设计挑战性学习任务，让“素养生长”看得见——以《三角形的三边关系》教学为例

文 林小平

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中指出：义务教育数学课程应使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养。这里的核心素养指的是“三会”，即会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。这就要求数学学习要从仅仅获得事实性知识向真实生活背景下的应用知识转变，课堂教学要以素养为导向，以解决问题为核心，以挑战性学习任务为驱动，设计结构化的活动路径，让学生自主寻求数学学习的真正意义，自主建构数学学习的真正价值。

这里的挑战性学习任务是指教师设计提供给学生进行探究性学习以达成教学目标的问题、活动或习题等。它可以是一个（或几个）具有结构化的问题，也可以是一项（或几项）具有挑战性的实践活动，还可以是一道（或一组）具有综合性的习题。挑战性是学习任务最大的特点，能够带动学生展开有目标、有价值、有方法、有能力的有意义学习。那么，如何设计挑战性学习任务，才能让“素养生长”看得见呢？下面，笔者以《三角形的三边关系》教学为例，谈谈如何运用“尺规作图”和“两点之间线段最短”这个基本事实进行挑战性学习任务的设计。

【教学过程】

一、情境导入，问题驱动

师：星期天，老师和朋友一起去体育中心打羽毛球。来到体育中心大门口，发现去羽毛球场有两条路。走哪条路最近？你是怎样想的？

教师把示意图抽象成“点”和“线”，学生根据“两点之间线段最短”进行解释。

师：透过“点”和“线”，我们进一步看到了“形”，“两点之间线段最短”放在整个三角形中观察，你又能发现什么？

生：AC+CB＞AB。

师：是的，这样我们就发现了三角形三条边之间的一种关系。那三角形的三条边之间究竟有什么关系呢？我们继续来研究。

【思考：三角形的三边关系是三角形特征研究的一个分支。本着“解决真实问题、学有用的数学”的原则，设计具有挑战性的真实情境任务包裹真实问题，以解决路线问题的方式提炼数学核心问题。这里，将场馆抽象成点，路线抽象成线段，从路线选择引出“两点之间线段最短”，进而根据这一数学事实引导学生初步发现三角形三条边之间存在一定的关系，由此提出数学核心问题。这样设计，有利于学生体会数学与生活的紧密联系，激发学生持续探究的欲望，同时从点、线、形的视角将学生的学习引到探究三角形三边关系的“最近发展区”。】

二、探究新知，自主建构

1.操作和体验，初步感知三角形的三边关系

（1）初探：三条同样长的线段能否围成三角形？

出示例1：

师：研究复杂的问题，先从简单的开始。三条同样长的线段，能围成三角形吗？请从上面4 条线段中任选一种，用直尺和圆规画一画，再与同学交流。

学生操作后组织交流。

师：你选择的是哪种线段？能不能围成三角形？是怎样画出这个三角形的？

生：我选择的是3 条4cm 的线段，能围成三角形。先画一条4cm 长的线段，以左端点为圆心、4cm 长的线段为半径画弧；再以右端点为圆心、4cm 长的线段为半径画弧，两条弧相交于一点；最后将这个交点分别与左右两个端点相连，就画成了一个三角形。

师：如果选择其他长度的线段，也能像这样画出三角形吗？

生：都能。

教师课件演示尺规作图的方法，结合“找交点”，解释作图原理。

师：可以得到什么结论？

生：三条同样长的线段，都能围成三角形。

（2）再探：三条不同长度的线段能否围成三角形？

出示例2：

师：三条不同长度的线段，都能围成三角形吗？猜一猜。

生：都能围成。

生：有的能围成，有的不能围成。

师：从4 条线段中任选3 条，有哪些不同的选法？

生：有四种不同的选法：①3、4、5；②3、4、8；③3、5、8；④4、5、8。

出示活动要求，学生操作。

展示尺规作图结果，组织汇报交流，重点说一说为什么能围成或不能围成三角形。

生：①和④能围成。第①种，3cm 和4cm 加起来超过5cm，两条弧有交点，能围成三角形，可以用关系式3＋4＞5 表示。第④种，4cm 和5cm 加起来超过8cm，两条弧也有交点，能围成三角形，可以用关系式4＋5＞8 表示。

