az与Bz可记为：

选取性能指标函数为：

根据极大值原理，该线性系统二次型性能指标的最优控制[16]为

其中P满足逆黎卡提微分方程：

因为t=tf时r=rf，rf为导弹命中目标的判定距离，则Tg=-(r-r f+r f)/r˙=t f-t+Δtf，有dTg=-dt，解微分方程组(12)得：

又因为Δtf为小量，由式(13)解得：

得到该线性二次型的最优控制输入量为：

根据式(1)，由于目标机动难以获取，且ϕm、θm、ϕt、θt通常为小角，为便于估计导弹剩余飞行时间，故可近似认为r˙=-Vm，得俯仰平面落角约束制导律为：

同理可得偏航平面的落向约束制导律为

2.2 视场角约束修正指令

导弹视场角σ定义为弹体纵轴方向与视线方向的夹角，弹体纵轴方向近似为速度矢量方向，如图3所示，视场角与俯仰平面和偏航平面的速度前置角存在如下关系：

图3 视场角示意图Fig.3 Field of view

受导弹视场角限制，导弹机动过程中可能因视场角超出限制从而丢失目标，设置视场角修正机动指令，当视场角达到一定阈值时开始对视场角进行修正。视场角修正项为：

其中pσ为视场角开始修正的阈值，σmax为导弹视场角最大值，kσ为视场角修正比例常数。

将视线角投影至YLOZL平面，如图4 所示，可得视线方向投影与YL方向的夹角α满足如下关系：

图4 视线角在 YL O ZL平面的投影Fig.4 Τhe projection of LOS in the YL O ZL-plane

将修正指令投影到俯仰平面与偏航平面，可得偏航平面与俯仰平面的视场角修正项分别为：

其中sign()x为符号函数。当导弹俯角过大时，需做上仰机动以修正视场角，仰角以及偏航平面同理。

2.3 落角约束与视场角约束下的协同制导律

为实现多枚导弹对目标协同打击以提高毁伤效果，采用改变比例导引的导引系数来改变导弹飞行轨迹，进而改变导弹剩余飞行时间。

在俯仰平面进行协同制导律的设计，首先假设θm为小角度，俯仰平面的机动可近似视为比例导引项与落角约束项之和，在制导初期，各枚导弹剩余飞行时间误差较大，导弹通过较大的机动调整剩余飞行时间，此时可忽略落角约束项与视场角修正项，得到剩余飞行时间估计[17]为：

由式(16)可令N=4 。参考文献[18]，设计俯仰平面协同制导律式(23)：

为使各导弹剩余飞行时间趋于一致，故基于各导弹剩余飞行时间差平方和构造如下的Lyapunov 函数：

剩余飞行时间的一致性误差可写为：

由于导弹之间的通信拓扑无向且连通，有：

对V求导，得：

则有如下不等式成立：

将式(31)代入式(28)中可得V的导数满足：

由引理3 可知，各导弹剩余飞行时间可以在有限时间内收敛至一致。

注：上述推导以导弹之间无向通信为前提，若导弹通信为有向图，当导弹仅与相邻导弹单向通信时，仍满足式(27)，制导律仍成立，仿真也给出了验证。

综上所述，多约束条件下导弹协同制导律为：

可以看出，本文所设计的制导律可分为三部分，第一部分为比例导引项，使导弹以较小的视线角速率接近目标，以减小命中的脱靶量，其中俯仰机动比例导引项的时变导引系数使得导弹的剩余飞行时间收敛至一致；第二部分为落角约束项，使导弹按期望的落角与落向命中目标，对目标不同关键部位造成毁伤；第三部分为视场角修正项，避免导弹在飞行过程中丢失目标视野。

3 仿真验证

以三枚导弹拦截一个机动目标为例，各导弹以不同的期望落向落角击中目标，仿真初始参数设置如表1所示，三枚导弹之间的通信网络如图2 所示，选择目标以ayt=5gcos(πt/2)的余弦机动情况进行仿真，并以比例导引作为对比，对所设计的制导律进行验证。导弹仿真初始参数为：g=9.81m/s2,σp=62°,σmax=65°,amax=15g,kσ=2amax，无向图中k1=0.6，k2=0.2，有向图中k1=0.55，k2=0.4，通信矩阵为：

表1 仿真初始参数Tab.1 Initial parameters for the simulation

仿真结果如图5-7 所示，脱靶量、制导时间、落角与落向如表2 所示。

表2 脱靶量、制导时间与落角落向Tab.2 Miss distance,interception time,impact direction and angle

图5 本文所设计制导律仿真结果（无向图）Fig.5 Τhe simulation results of the guidance law designed in this paper (undirected graph)

从图5(a)、图6(a)、图7(a)和表2 可以看出，比例导引采取追尾策略，命中目标时落角均为0 °，落向与目标飞行方向几乎一致，只能从目标的后方击中目标，本文所设计的制导律在命中目标时落角、落向与期望值的误差均小于0.23 °，满足落角落向要求，可以保证导弹按期望的落向与落角从不同方位击中目标，以实现较高的毁伤效果。从图5(b)可以看出，时变导引系数可以较好纠正初始剩余飞行时间误差，并以较高的精度收敛。图5(d)和图5(e)是各导弹在偏航和俯仰平面的过载变化曲线。由于跟踪的目标做余弦机动，所以导弹偏航平面过载近似呈余弦变化；为实现对机动目标的协同打击，导弹在俯仰平面做较大机动，使剩余飞行时间趋于一致。图5(f)表明在飞行过程中视场角修正项保证目标始终处于导弹视场内；由表2 可以看出，本文所设计制导律可以实现对目标不同方位的协同打击，脱靶量在0.5 m 以内，弹间通信网络为无向图时攻击时间误差小于0.05 s，为有向图时攻击时间误差小于0.1 s，并有效避免了抖振现象。

图6 本文所设计制导律仿真结果（有向图）Fig.6 Τhe simulation results of the guidance law designed in this paper (directed graph)

图7 比例导引制导律仿真结果Fig.7 Simulation results of proportional guidance law

4 结论

本文针对多约束条件下协同制导问题，基于落角约束的最优控制制导律和在线改变导引系数的分布式协同制导律，设计了综合考虑落角约束、视场角约束、脱靶量以及时间协同等约束条件下的制导律，使得每枚导弹几乎同时从不同的方向按期望的落角命中目标，能够满足战场上多弹协同以达到高毁伤效果的要求。制导律设计分为三个部分：在偏航平面和俯仰平面基于二次型最优控制理论推导了带有落角约束和脱靶量约束的机动指令，使导弹按期望落角命中目标；设计可控开关视场修正项，根据视场角超出修正阈值的程度调整目标机动，确保目标始终处于导弹视场内；在多弹分布式通信的场景下，估计各弹剩余飞行时间，根据剩余飞行时间误差设计时变导引系数，在线调整各导弹剩余飞行时间以达到协同打击的目的；最后针对目标余弦机动进行了仿真验证，仿真表明所设计制导律可使导弹按指定落角同时命中目标，并避免了机动抖振现象出现，具有一定的实际应用价值。本文设计的制导律只考虑了落角约束、脱靶量约束、视场角约束与时间协同，但弹间通信拓扑变化和剩余飞行时间收敛速度较慢的问题仍值得深入研究。