一个新的极小谱任意复符号模式矩阵

张晓婷,欧阳通

(广州软件学院,广东 广州 510900)

对任意给定的实数a,我们用sgn(a)表示其符号,根据a>0,a<0和a=0分别定义其符号为1,-1和0.元素取自于集合{1,-1,0}的矩阵称为符号模式矩阵.对于给定的实矩阵A,由其每个元素的符号所组成的矩阵称为A的符号模式矩阵,记为sgn(a).用Qn表示全体n阶复符号模式矩阵组成的集合.对任意A∈Qn,所有与A有相同符号模式的复矩阵组成的集合{A|sgnA=A}称为A所决定的定性矩阵类,记为Q(A).

若A=(akl)和B=(bkl)是两个n阶符号模式矩阵,如果当bkl≠0时,akl=bkl,则称A是B的母模式,也称B为A的子模式.每个符号模式是其本身的母模式和子模式.若B是A的子模式且B≠A,则称B是A的真子模式.

设A=(akl)和B=(bkl)是两个n阶符号模式矩阵,则称S=A+iB为n阶复符号模式矩阵,其中i2=-1.显然,S的(k,l)元素为akl+ibkl,k,l=1,…,n.所有与S有相同符号模式的复矩阵组成的集合称为S所决定的定性矩阵类.记为

Qc(S)={C=A+iB|sgn(A)=A,sgn(B)=B},

其中A,B为n×n实矩阵.

若S1=A1+iB1和S2=A2+iB2是两个n阶复符号模式矩阵,如果A1是A2的子模式且B1是B2的子模式,则称S1是S2的子模式,也称S2是S1的母模式.若S1是S2的子模式,且S1≠S2,则称S1是S2的真子模式.若S=A+iB是n阶复符号模式矩阵,则符号模式矩阵A和B分别为S的实部和虚部,且A和B的所有非零元的个数即为S的非零元的个数.

设S=A+iB是n≥2阶复符号模式矩阵,如果存在一个复矩阵C∈Qc(S)的特征多项式是f(λ)=λn,则称S是蕴含幂零的,C是幂零复矩阵,也称C为S的一个幂零实现.一个n阶复符号模式矩阵S是谱任意的,若给定任意一个n阶首一复系数多项式f(λ),都存在Qc(S)中的一个复矩阵,使得它的特征多项式为f(λ).如果S是一个谱任意复符号模式矩阵,且S的任意真子模式都不是谱任意的,则S是一个极小谱任意复符号模式矩阵.

1 N-J方法

谱任意符号模式的概念最早是在文献[1]中提出的,并且给出了运用N-J方法证明一个实符号模式及其它的母模式都是谱任意的.在文章[2]中提出了著名的2n猜想,即任意不可约谱任意符号模式矩阵至少有2n-1个非零元.文章[3]中对ray模式的谱任意性进行了讨论,将N-J方法推广到ray模式,并且给出了一类谱任意ray模式.文章[4,5]中对复符号模式的谱任意进行了研究,将N-J方法推广到复符号模式,对复符号模式的谱任意的研究有重要意义.

引理1S=A+iB是n≥2复符号模式矩阵,且至少有2n个非零元.

(1)在复符号模式矩阵类Qc(S)中找一个幂零复矩阵C=A+iB,其中A和B为实矩阵,且A∈Q(A),B∈Q(B).

(2)将A和B中的2n个非零元(记为r1,r2,…,r2n)替换为变量t1,t2,…,t2n.

(3)替换后的矩阵的特征多项式表达如下

λn-(f1(t1,…,t2n)+i·g1(t1,…,t2n))λn-1+…+(-1)n-1(f)n-1(t1,…,t2n)+i·gn-1(t1,…,t2n))λ+

(-1)n(fn(t1,…,t2n)+i·gn(t1,…,t2n)).

(5)如果雅可比行列式J在幂零点(t1,t2,…,t2n)=(r1,r2,…,r2n)处不等于零,则S的任意母模式是谱任意的.

2 主要结果

本文讨论下面的n阶(n≥4)复符号模式矩阵

(1)

任取实矩阵C∈Qc(Sn),由于相似矩阵有相同的特征多项式,不妨设C有如下形式

(2)

其中aj,bj为正实数,j=1,…,n.

下面先给出一个非零实多项式的零点的定义(有限次).如果f(t)是一个非零实多项式,令

Zf={a∈R|f(a)=0}

若Zf是非空的,则Zf的最大值记为max (Zf).若Zf是空的,则记为max(Zf)=-∞.

下面我们将用∂(f)来表示多项式f(t)的次数.

引理2设fj(t),gj(t)为非零多项式,j=1,…,n.且满足下面的条件

(1)fj(t)=tfj-1(t)-gj-1(t),gj(t)=tgj-1(t)+fj-1(t),j=2,…,n;

(2)f1(t),g1(t)有正的首系数;

(3)Zf1是非空的且max(Zf1)≥0;

(4)max(Zg1)

(5)∂(g1)≤∂(f1).

