低秩约束核非负张量分解在高光谱解混中的应用

刘雪松 姚 玲 彭天亮

（1.安徽新华学院移动通信实验室，安徽 合肥 230088；2.江西省水信息协同感知与智能处理重点实验室，江西 南昌 330099）

一、引言

高光谱遥感图像具有丰富的图谱信息， 因而被广泛用于军用，民用等领域[1-2]。 高光谱遥感图像中的像元通常是以混合像元的形式呈现[2-3]，这主要是因为地面环境的复杂多样和空间分辨率的各种限制。 而混合像元解混的目的就是从中提取出相应的地物信息（端元）， 及这些端元所占像元的比例（丰度）， 从而减少对先验知识的依赖。 非负矩阵分解（NMF）与线性混合的高光谱模型比较一致，因此在高光谱解混中被广泛应用。 近年来， 随着科研工作者开始利用核函数将经典的线性特征提取与分类识别的方法推广到一般的情况[4]，使得核函数理论和NMF 理论相结合得以实现，并且成为高光谱解混的重要研究方向。 目前基于核函数的核非负矩阵分解（Kernel NMF,KNMF）算法[5]主要有：核非负矩阵分解（no-pure-pixels KNMF,npKNMF）[6]， 该算法不包含纯像元。约束的核非负矩阵分解（Constrained KNMF,CKNMF）[7]， 双目标非负矩阵分解 （Bi-objective NMF）[8]等。 但是，基于传统的高光谱分解方法往往忽略了在典型的高光谱图像（HI）中观察到的光谱特征具有潜在变异性， 从而导致这种分解存在很大的误差[9]。 为了克服这一问题，通常根据数据所具有的不同属性， 将其分成不同的子空间， 进而得到高阶数据的推广应用，非负张量分解算法（Non-negative Tensor Factorization,NTF）。该方法构建的张量空间能够充分的挖掘数据中潜在的信息， 因此张量分解在许多领域得到广泛应用[10]。

1963 年，Tucker[11]提出了Tucker 分解算法。 所以， 矩阵-张量分解的光谱解混分为典型多态分解（Canonical Polyadic Decomposition，CPD）[12]、Tucker 分解（Tucker Decomposition，TD） 以及BTD 分解（Block Term Decompositions，BTD）[13]。张量结构存在于许多现实数据中，例如图像数据中的图像值，所以，HIS 自然地被表示并视为张量，因此，基于高光谱图像的张量分解得以广泛应用。 但是，它们将解决方案限制在低阶张量上， 而低阶张量往往不能代表现实世界场景的复杂性，同时，它们缺乏保证最终成员和丰度能被正确地分解在各自的张量中。 因为，高阶（＞2）张量的低秩分解倾向于捕捉张量结构中的同质性， 所以让低秩张量分解这种策略对HU 更有吸引力。 ULTRAV 这种算法[9]被提出，它通过正则化来施加低秩结构，其严格性由标量参数控制。 该方法与最先进的解释光谱变异性的解混算法相比具有更高的精度。 为了寻求张量低秩分解的广泛应用， 一些学者开始将张量分解在低秩上的表现与核函数相结合， 如Pan等提出了一种基于字典学习的双张量核表示方法（LRR-TTK）[14]，Xiao 等提出了基于核函数的低秩表示方法（RKLRR）[15]。

但是，上述方法都存在以下问题：基于核空间下的NMF 模型存在参数难以确定问题；基于张量分解下的解混算法复杂度高，并且运行效率低。 因此，有必要针对非线性光谱混合模型存在参数难以确定、自身复杂度及高光谱图像（HI）中的光谱特征具有潜在变异性等问题来深入研究高光谱解混算法之间的联系，改善解混算法性能方面的应用潜力。

二、基于核方法的NMF

（一）线性混合NMF 解混模型

目前，较为应用最广泛的混合像元分解模型是线性光谱混合模型，该模型表示如下：

其中X=[x1,x2, …，xM]T为单个像素点的接收谱传感器信号，M 为谱通道数，（·）T是转置。 A 是端元矩阵，其大小为M×P, P 是端元的个数，S=[s1,s2,…，sp]T为丰度向量, n 为相应的噪声向量。 写成矩阵形式可以写成如下：

