依结构而学让体悟更深——由《集合（重叠问题）》教学引发的思考

文|叶 柱（特级教师）

学习过程中，如果建立了结构，就意味着产生了关联，形成了体系，折射出更深邃、更广泛的意义。当前，之所以推崇“大单元教学”或“整体教学”，本质上就是为了强化结构，扩张课堂的体验空间，丰富学生的意义感悟。结合人教版三年级上册《集合（重叠问题）》一课的教学研究，笔者认为，小学数学教学应努力关注“认知结构”“思维结构”“学科结构”及“课程结构”的厘清与优化。以下为相关思考，与读者分享。

一、明晰认知结构：从“旧题”到“新问”

在惯常思维里，《集合（重叠问题）》属于“奥数”的经典内容。这一类问题，随着集合个数的增加及集合之间关系的复杂化，难度系数会陡然增大，让人倍感“烧脑”。然而，当相关内容“进入”现行教材的“数学广角”板块时，显现其“大众化属性”，强化其“普适性营养”，成为了教师必须直面、亟待解决的现实任务。

某次，教完例题（如图1）后，有位学生质疑：“老师，一年级开运动会的时候，我们班就有同学重复参加两项比赛了。为什么那时候我们没做这样的题……”确实，“重复参加两个项目”的现象以前就有，但为什么这类题要到三年级才学习呢？显然，教材的编者肯定是考虑到绝大多数学生的年龄特征及接受能力才作此安排的。但透过这位学生的质疑，一个“真相”得以凸显：“重叠”现象不是“凭空降临”的新生事物，而是历来就有的。在这道例题中，如果参加两项比赛的人员没有“重叠”，那它就是一年级的简单加法问题；出现了“重叠”，我们可以把这个问题视为一年级简单加法问题的“拓展”。这样思考下来，“重叠问题”的来龙去脉便逐渐清晰了起来。

图1

前面的课例中，两位教师都充分沟通了一年级“旧问题”与三年级“新问题”之间的关联与发展，使认知结构得以清晰铺陈。陈佳娣老师着眼创设“游泳队”“击剑队”的现实情境，自然抛出一个问题：“每班5 人参加游泳队，3 人参加击剑队，一共有多少人参加？”面对这个看似“小菜一碟”的问题，学生发现，四个班里只有一个班的参加人数能用“5+3=8”来计算，其他三个班都“另有玄机”，于是，探索空间便生成了。同样的，张小丽老师创设的课堂情境也极富“悬疑”色彩：“一年一度的校园足球节要开始了。各班参加比赛的人数要求是颠球4 人、绕桩6 人。可三（1）班只派出了8 人参加比赛，这是怎么回事呢？”在解密真相的过程中，学生的研究热情被充分点燃。

研究完“新问题”，对“旧问题”再作一次回眸与审视，也有利于畅通学习通路、理顺认知结构。笔者也曾执教《集合（重叠问题）》一课，在新授即将结束时，呈现三个“旧问题”（如图2），请学生判别“是否存在重叠情况”，在新旧沟通中培育了学生的“数学眼光”。经辨析，他们认为“问题3 可能存在重叠情况”，从而自然引出教材“做一做”（如图3），练习巩固水到渠成。

图2

图3

图4

二、理顺思维结构：从“直观”到“抽象”

无论教学如何改进，儿童数学学习的基本规律需始终遵循，那就是：基于直观、适时抽象，有序推进认知改造。而在《集合（重叠问题）》教学中，认知改造的基本任务是，引导学生慢慢熟悉、渐渐把握这类问题的基本特征，积累解决问题的鲜活经验。在这个过程中，教师该如何帮助学生理顺思维结构呢？

1.以图示表征理解

“重叠”是本课的“课眼”，是“新问题”区别于“旧问题”的关键点，因而也是需要重点聚焦的核心概念。我们看到，在张小丽老师的课堂上，当学生初步萌生“有2 人既参加颠球比赛又参加绕桩比赛，所以，看似需10 人的比赛只要派8 人参加”的想法后，教师及时布置了一个学习任务：“你能不能用自己喜欢的方法把这种含有重叠部分的情况清楚地表示出来呢？”学生的创意很丰富，课例里呈现了6 种作品。无论是“纪实”风格的作品4，还是“写意”取向的作品5，都在一定程度上表征出了“重叠”的意味。所展出的学生作品，又可化身为“强劲的推手”，促进学生的意义理解。陈佳娣老师的课堂上，创设了“呼啦圈套人”的趣味场景，在“既参加游泳又参加击剑的同学怎么站”的现场研讨中，也强化了全体学生对“重叠”的体悟。

