一类新的正规矩阵及其相关的分解问题

田咏梅

(郑州商学院 通识教育中心,河南 郑州 451200)

近年来,矩阵的理论和方法应用于数值模拟、动态仿真、算法设计、图像识别、信息编码、人工智能、算法实现等领域[1-3].一些学者对Hermite矩阵,一些正规矩阵的理论和方法进行了较为深入的研究[4-9].矩阵的奇异值分解是一种非常重要的矩阵分解形式,矩阵的这种分解在信号处理、最小二乘问题、广义逆矩阵等诸多领域有广泛的应用[10-12].受文献[4]及Hermite矩阵的启发,发现适于条件A*=kA2(0≠k=a+bi∈C)的矩阵是一类新的正规矩阵,得到了这种矩阵A,以及两个适于上述条件的矩阵A与B的张量积的奇异值分解式,给出了n维复空间Cn关于这种矩阵A的核与-A的值域的分解,还提供了一个相关的收敛的矩阵函数序列.

1 基本结果

(1)A为正规矩阵;

(2)存在n阶酉矩阵M,N,使得

证明 (1)依条件A*=kA2(0≠k=a+bi∈C),有

A*A=(kA2)A=A(kA2)=AA*

所以A为正规矩阵.从而A酉相似于一个对角矩阵即可以对角化.

(2)设λ∈C为矩阵A的一个特征值,则存在非零向量x∈Cn,使得

Ax=λx.

(1)

|λ|2=0⟺λ=0.

具体计算后可知,上面集合中,无论α∈[0,2π],s=0,1,2取何值,

矩阵A的奇异值分解式又可以写成如下的紧凑形式:

这种矩阵奇异值分解的紧凑形式,在线性多变量控制系统中有重要应用.

下面讨论借由定理1的特殊情形,即满足条件A*=-A2的矩阵A,给出复空间Cn的一个分解.

推论1设矩阵A∈Cn×n,A*=-A2,且σ(A)={0,-1},则

Cn=KerA⊕R(-A),Ker(A)=R(-A)⊥,

这里,Ker(A)表示矩阵A的核,R(-A)表示矩阵-A的值域.

证明 由条件A*=-A2及定理1知,A为正规矩阵,且适合本推论条件的矩阵A的特征值是0,-1为实数,故其为Hermite矩阵,即A*=A.于是,存在n阶酉矩阵U,使得

下面设x∈Cn,则x=u1+u2,其中u1=(I+A)x∈KerA,u2=-Ax∈R(-A).这表明

Cn=Ker(A)+R(-A).

再设u∈Ker(A)∩R(-A),所以Au=0,还有u∈R(-A)=Ker(I+A),由此得出

(I+A)u=u+Au=u=0.

所以,Cn=Ker(A)⊕R(-A)为直和.进一步地,还有Ker(A)=R(-A)⊥.

事实上,对于∀x∈Ker(A),y∈R(-A),因为A*=A,有

〈x,y〉=〈x,-At〉=(-At)*x=-t*A*x=-t*Ax=-t*0=0.

这里t为Cn中某一合适的向量[13].由此可以进一步地推知,任意n维酉空间W均与KerA⊕R(-A)同构.

在下面的讨论中,我们约定,Ti表示矩阵T的第i列,复数p,q的幅角分别为α,β.

定理2设A,B∈Cn×n,A*=pA2,B*=qB2,p=a+bi,q=c+di∈C,pq≠0,则

其中S,R都是n2阶的酉矩阵.

证明 因为(A⊗B)*=(pA2⊗qB2)=pq(A2⊗B2)=pq(A⊗B)2,依定理1的讨论可得,

设矩阵A,B分别有特征值λ1,λ2,…,λn与μ1,μ2,…,μn.所以,A⊗B有特征值λiμj,i,j=1,2,…,n.由定理1,A,B均为正规矩阵,于是分别存在n阶酉矩阵U,V,使得

A=Udiag[λ1,λ2,…,λn]U*,B=Vdiag[μ1,μ2,…,μn]V*,

其中矩阵U的第i列Ui是矩阵A的属于特征值λi的特征向量,V的列的情形类似.于是A⊗B有相似分解式

A⊗B=(U⊗V)(diag[λ1,λ2,…,λn]⊗diag[μ1,μ2,…,μn])(U⊗V)*

A⊗B的特征值λiμj的特征向量为Ui⊗Vj,i,j=1,2,…,n,且(U⊗V)*(U⊗V)=In2.

由定理1的(1)知,(A⊗B)*=pq(A⊗B)2,A⊗B是n2阶正规矩阵,再由正规矩阵A⊗B的特征值的模就是A⊗B的奇异值的结论,存在n2阶的酉矩阵S,R,使得

这就是矩阵A⊗B的奇异值分解式.

在下面的例子中,我们记u1(x)=x,u2(x)=ln(1+x),u3(x)=ln[1+ln(1+x)],…,un(x)=

ln[1+un-1(x)],…,x>0.

例1 设A*=kA2(0≠k=a+bi∈C),则矩阵函数序列u1(A*A),u2(A*A),…,un(A*A),…

收敛于零矩阵.

x>ln(1+x)>ln[1+ln(1+x)]>…>ln(1+un-1)>…>0.

此数列单调递减且有下界,故由极限存在准则,在n→∞时,该数列存在极限,设为α,有

由定理1,将上述结论应用于满足本例条件的矩阵A,关于A*A,存在酉矩阵P,使得

2 结 语

本文探究了一类满足条件A*=kA2(0≠k=a+bi∈C)的矩阵,证明了其可以对角化,得到了它的奇异值分解形式,还研究了一些与其相关的矩阵的分解问题.线性代数被应用于隐身飞机设计,手机电磁辐射评估,智能机器研制,数字图像处理等领域.本文研究的矩阵,未来也可能会找到它的应用.我们将继续这种研究,还会给出一些新的结果.