类比上述式子的推导方法， 将其思想引入到多项式核非负矩阵分解中， 同样可以得到多项式核张量非负矩阵分解算法（PLKTNMF）的加性更新规则。

（二）核空间下的线性核NMF 模型

核方法的一般过程为首先将模式分析算法调整为输入向量內积的形式，然后将分析算法与核函数相结合，利用核函数计算特征空间中两个输入向量映射的內积[16]。 其表示形式为：

治疗前两组患者的神经功能缺损评分差异没有统计学意义（t=0.084，P=0.933）。甲组患者治疗后的神经功能缺损评分小于治疗前，差异有统计学意义（t=28.071，P=0.000）。乙组患者治疗后的神经功能缺损评分小于治疗前，差异有统计学意义（t=17.109，P=0.000）。治疗后，甲组患者的神经功能缺损评分小于乙组，差异有统计学意义（t=11.687，P=0.000）。如表2。

通过前面更新规则算法的分析，进而可得出基于加性和乘性更新规则的多项式核NMF（PLKNMF），C为常数。

（三）核空间下的多项式核NMF 模型

多项式核理论：k（an,z）=（zTan+c）d，其中c 是非负常数，c 是用来平衡核函数中从高阶到低阶项的影响。 对其求梯度得：

将NMF 理论和核函数理论结合，得到核NMF 理论[17-18]。 其代价函数为：

（1）加性更新：

三、张量分解模型及其改进算法

（一）NTF 模型

其中Sx1是张量S 的模1 展开，1p和1h1×h2表示一个p 维向量和一个h1×h2大小的矩阵，每个元素为1。

其中，A∈ℜhl×p是端元矩阵，Sn是在A 中对应的系数向量，n 为噪声。h1,h2,h3,p 分别是高光谱数据的长度、宽度、波段数和端元数。 对于整个HSI，它被认为是一个三维张量X， 端元是一个二维矩阵A，因此，丰度S 和噪声n 也应该是张量的形式。 它可表示为：

其中Sx3是张量S 的模3 展开。 因此，在NTF 框架下的目标函数为：

根据LMM，每个像素由所有端成员的线性组合形成。 因此，已知的高光谱数据X∈ℜh1,h2,h3，X 中的每个像素可Xn以表示为：

（二）低秩张量解混算法

曾有学者为了解决HU 问题，捕获HIS 的低维结构，在NTF 的基础上提出了一个有效策略将低秩结构强加给丰度张量和端元张量，通过在四维端元张量上引入了一个新的低秩正则化，该张量包含每个像素的一个端元矩阵，以考虑端元的可变性[9]。 低秩张量分解的代价函数为：

为了有效地施加低秩约束，实现规律性，并保持建模的小变化和细节的灵活性。参考已有学者通过引入新的正则化项来修改式（13），新的代价函数产生了一种迭代算法[9]，称为低秩张量正则化算法（ULTRAV）。在每次迭代中，ULTRA-V 更新丰度和端元张量的估计以及它们的低秩近似。 其代价函数为：

四、基于核函数与张量模型的KTNMF 算法

考虑核NMF 和低秩张量分解算法在高光谱解混中的优势，所以，我们将张量模型引入到核非负矩阵分解中去，将X 和A 以张量形式映射到特征空间H，得到和AΦh1,h2,L,P， 此时端元是一个4-D 张量。则得到KTNMF 的代价函数模型：

其中，N1，N2，L 分别为HSI 的长、宽和波段数；P 为端元数。 对端元张量和丰度张量求导，得到梯度公式如下：

假设在正午时刻太阳的方位角为A，如建筑物在12时刻的向光面坡向为 [A-90，A+90]，据此分别提取不同时刻的建筑物背光面轮廓(以下以提取时刻为12∶00 的背光面轮廓为例，其他时刻问题不重复说明)。选择 [Spatial Analyst 工具]→[地图代数]→[栅格计算]工具，在对话框中输入公式：((" aspect 12">=90)&("aspect 12"<=270))&("aspect 12">= 0)，计算12∶00时方位角为180的建筑物背光面轮廓，如图6。

