让“运动”成为放飞学生思维的“支点”——以《图形与几何》教学为例

文|陈 娜

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，要帮助学生建立空间观念，其中一方面就是要让学生能描述实物或几何图形的运动和变化。教材安排了图形的运动这类学习内容，也强调几何图形的学习可以用“运动变化”的角度来组织学习，帮助学生探究和分析图形之间的关系，理解和掌握图形与几何的本质，形成“运动变化”的观念。因此，小学数学的《图形与几何》教学可以把“运动变化”作为“支点”，将它作为图形与几何教学的一条主线展开教学，培养学生的空间观念，放飞学生的思维。

那么，如何根据图形的特征和性质，在《图形与几何》内容学习中通过“运动变化”的观点展开教学，发展学生几何直观能力和空间观念，提高学生的学习兴趣呢？笔者结合教学实际谈谈自己的思考。

一、立足“运动变化”，加深对图形本质的认识

1．联系“生活”，观察对比，感知特征

心理学表明，小学阶段儿童的抽象思维发展需要具体形象思维与生活经验来支撑，这就要求教学内容要贴近学生实际，有利于学生体验、思考与探索。教材中将图形的运动——平移、对称、旋转、图形的放大缩小的特征认识，只定位在积累感性体验，形成初步认识。因此，在教学中要多收集一些这样的生活素材，可以按照运动的特征选择运动或静止的方式进行呈现。通过对大量“运动”现象的观察、比较、分析、概括和提炼，引导学生探究其中的“变”与“不变”，感知“运动”的特征。

2．整合“运动”，增加趣味，教活特征

几何图形的种种性质，只不过是各种几何变换下的不变性和不变量。因此，通过对运动图形中不变性的研究，整合运动形式，可以增强学习的趣味性，找到事物的本质特征，有利于教活数学概念。

在教学《旋转》时，让学生发现旋转三要素即旋转中心、旋转方向和旋转角度，教材中的例题提供了钟面的指针旋转和风车旋转过程的图片，学生不会主动发现指针旋转的中心，很难看清风车旋转的方向。有的教师教学设计时从线段的旋转到图形的旋转一层一层地揭示旋转的要素，学生虽然能掌握，但是不利于整体感知，也不利于学生学习兴趣的激发。为了让学生更好地发现旋转的特征，激发他们的兴趣，笔者在教学实践中让学生通过动态想象、整体感知、分类比较来设计教学过程。

师：今天老师给大家带来了一幅精美的图案。

课件出示：

师：你知道这个图案是由什么图形变换而来的吗？（学生大胆猜想）

师：它是由这个直角三角形用什么方式变换得到的呢？（学生自由表达）

课件显示图案变换形成的过程，让学生说说是怎么变换得到的？

师：你觉得这个直角三角形还可以怎么旋转呢？

课件依次出示同一个三角形的6 个旋转，并且一直保持动态演示。

师：用同一个三角形，出现了6 个不同的旋转。你能按照一定的标准给它们分分类吗？

学生按旋转方向、旋转点、旋转角度分类，得出旋转的三要素和旋转的特征。

在上述教学过程中，教师改变了学习材料的呈现方式。在课的引入部分设计了图形旋转变换形成的美丽图案。追问：这个图案是由什么图形变换而来的？它是由这个直角三角形用什么方式变换得到的？接连的追问，让学生发挥自己的想象，在脑海中积极思考。再对同一个三角形进行旋转引出6 个不同的旋转，根据一定的标准进行分类。让学生在复杂的运动过程中通过分类找到旋转中的不变性，找出本质特征。像这样富有趣味性的环节，不但提高了学生学习的积极性，增强了学生的动态想象能力，提升了学生的审美能力，更教活了数学概念。

3．创造“运动”，刻画属性，掌握特征

小学阶段认识图形的特征是教学的重点。要掌握图形的本质特征，势必要利用直观的教学手段，形象地进行教学。通过图形的整体或部分的运动，借助动态直观刻画图形的属性，有利于学生掌握和理解图形的特征。

特级教师王建良在执教《圆柱的认识》中就用了“运动变化”的观点。在教学圆柱侧面的过程中，他让学生从“滚”一周画出侧面；量出底面周长和高就能画；用一张长方形纸作为侧面，通过“卷”的方法做出圆柱。通过“旋转”长方形纸的长边、短边或对称轴形成圆柱，发现长方形纸与圆柱侧面、底面半径和高之间的关系。

