由一道题谈解答三角形最值问题的路径

谢宏雷

三角形最值问题经常出现在各类试题中，通常要求求三角形的某条边长、某个角、面积、周长的最值.三角形最值问题侧重于考查三角函数的定义、正余弦定理、勾股定理、三角形性质的应用.下面结合一道例题，谈一谈解答三角形最值问题的两个路径.

本题看似较为简单，其实有些复杂.由于无法确定D、E的位置以及DE的长度，所以我们很难确定∠ACB的大小.经过研究，笔者发现可通过构造三角形的外接圆，利用三角函数的有界性来求解.

一、构造三角形的外接圆

三角形的外接圆的圆心，即外心，是三角形三条边的垂直平分线的交点.外心到三角形的三个顶点的距离相等.在解答三角形最值问题时，可根据题意构造三角形的外接圆，利用外心的性质和圆的性质来确定三角形边、角的最值.对于本题，我们由“线段AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E”，可联想到三角形的外接圆，于是构造三角形的外接圓，通过研究外接圆的性质，确定∠ACB的最大值.

如图2，作△ABC的外接圆，设其圆心为O，连接CO，并延长CO到F点，使其与圆交于F点，连接AF，BF，设AD=DC=a，圆O的半径为r，∠BAC=α.

因为∠ABC=60°，

所以∠ACB=180°-60°-∠BAC=120°-α，

在Rt△BCF中，∠BFC=∠BAC=α，∠CBF=90°，

所以BC=CF·sinα，即4=2rsinα②.

在△ABC中，由正弦定理得AC=2rsin60°，

即2a=2rsin60°③.

由①②③得a=45°，所以∠ACB的最大值为75°.

在构造出三角形的外接圆后，通常既要灵活运用圆的性质，如同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，弦心距垂直于弦等性质来确定三角形边、角的最值，还要用正余弦定理、勾股定理来建立边角的关系式.

二、利用三角函数的性质

在解答三角形最值问题时，我们往往要先根据题意设出三角形中未知的角、边；然后利用正余弦定理、勾股定理、三角函数的定义建立关于边角的关系式，并进行边角互化，将目标式用只含有边、角的式子表示出来；再通过三角恒等变换将目标式化简，即可运用三角函数的单调性和有界性求得目标式的最值.

解法1.设AD=DC=a，∠BCA=α，

则∠BAC=120°-α，

过点B作BF⊥AC于点F，过D作DE∥BF，以D为原点、AC为x轴、DF为y轴建立平面直角坐标系，如图3所示，

所以α-30°≤45°，α≤75°，

所以∠ACB的最大值为75°.

我们先根据三角形的特征建立平面直角坐标系；然后求得各个点、向量的坐标，以及各条线段的长，即可根据正弦定理、相似三角形的性质建立边角关系式，从而得到关于角α的三角函数式；再对其化简，就能根据正弦函数的有界性和单调性顺利求得角α的最值.

解法2.过点D作DE⊥AC，以D为原点，AC为x轴，DE为y轴建立平面直角坐标系，如图3所示.设AD=DC=a，∠BCA=α，则∠BAC=120°-α.

可得A（a，0），C（-a，0），B（4cosα-a，4sinα），

下同解法1.

解法1与解法2较为相似，都是通过建立直角坐标系，求得目标式的表达式，运用三角函数的性质求得最值.不同的是，解法2是根据直线的方程来求得线段DE的表达式，从而得到目标式.可见，三角函数的性质是求解三角形最值问题的重要工具.同学们在解题时，要注意将问题与角、三角函数的性质关联起来.

总之，解答三角形最值问题，要注意：（1）灵活运用正余弦定理、三角函数的定义、向量、直线的方程等来建立边角关系；（2）注意挖掘三角形中关于边、角的隐含条件；（3）学会运用发散性思维，将问题与解三角形、三角函数、圆、直线的方程等知识关联起来，以寻找到不同的解题思路.