生：②和③不能围成。第②种3cm、4cm 的线段太短了，两条弧没有交点，这三条线段不能首尾相接围成三角形，关系式是3＋4＜8。第③种3cm、5cm 的线段也短了一点，两条弧的交点刚好在8cm 的线段上，把上面两条线段连接起来，刚好与下面的线段重合，也不能围成三角形，关系式是3＋5＝8。

2.抽象和概括，探索发现三角形的三边关系

师：继续观察例2 尺规作图的结果，能围成三角形的三条线段有什么共同的特点？小组讨论。

生：能围成的，两条较短线段长度的和大于最长线段。不能围成的，两条较短线段长度的和小于或等于最长线段。

师：（出示例1 中围成的等边三角形）这里没有“较短线段”和“最长线段”，符合我们发现的结论吗？

生：符合。

师：再看看能围成的①和④，它们符合“任意两条线段长度的和都大于第三条线段”这个结论吗？

生：符合。第①种可以得到三个关系式3＋4＞5、3＋5＞4、4＋5＞3。第④种可以得到三个关系式4＋5＞8、4＋8＞5、5＋8＞4，两种都符合“任意两条线段长度的和都大于第三条线段”。

师：大家从一种关系看到了另外两种关系，真厉害！通过研究，我们发现“两条较短线段长度的和大于最长线段”其实就是“任意两条线段长度的和都大于第三条线段”。

师：再来看看不能围成的情况(出示②和③)，你们发现了什么？讨论后交流。

生：第②种，虽然3＋8＞4、4＋8＞3，但3＋4＜8。第③种，虽然3＋8＞5、5＋8＞3，但3＋5＝8。我们发现，只要不是“任意两条线段长度的和大于第三条线段”的，都不能围成三角形。

师：是的。这些线段围成三角形后，就成为了三角形的边。那三角形的三条边之间有什么关系？

生：三角形任意两边长度的和大于第三边。

3.想象和推理，加深理解三角形的三边关系

师：是不是所有三角形三条边之间都存在这样的关系呢？我们继续来研究。

教师操作几何画板动态演示可任意变化的三角形，学生观察三角形三边长度的变化，同时通过举例、估算、验证等方法判断得出三角形三边关系始终不变。

师：（出示课始的问题情境）上课一开始，根据两点之间线段最短，我们已经发现了三角形三条边之间的一种关系AC＋CB＞AB。如果换两个点进行观察，你还能发现什么？

生：AB＋BC＞AC、BA＋AC＞BC。

师：观察这三种关系，你发现了什么？

生：就是“三角形任意两边长度的和大于第三边”。

【思考：建构主义教学理论强调：学习者的学习兴趣和动机要以探索问题来驱动和维持。因此学生的学习活动须与任务或问题相结合。探究新知讲究层次性，通过提出挑战性问题、设置结构化任务、开展关联性活动、进行想象和推理，让学生在知情连续、意义关联、螺旋进阶的学习过程中感悟尺规作图的原理，提高观察、操作和抽象概括的能力，发展推理意识和几何直观。第一层次，通过感知和体验、初探和再探，引导学生初步感知能围成三角形的三条线段需要满足一定的条件。第二层次，通过抽象和概括，经历“一式”到“三式”，引导学生充分感悟“任意”的含义，发现三角形的三边关系。第三层次，通过想象和推理，引导学生理解三角形的形状和大小发生变化时，三边关系始终不变，并能根据“两点之间线段最短”的基本事实，联系旧知完整推理出三角形的三边关系。这样设计，使得活动模块化、知识系统化、思维结构化，彰显了结构化活动任务的整体性、关联性、生长性和有效性。】

三、应用内化，拓展提升

1.基础性练习

学生根据数据判断、说理，想象尺规作图结果并进行验证。

师：有没有发现快速判断的方法？

生：只要两条较短线段之和大于最长线段就能围成三角形。第3 组线段，2＋5＞6，能围成三角形。第1 组线段，2＋4＝6，不能围成三角形。第2 组线段，2＋2＜5，不能围成三角形。