上述教学过程改变了从生活中的具体实物去认识圆柱的这种静态的教学观，非常具有智慧地从运动变化的角度去认识圆柱。从圆柱的“滚”到一张长方形纸的“卷”“旋转”等运动的方式，充分运用多媒体来认识圆柱的特征。这一过程不但让学生认识了圆柱，而且深入地沟通了立体图形圆柱与平面图形之间的联系，认识到圆柱侧面展开图与圆柱的关系，圆柱纵截面与圆柱体之间的关系，培养了学生的空间观念。

二、运用“运动变化”，沟通几何图形的联系

辩证唯物主义方法论认为，事物是不会孤立存在的，一定与周围其他事物有一定的联系。用“运动变化”的观点学习几何图形可以沟通它们之间的联系，渗透辩证唯物主义“普遍联系”的方法论。因为在几何图形知识体系中，其前后联系紧密，逻辑性强。所以运用“运动变化”的观点，能沟通知识间的内在联系，有利于学生把“散装”的知识纳入到知识系统中去，从而完善认知结构。

1．构建“运动”，整体认知，形成知识网络

小学数学复习课的教学可以帮助学生理清知识脉络，形成知识网络结构，有利于学生对知识的掌握和建构。在复习图形和几何内容时，可以从运动变化的角度，帮助学生牢固建构知识体系。笔者在教学图形的认识总复习时，尝试通过运动的角度，帮助学生形成点、线、面、体之间的联系网络。

师：同学们，今天这节课我们一起来复习有关图形的知识。

师：请同学们看大屏幕，仔细观察。

演示：一个点——平移成线——再平移成面——再平移成体。

师：通过刚才的观察，你知道了什么？

引导：点通过平移形成线，线的平移形成面，面的平移可以形成体。

板书：点→线→面→体

师：是的，点和线是构成图形的基本元素，今天这节课我们就重点来复习有关线和平面图形的知识。

上述片段是教学的引入部分，笔者采用点动成线、线动成面、面动成体的观点，让本堂课的知识点能有一个更好的串联，将点、线、面、体作为一个相关联的内容加以统一，找到本节课在整个知识系统中的位置，帮助学生建立完善的认知结构。

2．利用“运动”，抓住本质，推导面积公式

小学阶段，在平面几何和立体几何的面积和体积公式的推导过程中，时刻都能感受到图形运动变化的重要作用。在平行四边形、三角形、梯形等面积推导过程中，通过平移、旋转的方式，拼凑、割补成熟悉的图形，进行面积公式的推导，这些方法的实质是从图形的运动变化角度展开教学的。如果在类似的概念教学中，抓住了它们的本质特征，就能有效地从“运动变化”的角度建立起内在的联系，推导面积公式。

【案例一】可以从梯形的面积公式出发，推导出三角形和平行四边形的面积公式。以梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2 为基础，通过上底顶点的运动，引导学生观察，从整体的角度，联系三者之间的关系。

出示：

师：将梯形上底c、d 两点通过移动重合在一起，图形变成了什么形状？

生：三角形。

师：这时，梯形的上底的长度变成了多少？现在的梯形公式变成了什么？

生：S＝（a＋0）h÷2，也就是三角形的面积公式是S＝ah÷2。

师：如果将梯形上底c、d 两点通过移动变成与ab 线段相等，图形变成了什么形状？

生：平行四边形。

师：这时，梯形的上底的长度变成了多少？现在的梯形公式变成了什么？

生：S＝（a＋a）h÷2，也就是平行四边形的面积公式是S＝2ah÷2=ah。

【案例二】我们也可以把平面图形看成是定长线段沿着一个确定的方向平移一定距离后留下的轨迹，其面积等于线段（可能定长，可能均匀变化）长度与移动距离的乘积。

上述四种图形移动的距离都是它们的高，其中图①、图②中的移动线段从始至终没有变化，因此它们的面积是AB×h。图③、图④中的移动线段从始至终是均匀变化的，可以把起始位置和终止位置线段长度的平均值作为长度，即线段AB 加线段CD 的和除以2，或线段AB 加0 的和除以2，推导出梯形面积公式（AB+CD）×h÷2 和三角形面积公式AB×h÷2。像这样从运动的角度还可以推导圆的面积，长、正方体和圆柱、圆锥的体积等。

