整合问题情境凸显思维印记——《集合（重叠问题）》教学与思考（一）

文|张小丽

【教学内容】

人教版三年级上册第104、105 页。

【课前思考】

解读教材：编者想体现的意图是，面对需要解决的问题“参加这两项比赛的共有多少人？”，学生的不同答案有可能引发“冲突”。教师抓住这一“冲突”，追问“你能确定有17 人吗？”“你能证明为什么不是17 人吗？”，以此来激发学生的探究欲望、推动深度研究。然而，从笔者多年教学该课的经验来看，学生对于“先一一列举出参加两项比赛的学生姓名，再把重复出现的姓名连起来，最后介绍韦恩图”这样的“三部曲”并不感兴趣。因为这样的教学更多的是“教师要学生探究”，而非源自学生内心的“我要探究”，缺乏引发深度学习的条件——挑战性。基于以上分析，本课将利用学生原有的认知经验，优化问题情境设置，让学生在情境中产生疑惑，激活热情，引发思维，使学生的思维过程真实可见。

【教学过程】

一、激趣导入

师：一年一度的校园足球节要开始了，下面是各班参加比赛的人数要求。

师：根据要求，每班需要派几人参加比赛？

生：需要10 人参加比赛，因为4＋6＝10（人）。

师：可三（1）班只派出了8 人参加比赛，这又是怎么回事呢？

【思考：教师以学生熟悉的足球节情境引入，在参赛学生的人数上打破了学生的思维定势，引发了认知冲突。这样的导入，既能活跃课堂气氛，激活学生已有的生活经验，又能激发学生探究的欲望。】

二、探究新知

1.聚焦问题，引出“重叠”

师：根据要求需要派10 人参加比赛，为什么三（1）班只派了8人呢？

生：会不会有两人受伤弃权了？

生：受伤了肯定有替补的，否则白白浪费了名额，太可惜了。

生：也有可能是颠球和绕桩的同学有2 人重复了，这2 人既颠球又绕桩。

生：是的，我的想法与他一样。

师：看来，同学们都想到了有2 人既要参加颠球比赛，又要参加绕桩比赛，所以三（1）班只需要派8 人参加足球节。那么，你能不能用自己喜欢的方法把这种含有重叠部分的情况清楚地表示出来呢？

【思考：概念的学习不是简单、机械的传递过程。在师生对话中，揭示矛盾的“真相”，将“只派了8 人”的原因锁定在“重叠问题”上，并开启“寻证”之旅。】

2.多元表征，画出“重叠”

（1）学生用自己喜欢的方式独立完成作品。

（2）教师在学生的操作活动后，收集学生的作品并反馈交流。

作品1 学生：我是把4 个圆形两个两个连起来的。

师：连起来表示什么意思呢？

作品1 学生：表示他们既参加颠球又参加绕桩。

作品2 学生：圈起来的4 个圆形表示他们既参加颠球又参加绕桩，不过只能算2 个圆形。

作品3 学生：我和第二位同学的想法差不多。我用“足球”和“桩”的示意图代表参赛队员，一个方格代表1 个人。其中有2 个格子既有足球又有桩，只能算2 个人。

作品4 学生：我用小人来代表，其中中间2 个小人既颠球又绕桩，这样一共有8 人。

作品5 学生：这里2 个圆相交的部分就是重叠部分，表示这2个同学既参加颠球又参加绕桩。

作品6 学生：我直接用数字来代表，中间的数字2 表示这2个同学既参加颠球又参加绕桩，所以我画了一个箭头。

师：同学们真能干，不仅用自己喜欢的方法把重叠部分表示出来，还能清楚地向大家解释图中的意思。

【思考：如何走进学生的“最近发展区”，使不同水平的学生都主动参与，产生丰富的教学资源呢？这就需要教师舍得花时间，让学生通过自己喜欢的方法画出“重叠”，从生活化到数学化，初步建构“集合”的数学模型。】

3.迭代表征，理解“重叠”

（1）出示韦恩图。

师：数学家也有一种表示方法。这幅图是数学家韦恩最先使用的，所以叫韦恩图。与上面的作品比一比，看和谁的比较相似？

生：和5 号同学的作品很相似。

师：你真是火眼金睛。5 号同学的韦恩图内用圆形来表示参赛人数，而这里直接用数来表示。那你们还能看懂这张韦恩图吗？

生：左边这个完整的圈表示参加颠球比赛的人数，右边这个完整的圈表示参加绕桩的人数，而中间这个重叠部分则表示两个比赛都参加的人数。

师：你不仅观察得仔细，表达得也非常清晰。这幅图上还隐藏着两个信息，能找到吗？

生：左边这个月牙形的部分表示只参加颠球比赛的人数。

师：那哪一部分表示只参加绕桩的人数？可以用手比划一下。

（2）列出算式。

师：接下来，就请同学们利用找到的这些信息算出参加比赛的人数吧。

（3）全班交流方法。

生1：我的算式是4＋6－2＝8（人），表示参加颠球比赛的人数加上参加绕桩比赛的人数再减去既参加颠球比赛又参加绕桩比赛的人数。

生2：我的算式是2＋4＋2＝8（人），把只参加颠球比赛的人数和只参加绕桩比赛的人数加起来，再加上既参加颠球比赛又参加绕桩比赛的人数。

生3：我的算式是（4－2）＋6＝8（人），把只参加颠球比赛的人数和参加绕桩比赛的人数加起来。

生4：我的方法和上面的同学差不多，算式是4＋（6－2）＝8（人），是把参加颠球比赛的人数和只参加绕桩比赛的人数加起来。

师：为了让大家看得更清楚，张老师把同学们介绍的几种方法罗列出来了。大家看，虽然这四道算式各不相同，但是都解决了三（1）班同学参加两种比赛的人数。刚才同学们不仅列出了算式，还能清楚地介绍算式中每步表示的含义，真不简单。

