借助天平平衡模型帮助学生发展等号概念的教学分析

顾新辉

(南通师范高等专科学校,江苏 南通 226006)

基金项目：本文系第四期江苏省年度职业教育教学改革研究课题“面向师范生的STEM教育课程开发实践与研究”的研究成果之一(课题编号:ZYB357/2019/03/05)

大多数一年级的学生在数字运算的表现上,经验与掌握程度较为不足.学生对于等号概念的意义理解较为困难,这与等号概念的呈现方式、教材中对等号概念学习课时数及学生认知发展水平有密切关系.所以,教师在进行课程安排时,需建构适切的模型呈现多元的等号概念内涵,以此将抽象的问题具体化,便于学生更好地掌握等号概念.本文以天平平衡模型为例,谈谈天平平衡模型在等号概念学习中的建构、巩固及扩展学生的等号概念的作用.

1 通过操作活动,把抽象的等号概念学习具体化

通常,模式识别并非某个个体的随意猜想,而是采取扫描或者逐项查核才能正确.因此,只能在同时处理许多特征的认知结果下才会发生[1].不同的情境特征可能呈现不同的模式特征,对于一年级学生来说,相似情境更易于对其引起注意,从而辨识出特殊的特征.天平模型的便利之处在于提供给学生一个极为清晰的辨识模式.天平模型是一年级学生掌握等号概念的辨识情境、事件及经验的初始知识.

将天平具体平衡的情境改成“想象”平衡的情境,将动手操作改为思维操作,在脑海中呈现“两边一样”“单边操作”“双边操作”这些问题,发展直观想象以及数学运算这一核心素养[2].在此过程中,教师应指引学生书写符合“反身性”“单边运算”“双边运算”的算式.课上等学生写出正确的算式后,再要求学生结合天平平衡的情境,阐述等式的意义,而后呈现算式,希望能利用实物表征和说明算式的情境.例如7=7,学生要在左边托盘上放上7个积木,右边也应该同样如此,表示两边相等;或7+6=5+8,学生操作天平:左边托盘上有7个积木,右边托盘上有5个积木,左边又放上6个积木,变成13个积木,右边也要有13个积木才会“相等”,所以右边托盘上还要放上8个积木.上述活动内容以“等号”相关的知识加以引导,让学生认识由简单到复杂,通过操作活动激发其学习动机.

具体而言,通过操作活动实现等号概念学习具体化,可通过以下几个阶段实现:第一,告知学生天平平衡可以代表“=”,也可将平衡时的数量操作过程及结果用算式呈现,例如天平两边皆无积木时会呈现平衡,此时可写成0=0;第二,呈现天平,让学生操作,询问学生当两边托盘一样高(平衡)时,代表何种意义?学生明白两边放的积木数量呈现“相等”(反身性,A=A两边为相同的对象);第三,再呈现天平不平衡的现象,询问学生如何让它“平衡”.学生尝试着操作两边托盘的积木数量,以解决问题,了解天平的平衡可表示托盘两边数量“相等”的概念.如,左边托盘有8个积木,右边托盘放5个积木,怎么操作,两边才会平衡?学生将右边托盘再放上3个积木,总共等于8个,也可写成8=5+3.再分别呈现“托盘两边一样”“托盘单边操作”“托盘双边操作”的问题,提供学生思考操作.在此过程中,教师应指引学生书写反应“反身性”“单边运算”“双边运算”的算式表示.等学生写出正确算式后,要求学生结合天平平衡的情境,说明等式的意义.

2 通过启发性引导,促使学生思考具体活动的数学化

在小学阶段,通常一个概念学习主要可划分为:感知→体验→思维→应用这四个阶段,为了解学生对等号概念的掌握程度,活动过程可借助于恰当的问题进行启发.如在感知等号意义的过程中,可提出“从天平两端放置的积木,你看到什么变化?”“左右两边的积木数量有什么不同?”等问题,鼓励学生对问题情境加以观察,从不平衡或变化中,识别相等概念的情境.而在体验等号概念的意义的过程中,则从情境的变化中,要求学生记录,并思考如何将相等的关系呈现.在思维过程中,数学知识便可以从经验中获得,学生需要把既有的知识与能力和特殊情境加以整合.以6+4=7+3 是否正确为例,学生可运用数字合成和分解的模型,通过等号两边数字增减变化的辨识与经验获得答案,亦可通过运算结果验证两边是否相同,而获得等号的意义.在该阶段,可通过启发式询问学生:你会采用何种方式来帮助计算?在应用过程中,则要求学生能够以等号概念的关系实施问题解决,询问学生:你能不能想办法快速算出答案?总之,通过天平平衡四个阶段活动的表现与反应加以分析、探讨,可推论学生在每种等号概念情境学习的状况.