按照上述的角度使用运动变化的观点，经历面积计算公式的形成过程，有利于理解平面图形面积公式之间的内在逻辑关系，有利于认识图形面积的本质，真正构建起面积公式的推导过程。

3．化“静”为“动”，沟通属性，深刻理解概念

通过运用“运动变化”的观点，可以增强学生数学学习的深刻性，沟通知识间的联结，提升对概念的深刻理解。

有一位教师在上《平行四边形和梯形的认识》时，用运动变化的方式对平行四边形概念进行梳理、沟通。根据“只要两组对边分别平行的四边形就是平行四边形”这个概念，出示两组平行线，问：“当一组平行线旋转和另一组平行线交叉，中间形成的四边形是什么图形？”然后教师演示（见下图），让学生观察：什么变了，什么没变？在这个过程中，你还发现了哪一种情况比较特殊？特殊在哪里？通过这样的运动变化，使学生深刻理解长方形是特殊平行四边形。通过平行线的运动变化的演示，抓住了平行四边形的本质属性，有效理解了长方形、正方形和平行四边形之间的包含关系，从而对平行四边形的概念理解更加深刻。

三、通过“运动变化”，发展空间观念和思维能力

1．想象“运动”，展现过程，促进空间观念形成

利用“运动变化”可以直观地展现出图形变化和形成的过程。在教学中可以组织学生动手操作，动态想象，再利用媒体展现运动变化的过程，有效促进学生空间观念的形成。

笔者在教学《旋转》一课时，在教学的最后环节让学生欣赏美丽的图案，发现哪些图形可以通过旋转运动方式得到，是由哪个基本图形旋转得到的（见下图）。学生通过观察、描述、动态想象，观看媒体演示，从而巩固和完善了旋转的特征，发现了各种运动方式之间的区别与联系。

在本课拓展环节中，笔者又抛出一个正方形，让学生想像旋转后还可以得到怎样的图形。引出正方形的旋转中心不同，形成的图案也各不相同（如下图）。由于学生动态想象能力的不足，大部分学生一开始都是胡乱猜测。部分空间想象能力好的学生会得出近似的结论，觉得会出现一朵近似的小花……通过学生的描述、动态想象之后，再进行媒体的直观演示，学生恍然大悟，惊诧不已。能想象的同学显得得意洋洋，原来猜错的学生则有了想象旋转的“支点”，丰富了基本想象经验。同时也发展了学生的空间想象能力，促进了空间观念的形成。

由一个正方形通过旋转形成的美丽图案

2.联系“运动”，化繁为简，提升解决问题能力

教师要引导学生学会用具有运动观点的平移、翻折、旋转等方法，运用联系的观点去解题，通过改变题目的结构，转化问题形式，让学生在运动和变化中寻求不变，明确数量关系，从而简化解题过程，达到灵活解题的目的。

在学习了长方体、正方体表面积之后，在五年级下册第36 页练习六中有这样一道练习题（如图）。

初次拿到题目后，在解决红油漆的面积时大多数学生会感到束手无策。部分聪明的学生会分块计算，算式如下图：

在这题中如果能让学生用联系的观点，由不规则平面图形周长中的平移法想到立体图形的平移法。从图形“运动变化”的角度去分析，将红色的面进行平移，刚好合并成3 个面（如下图）。

从这样的角度分析后，此练习还可以这样来计算面积：

这时，红色油漆部分的面积就转化为求三个面的面积，相比原来的计算方法解答起来就比较容易。

像这样的解决问题在图形教学中还存在很多，如果能经常性地运用平移、旋转等运动变化的解题方法指导学生练习，久而久之，学生遇见此类问题时就会用“运动变化”将原题转化成简单的图形再计算，从而大大提高此类问题的解答速度和正确率，提高学生的学习兴趣，学生的空间观念和思维能力也得到了发展。

综上所述，在小学阶段的《图形与几何》教学中，受学生的思维水平和知识技能的限制，用“运动变化”的观点开展有关图形的认识、测量、解决问题等内容的教学，是一个循序渐进、漫长的过程。教师只要在平时的课堂教学中能注重从“运动变化”的观点组织教学，渗透“运动变化”的数学思想，定能促进学生整体把握知识，理解和掌握知识间的联系，发展空间观念，让“运动”真正成为放飞学生思维的“支点”。