选取2017年2月～2018年2月接受诊治的急性阑尾炎患者60例作为研究对象，按住院登记的顺序将其分为对照组（前）与观察组（后），各30例。其中，观察组男16例，女14例，年龄23～54岁，平均年龄（37.9±5.4）岁；对照组男14例，女16例，年龄22～56岁，平均年龄（41.0±4.9）岁。两组的性别、年龄等一般资料比较，差异无统计学意义（P＞0.05）。

则有max(Zf1)

证明 令tf1=max(Zf1),因为max(Zg1)0.因此,

f2(tf1)=tf1f1(tf1)-g1(tf1)=-g1(tf1)<0

因为f1(t)的首系数为正,且∂(g1)<∂(f1),f2(t)=tf1(t)-g1(t)的首系数为正,所以存在一个实数t′>tf1,使得f2(t′)>0.由中值定理可知,必存在一个实数a,且tf1max(Zf1)≥0,都有g2(t)=tg1(t)+f1(t)>0.由上可知max(Zg2)≤max(Zf1)2,显然f2,g2都有正的首系数且∂(g2)≤∂(f2),所以f2,g2各自满足f1,g1的条件,因此,重复运用上面的证明就可以得出max(Zf1)

定理1设C∈QC(Sn)有形式(2),a0=1,an=t,C的特征多项式为|λI-C|=λn-(f1+ig1)λn-1+…+(-1)n-1(fn-1+ign-1)λ+(-1)n(fn+ign),则有

f1=a1-t,

g1=-b1+1,

fj=ai-t*aj-1+bj-1,j=2,…,n-3,

gj=-bj+t*bj-1+aj-1,j=2,…,n-3,

fn-2=an-2-an-3*t+bn-3,

gn-2=-bn-2+t*bn-3+an-3-bn,

fn-1=-t*an-2+bn-2-bn*b1,

gn-1=t*bn-2+an-2-bn-2*a1,

fn=an-1-b2*bn,

gn=bn-1-a2*bn.

证明 设c0=1,cj=aj-ibj,j=1,…,n-2,有

以最后一列展开,得

|λI-C|=M1+λM2

把M1以第n-1,n-2,…,4列展开,得

对于M2,将第i行的-λ倍加到第i+1行,i=1,2,…,n-3,再按第2,3,…,n-2列展开,得

定理2设Sn有形式(1),且an=t,则当n≥4时Sn及其母模式都是SAP.

证明 要证明存在Sn的幂零实现,只要证明存在正数a1,…,an-1,t,b1,…,bn满足定理1即可.

在定理1中令fi=0,gi=0,i=1,2,…,n,得

a1=t,

b1=1,

aj=taj-1-bj-1,j=2,…,n-3,

bj=tbj-1-aj-1,j=2,…,n-3,

bn-2=an-3+tbn-3-bn,

an-2=tan-3-bn-3,

bn=-tan-2+bn-2,

0=-tbn-2+tbn-an-2,

an-1=b2bn,

bn-1=a2bn.

设h(t)=-tbn-2+tbn-an-2,由于a1,…,an-2,h(t)及b1,…,bn-2,bn都是关于t的函数,容易证明这些实多项式满足引理2的条件,所以由引理2可以得出0=max(Za1)<…max(Zaj),th>max(Zbk),所以有aj(th)>0,j=1,…,n-2;bk(th)>0,k=1,…,n-2;bn=-tan-2+bn-2>0,所以C是幂零阵,即取aj=aj(th),bj=bj(th),j=1,…,n-2.an-1=b2(th)bn(th),bn-1=a2(th)bn(th),bn=-than-2(th)+bn-2(th).

将上式的第1列加到第2n-1列,此时J的2n-1列变为(0,0,-2a1,2b1,-a2,b2,…,-an-3,bn-3,-an-2,bn-2-bn,0,0)T,再把第2k+1列的(k+1)bk倍加到第2n-1列,k=1,…,n-3,通过aj=anaj-1-bj-1和bj=anbj-1+aj-1,j=2,…,n-2,此时J的2n-1列变为(0,…,0,-(n-1)an-2,(n-1)bn-2-(n-1)bn,-2b1bn,-2a1bn)T,再把行列式按第1,2,…,2n-5列展开,得

(-1)n-2[2a1(n-1)an-2+2b1(n-1)bn-2-(n-1)bn]

将bn=-tan-2+bn-2代入上式得det(J)=(-1)n-2[4(n-1)tan-2].在幂零点an-2=an-2(th)处,det(J≠0).

所以Sn及其母模式是SAP.

定理3设Sn有形式(1)的符号模式,则当n≥4时Sn是MSAP.

证明 设T=(tkl)是Sn=(skl)的一个子模式,且T是SAP.

(1)显然tkk=skk,k=1,n-1.

(2)若T所决定的定性矩阵类里的矩阵是奇异的或是非奇异的,则T都不是SAP.所以tk,k+1=sk,k+1,k=1,…,n-1.

(3)因为T是SAP,所以必存在一个复矩阵C∈QC(T)是幂零的.不是一般性,设C有形式(2),由定理1中的fk=0,gk=0,k=1,…,n,可以得出ak≠0,k=2,…,n-1;bk≠0,k=2,…,n.

综合上面讨论,T=Sn,故Sn为MSAP.定理得证.