同时,等号概念教学的内涵,还包括为问题情境里的各元素呈现适切的配对关系.思考问题情境里主要的特征或者观察概念周围已经发展的事件,思考的知识促进个体创造现在问题的心智模型.通过现在经验的阐述与表现,可将之前一般情境辨认的经验,转移到知识的思考模式上.例如以数字20的合成为例,学生需同时注意两数字合成后等于20的事实,其中,若有一数字改变,则另一数字也需同时改变,即满足□+▲=20.若学生经引导后能发现此法则,则教师可帮助学生归纳:一组数字逐渐增加时,另一组数字则会逐渐递减的模式变化,同时了解分解与合成过程中的数字相互关系.

3 通过强化等号概念的意义,发展学生的代数思维

对等号概念或运算能力的习得和转化而言,符号化的问题结构表达是最基本的[3],因此必须提供不同情境的经验.学生能掌握等号概念,在于如何运用模型进行建构与推理,如果等号问题情境属于物理状态,那么就需要创造视觉表征,以促进空间思考的模型建构;若等号问题情境属于数字或数量,为了推理,就需要建构一种问题情境的模型.因此,针对等号概念的转化,需将重点集中在“具体表征与抽象数字”和“情境新颖与熟悉的问题”之间明确连结的教学,才能帮助学生从不同的情境中,通过思考、计划与执行等过程整合等号概念的学习.表1呈现的是等号概念教学情境的内容.

表1 不同类型的情境与等号概念学习

一年级学生所学的等号概念包含数字分解、合成能力、以10为主的位值概念,以及运算后获得的数字保留概念.以天平平衡作为载体,结合等号“反身性”“单边运算”“双边运算”概念的教学情境(如5=5,6=4+2,4+2=5+1),配合实物操作和数字关系的辨别、思考、计划与执行等模型知识,展现不同情境下的等号概念.

首先,提供呈现在等号两边运算结果的情境.通过天平平衡情境,熟练等号单边数字的分解与合成能力,在单边运算的情境里,学生通过天平“平衡”的观察,把天平平衡与等号概念进行连结,理解等号可表示“两边相等”的概念.同时教师提供与引导等式记录的方式,让学生理解并呈现问题情境的运算结果,可置于等号的左边或右边.

其次,帮助学生了解等号表示两边对象一样的意义.学生利用运算方式判断算式是否具有相等关系,在数字分解与合成的过程中,若受限于计数技巧不熟练及认知资源不足,那么等号概念的理解将会变得困难.换言之,要对两边运算命题产出正确解答,“等号单边”运算能力是基本的要求,单边运算能力是学生扩展等号概念其它意义的基础,也是帮助学业成绩较低的学生验证双边运算结果的必要能力.运用等号解决问题的能力会受到学生对数字分解与合成能力掌握程度的影响,特别是运用等号对开放式问题的等号算式的解决.因此,在等号概念的教学过程中,不仅要强调概念性的知识,还要配与一定的程序性知识训练,借助模型发展等号的概念和意义,使等号概念更为丰富.

当进入等号反身性教学情境时,因为学生已经具有“等号代表两边对象相等”的认识,教师可通过引导学生思考“两边对象相等”的含义,让学生明白等号是对象本身,也可以是具有相同运算结果的对象.但不论对象是通过运算得到的结果,还是本身的投射,即便是存在“0”的情境出现时,均是等号“反身性”的意义.

最后,验证等号两边可同时进行运算,强化等号两边数字运算的能力.两边运算的情境,一般开始的时候会受限于计算解题所需的认知资源,因此,需要熟练运算数字技巧后方可进行.在实际教学中,可以先呈现“等号单边运算”与“等号反身性”的情境教学,等学生理解等号是具有“两边对象相等”的关系概念后,再进入双边运算的教学情境.若无坚实的运算能力和正确的等号关系概念作为基础,贸然地接触双边运算教学活动,将会造成观念混淆且易在学习上产生挫折.

总之,人类学习的困难之处在于如何应用抽象的范畴去知觉真实世界的事物,模型便是一种纽带,它能提供被知觉现象的表征,并于限制的内在范畴下加以说明.利用天平平衡的模型来组织一年级学生理解等号概念学习,能够有效地表征等号概念的特点,进而帮助学生发展等号的符号意识和代数思维,将现实世界与客观符号进行有效连结,使学生更好地掌握和利用等号概念实施问题解决.