师：观察第2 组线段，如果改变其中一条线段的长度，使它们能围成一个等腰三角形，可以怎么变？

生：可以把5cm 的线段变成3cm，也可以把其中的一条2cm 变成5cm。

师：把5cm 的线段变成3cm，这个方法是把5cm 的线段变短。除了变成3cm，还能变成几厘米？

生：还能把5cm 变成1cm、1.2cm 等等。只要是符合三边关系的整数、小数、分数都可以。

师：符合这样条件的等腰三角形有多少种？

生：无数种。

2.拓展性练习

师：刚才的问题难不倒大家，下面来挑战更复杂的问题。（课件出示）

师：谁来选一选？

生：我选6cm。如果选3cm，3＋8＜12，不能围成三角形。如果选20cm，12＋8=20，不能围成三角形。如果选25cm，12＋8＜25，也不能围成三角形。

师：思考得很全面！除了6cm，第三条边还可以是多长？

生：我觉得大于4cm，小于20cm 的长度都可以。

师：很有想法！我们通过图形来验证一下。如果设第三条边是xcm，想一想，最短是怎样的情况？最长呢？（演示动态图验证）

生：最短要大于4cm，最长要小于20cm。这个方法可以用来确定第三条边的取值范围。

师：真会思考！下面老师把题目变一变，你还能确定这两条边的长度吗？（课件出示，学生分组讨论后交流）（3）三角形一条边的长为12cm，其余两条边的长度和是14cm。这两条边的长度分别可以是（ ）cm 和（ ）cm。

生：11cm 和 3cm；10cm 和4cm；9cm 和5cm；8cm 和6cm；7cm和7cm。除了整数，还可以是符合条件范围内的小数或分数，有无数种可能。

师：其中隐藏着什么规律呢？我们继续来探究。（结合学生想象，教师用几何画板动态演示尺规作图结果）

师：如果把这些三角形的第三个顶点都连起来，会是一个怎样的图形？

生：椭圆。

师：聪明的木工师傅就是运用这个知识画出椭圆的，我们来欣赏。（播放视频）

生：数学真是太神奇了！

【思考：练习任务承载着巩固知识、熟练技能、积累基本数学活动经验、感悟数学思想方法、提升学习力的功能，更承载着学科育人的功能。因此，教师要精心设计练习任务，让素养生长。第一题设计了基础性练习任务，重点体现“判断和解释”。练习增加了想象尺规作图的要求，通过数形结合，帮助学生加深理解三角形的三边关系。第二题设计了拓展性练习任务，重点体现“深化和延伸”。首先通过选择正确答案、表述思考过程、尺规作图验证，深化理解三角形第三条边的取值范围。接着通过变一变，引导学生从整数范围拓展至小数范围，进而想象尺规作图结果并连点成线形成椭圆，最后观看木工画椭圆视频，从中渗透轨迹思想，发展几何直观，链接生活实际，感悟数学神奇，获得意义建构。】

四、回顾总结，整体联系

师：回顾三角形三边关系的研究过程，想想是怎样研究的？你有哪些收获？

生：我知道了三角形任意两边长度之和大于第三边。

生：研究时，我们经历了猜想、实验、分析、推理等探究的过程。今后我们在研究类似问题时，可以采用这样的方法。

生：我觉得用尺规作图画三角形，更能深刻理解三角形的三边关系。

师：如果把这节课学习的知识放在整个三角形知识中，会是什么关系呢？猜一猜，今后还会学习什么呢？

根据学生的回答，逐步整理并形成树形图。

【思考：一段学程的结束意味着新一段学程的开始，如何提炼知识的生长脉络，帮助学生建构起系统的认知体系？这就需要教师精心设计有品味的建构任务，将已学和将学纳入认识三角形的完整背景中去感悟。之前，学生认识了三角形的特征和分类，随着三边关系的进入，启发学生对三角关系、边角关系等等的猜想。这样设计，聚焦知识重点，突出学法指导，沟通纵横联系，形成知识结构，体现素养导向，助力后续学习，实现启智增慧。文化润心，实践育人，建构任务可以赋能学生无限的生长力，伴随学生去拥抱高质量数学教学的“星辰大海”。】