巧思维切入,妙视角变式——以一道2023年高考题为例

江苏省西亭高级中学 (226371) 羌 丽

函数及其综合应用问题一直是历年高考中的一个重点考查对象,如函数的概念与图象,基本性质(单调性,奇偶性、周期性、对称性等),函数的零点及其应用等,呈现方式可以是选择题或填空题,难度可以是简答题型,也可以结合奇偶性,周期性,对称性等综合考查,难度中等,或者考查函数的零点等相关问题,结合函数的图象,运用数形结合,难度一般比较大.

1.真题呈现

(2023年新高考Ⅰ卷·4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是( ).

A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞)

2.问题剖析

此题以含参的复合函数在给定区间上的单调性为问题场景,借助参数的取值范围的确定来创设问题,难度中等.特别地,函数的基本性质主要包括奇偶性、单调性、周期性、对称性等众多相关的基本性质,具体问题设置时,有时单一性质直接考查,有时多个性质综合考查.而涉及复合函数的基本性质问题,也是高考考查中的一个重点与难点,要加以高度重视.

具体解决此类复合函数的基本性质问题,直接思维就是抓住习惯思维,利用复合函数的基本性质加以应用;而提升思维就是抓住创新思维,利用导数法加以应用;而创造思维就是抓住辩证思维,利用特殊值验证法加以排除与选择.众多的思维视角,都为问题的解决与应用创造更多的机会.

3.真题破解

解后反思：借助常规思维视角,合理分拆题设条件中的复合函数,利用复合函数的单调性,结合指数函数、二次函数的图象与性质加以综合,合理构建相应的不等式,进而得以确定参数的取值范围,这是解决此类问题最为常见的一种技巧方法.熟练掌握基本初等函数的基本性质以及复合函数的性质,是解决问题的理论基础.

方法2：(导数法)依题函数f(x)=2x(x-a),求导可得f＇(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则有f＇(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2≤0在区间(0,1)上恒成立,即2x-a≤0在区间(0,1)上恒成立,可得a≥2,故选D.

解后反思：借助创新思维视角,利用原函数在对应区间上的单调性,转化为相应的导函数在对应区间上取值的非负(或非正),合理构建对应的不等式,结合不等式的求解以及变量的取值限制,得以确定参数的取值范围.导数思维是处理函数的单调性问题中比较常用的一种技巧方法,具有较高的应用价值与普遍性,要熟练掌握函数的求导公式以及相关的综合应用.

方法3：(特殊值验证法)依题函数(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则必满足f(0)>f(1),即20>21-a,亦即0>1-a,解得a>1,对比各选项加以验证,只有选项D满足,故选D.

解后反思：借助特殊值思维视角,是破解选择题最为特殊的一种技巧方法,也是辩证统一思维的一种具体形式,在一些相关选择题的应用中有奇效,可以优化逻辑推理,减少数学运算.特殊值法适用于一些题目中含有字母或具有一般性结论等的数学客观题,主要是通过对问题中的特殊情况的研究来判断问题的一般性的规律,做到“小题小做”或“小题巧做”,快速实现问题的破解.

4.变式拓展

变式1设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递增,则a的取值范围是( ).

A.(-∞,0] B.[-2,0)

C.(0,2] D.[2,+∞)

解析：依题函数f(x)=2x(x-a),求导可得f＇(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递增,则有f＇(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2≥0在区间(0,1)上恒成立,2x-a≥0在区间(0,1)上恒成立,可得a≤0,故选A.

变式2设函数f(x)=log2x(a-x)在区间(0,1)上单调递增,则a的取值范围是( ).

A.(-∞,-2] B.[-2,0)

C.(0,2] D.[2,+∞)

5.教学启示

函数中有图象的翻折变化及对称变化问题,往往要利用特殊值、函数的奇偶性、单调性,以及极值点、零点,借助极限思想等工具判断或画出函数的图象来求解,这是考查此类函数及其应用问题的重点.此类问题解题的习惯性思维就是问题的“直译”,进而直接利用与之相关的知识与方法加以分析与应用.本题中的函数单调性就是破解问题的“习惯”,利用复合函数的单调性切入与应用,是解题的基本技巧与策略.而且解题的创新性思维往往是问题的“根本”.一般要利用与之相关的知识、工具等来分析与处理,跳出问题的局限,可以使得问题的解析更加流畅、简捷.本题中的函数单调性可以转化为对应导函数在对应区间上取值的非负(或非正)的情境,解题更有优势.