2.用语言解读模型

“用数学的语言表达现实世界”，是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》提出的“三会”核心素养的重要内涵。凝练抽象的数学知识，经过基于个人理解、指向交流分享的语言描述，会变得更鲜活可感、亲和易懂。两堂课中，在“交集”模型呈现后，两位教师都很重视组织学生展开语言描述，充分阐述“重叠区域”“左侧月牙区域”“右侧月牙区域”所表示的含义，在表达中内化模型表象。各有特色的是，陈佳娣老师关注了“色彩”的强调作用，而张小丽老师则很重视教师的现场追问及学生的动手比划，都取得了理想效果。

3.凭解法支撑策略

从课本内容及教参要求看，《集合（重叠问题）》的研究重点是“求几个集合的总人数”。跳出具体算式，整体而言，我们一般能想到两种思维路径：一是各集合的人数之和减去重叠部分；二是将各集合每个区域的人数直接相加。这样的解题策略，是学生需要掌握的，可以视为本课的基本技能。纵观课例，两位教师都很重视解题方法的多样化引领。比如，陈佳娣老师的课上，学生就分享了上述两种方法，并对“为什么要减去1”进行了重点讨论，突出了“重叠”要点。而在张小丽老师的课堂上，除了上述两种方法，还出现了“A 集合人数加B 集合中没重复部分人数”的解题方法。为便于理解，张老师还将解题思路结合图示进行分解、诠释，收到了较好效果。当然，如果两位教师能在合适环节对几种解题方法进行汇总梳理、点睛归纳，或许会更有利于学生形成解决问题的一般化策略。

三、展现学科结构：从“封闭”到“开放”

教材编排的课时，是一个个“节点”或“截面”。很多个“节点”或“截面”，才能构成知识链、知识块及知识体系。新理念下的数学课堂，要葆有开放的视野，由“课时”观照到“课程”，由“树木”扩展到“森林”，努力向学生展现更加完备的学科结构。

张小丽老师的课上，在完成例题的基本部分教学后，有个拓展设计堪称“妙笔”：“如果条件允许，三（1）班还可以派几人参加比赛，也符合4 人颠球、6 人绕桩的参赛要求？请你分别用韦恩图及相应的算式表示出来。”有了前面的积累，学生自然想到在“重叠人数”上做文章，于是，生成了“6 人、7 人、9 人、10 人”等四种其他情况。其中，“4＋6＝10”属于“无重叠”的情况，“4＋6－4＝6”属于“颠球的都参加绕桩”的“全重叠（包含）”的情况。为确定“有无遗漏”，教师适时设问“有没有可能是重复5 人呢？”，让学生在反思中领悟到策略范畴的边界。

陈佳娣老师的教学组织也有异曲同工之处。两个集合的多种关系，被“潜藏”于四个班级的参赛情况里（如表1）。在基于三（1）、三（2）两个班的参赛情况进行基本教学后，对于三（3）班、三（4）班的参赛情况，教师出示了两幅集合图供学生选择，从中实现了认知视野的拓展。此后，陈老师并没有止步，而是围绕“每个班参加两个项目的总人数最多可以是多少？最少可以是多少？”这一核心问题，把所有情况进行了汇总，将两个集合之间的各类关系进行有序梳理，为初中学段全面研究“集合”知识指引了方向、埋下了伏笔。

表1

评价，引领教学导向。如果命题设计也能关注学科结构的展现，必能有力推动教学变革。着眼《集合（重叠问题）》一课的内容，笔者曾为区级毕业测评命制以下试题（如图6），获得了较为理想的评价效度。

图6

四、完善课程结构：从“数学”到“生活”

数学课程实施的后半程，是应用。数学知识作为一种模型，迁移、回归到鲜活多样的生活日常里，去诠释现象、解决问题，从中发展学生的应用意识。张小丽老师在课尾呈现了几个集合图，简洁发问：“这样的集合图你看到过吗？在解决哪类问题的时候需要用到这个图呢？”并组织学生课后查阅资料、寻求答案。显然，这个任务并非“噱头”，其推进过程是对课程实施的必要补充，是对课程结构的有效完善。

笔者想起了自己的执教经历。当时，这节课应邀赴江苏省扬州市进行展示。为增加集合知识的现实意义，笔者精心设计了一组“扬州应该填哪里”的课堂练习（如图7），将“介绍扬州风貌”与“历练集合知识”巧妙融合在一起，既落实了知识巩固、技能训练的基本任务，又切实发展了学生的家国情怀。

图7

以上，笔者结合课例思辨，意图向数学教师传递这样的实践建议：要秉持全局性视野，把握整体性原则，通过创意设计与精准施教，切实明晰认知结构，有效理顺思维结构，充分展现学科结构，努力完善课程结构，帮助学生积累起完满而有深度的成长体验。