【思考：教师鼓励学生从不同角度观察韦恩图，提取不同集合的元素信息，让学生用计算解决参赛人数的问题。学生列出了四种不同算式，有基本的方法“4＋6－2”，也有把韦恩图分解成没有交集的多个集合的方法。学生思维的延展性得到训练，同时数形结合思想、集合思想得到进一步渗透。】

4.情境拓展，内化“重叠”

（1）拓展情境。

师：想一想，如果条件允许，三（1）班还可以派几人参加比赛，也符合4 人颠球、6 人绕桩的参赛要求？请你分别用韦恩图及相应的算式表示出来。

（2）学生独立思考并反馈。

生：没有重复时，算式是4＋6＝10（人）；重复1 人时，算式是4＋6－1＝9（人）；重复3 人时，算式是4＋6－3＝7（人）；重复4 人时，算式是4＋6－4＝6（人）。

师：有没有可能是重复5 人呢？

生：不可能，因为参加颠球比赛的一共只有4 人。

（3）总结梳理。

两个比赛共需要10 人参赛，可以有五种不同的参赛情况。不重复时，两个圈是分开的，且此时参赛总人数最多为10 人；若有重复，两个圈是交叉的：重复人数最多时，大圈完全包含小圈，且此时总人数最少，只需要6 人参赛。

【思考：引导学生总结发现“不重叠问题”和“重叠问题”的解题区别。不重叠问题的解题策略是“几部分直接相加”，重叠问题的解题策略是“两部分相加再减去重复部分或分类连加等”。】

三、巩固提升

1.出示题目

三个小朋友比赛看谁写出带“春”字的成语多。小刚写出了15个，小佳写出了8 个，小红写出了10 个。小佳写出的8 个成语小刚都写出来了，小红写出的成语中有5 个小刚也写出来了。小刚和小佳一共写出多少个成语？小刚和小红一共写出多少个成语？

2.学生尝试解决

3.讲清解题思路

师：小刚和小佳一共写出多少个成语？

生：要解决这个问题，首先需要找到和小刚、小佳相关的信息，分别是“小刚写出了15 个”“小佳写出了8 个”“小佳写出的8 个成语小刚都写出来了”。从中可以看出，小佳和小刚有8 个成语是重复的，并且小佳写的8 个成语都包含在了小刚写出的成语里。因此算式是：15＋8－8＝15（个），所以小刚和小佳一共写出了15 个成语。

师：那小刚和小红一共写出多少个成语呢？

生：从“小红写出的成语中有5个小刚也写出来了”这句话中可以知道小红和小刚有5 个成语是重复的。算式是10＋15－5＝20（个）。

师：同学们分析得很好。当我们遇到信息比较复杂的题目时，一方面要耐心地读懂信息，也要善于请图形帮忙，因为用画图的方法可以让复杂问题变得简单明了。

【思考：应用模型解决生活中的问题，体现了数学与生活的紧密联系，培养了学生用数学的眼光观察实际问题的能力和用数学的思维解决实际问题的能力。同时，进一步体会韦恩图对解决“重叠问题”的价值，再次感受数形结合思想可以将抽象问题直观化、繁难问题简洁化。】

四、视野拓展

师：同学们，今天的课堂上我们认识了集合图。借助集合图，可以让我们更直观地观察到事物之间的关系，帮助我们更好地解决问题。那么，如下这样的集合图你看到过吗？在解决哪类问题的时候需要用到这个图呢？同学们可以课后去查阅资料，寻求答案。

【课后感悟】

1.注重联系实际，素材选取生活化

从导入环节的“意想不到”，到探索新知的情境设置，再到巩固环节的练习设计等，这些素材的选取都来自于学生身边发生的事例，让学生感受到数学和生活的密切联系，培养了学生用数学的眼光看待实际问题的能力。

2.注重数学思考，情境设计结构化

本节课设计了“根据要求需要派10 人参加比赛，为什么三（1）班只派了8 人呢？”这一问题，这是一个触及数学本质、触动思维内核的核心问题。接着，用问题串为导向“逼迫”学生“创造”韦恩图，“你能不能用自己喜欢的方法把这种含有重叠部分的情况清楚地表示出来呢？”“这幅图上还隐藏着两个信息，能找到吗？”“如果条件允许，三（1）班还可以派几人参加比赛，也符合4 人颠球、6 人绕桩的参赛要求？”。在解决问题的过程中，激发了学生自主“创造”的欲望，引领学生触摸到数学知识的本质。

3.注重数学表达，思维过程可视化

通过画出“重叠”，让学生真实的想法以不同的表征方式暴露出来，这样学生之间就能展开对话，学生的作品就能成为学习的资源。在出示“韦恩图”后，学生利用自己喜欢的方法计算参赛人数并解释算式的意义，强化了学生对韦恩图的认知。最后的情境拓展，更深化了学生对韦恩图的意义理解。“数形结合”很好地把思维媒介和表达方式有机联系，让解决问题的过程变得可视化。而这种可视化，正符合三年级学生的年龄特征和思维水平。