同理，为了优化上述问题，根据梯度下降理论，得到基于线性核张量非负矩阵分解算法（LKTNMF）的加性更新规则：

施工准备阶段的技术准备工作能够为施工创造有利的条件，以达到施工任务的顺利进行。施工准备阶段的技术管理工作的内容及基本任务是为了分析建设工程特点、进度和要求，摸清施工的客观条件，编制施工组织设计并制定合理的施工方案，从而及时地从技术、物资、人力和组织上为工程施工创造一切必要的条件，保证施工过程的连续均衡进行，保证工程在规定的工期内交付使用，所以施工的组织指导工程项目应加强施工组织设计的编制组织工作，明确对参加编写的人员的分工，做到责任到人，最后汇总和修改定稿，以此达到施工组织设计在编制依据，编写格式和基本内容上的统计，最终实行标准化的管理。

加性更新规则虽然简单，但是其收敛速度与步长取值有关，并且步长的确定比较困难，为此，我们对加性更新规则进行改进，进而提高收敛速度，避免参数的选择。 令式（18）中的进而可得出LKTNMF 丰度张量的乘性更新规则：

实验选取的高光谱图像空间分辨率为64×64， 端元数为6。 实验中七种算法的初始化都是通过VCA-FCLS进行的。 实验中， 信噪比分配给10dB，20dB，30dB 和40dB。 结果如图2 所示。 从整体趋势来看，几种算法的SAD 和RMSE 随着信噪比的增加而降低，混合像元分解的结果越来越好。 与其他五种算法相比，PLKTNMF 和LKTNMF 在所有情况下都能得到最小的SAD 和RMSE，所以其对噪声有较强的鲁棒性，算法性能最优。在SAD 部分，L1/2NMF 较好，MV-NMF 和LKNMF 次之，ULTRA-V 和PLKNMF 最差。在RMSE 方面，L1/2NMF 较好，PLKTNMF 和ULTRA-V、LKNMF 和MV-NMF 相差不大，PLKNMF 最差。 信噪比在20dB 左右是一个临界点。

上述模型求解的目标函数如下：

用水总量方面，2013年全市实现GDP 14 500亿元，同比增长11.97%，工业增加值达到5 889亿元。在全市经济保持持续增长的情况下，近三年来用水总量基本持平并呈下降趋势，全市原水供应总量由2011年的19.55亿m3下降到2013年的19.07亿m3，下降2.5%。2013年全市自来水供应总量为15.91亿m3，与2011年相比下降1.49%。

在园林景观的设计中，园林植物配置应与周边环境氛围相结合，例如，学校的景观设计，应根据学校的环境，选择桃树和李树作为主要树种，如紫叶李、桃树等，以颂扬教师默默耕耘、无私奉献的精神；政府机关的设计应根据政府机关的环境景观特点，选择荷花和竹子作为主要树种，以表达公务员出淤泥而不染、全心全意为人们服务的精神；居住区的景观设计应根据居住区的环境景观特色，选择柏树和梧桐树作为主要树种，以代表人们的高洁庄严、长寿无疆的寓意。

再由加性更新规则，设置步长，简化计算和参数选择，推导出相应的乘性更新规则如下：

截至2018年底，联盟网站共发布各类新闻300余条，联盟微信公众平台总用户数为9434人。发布2013～2017年《联盟年报》共5期，《联盟简报》共17期，《联盟海外BIM简讯》共11期；联盟每年发布年报1期，每季度定期发布简报及海外BIM简讯各1期，介绍联盟工作情况及国内外BIM最新资讯动态、科研进展、应用实践等。

5)综合木垫板对锚杆预紧力损失、转矩转化效率、预应力扩散效果影响的研究结论，建议在井下锚杆托盘下尽量不使用木垫板，以免大幅度降低支护效果。

总结上述描述，算法1 中给出了核张量非负矩阵分解（KTNMF）算法的流程，另外，在算法中设置了两个终止条件，第一个是误差容忍程度，如果算法在实验中连续迭代误差的结果都在容忍误差之内，则迭代终止。第二个是迭代次数，当迭代次数达到上限，迭代也会停止。

Algorithm1：KTNMF 算法伪代码

五、实验结果与分析

实验方面，本节分别利用一个模拟的高光谱数据和一个真实的高光谱数据验证所提算法的性能，并分别与L1/2NMF[19]、LKNMF[16]、PLKNMF[16]、MV-NTF[20]和ULTRA-V[9]方法获得的结果进行比较，其中，L1/2NMF、LKNMF、PLKNMF 是基于NMF 基础作框架， 而MVNTF 和ULTRA-V 则是基于NTF 基础作为框架的。所有的算法都是采