高职考数列命题研究与课堂教学探索

陶彩南

【摘要】数列是一种特殊的函数，是反映自然规律、刻画离散现象的基本数学模型，是认识连续现象与微积分学习的基础，在日常生活中有着广泛的应用.其研究过程还蕴含了丰富的数学思想方法，对培养学生数学学科核心素养有着不可忽视的作用，因此数列不仅是中职数学教学的重要内容，也是历年高职考重点考查的内容.基于此，文章分析了近五年浙江省高职考数列试题考查的内容和命题思路，明确核心考点，明晰命题轨迹，把握试题难度，并给出了一些数列教学的建议，以期助力课堂精准施教.

【关键词】高职考；数列专题；考查内容；命题思路；教学建议

引 言

高职考中的数列试题紧扣《中等职业学校数学课程标准（2020年版）》（以下简称《课标》），围绕求数列通项和数列求和两类基本问题，遵循“基础性、应用性、创新性”的命题原则，落实“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能.综观近五年的浙江省高职考数学试卷中对数列内容的考查，考点分布合理，题型分值稳定，难度层次分明，思想方法突出.在全面考查的同时突出了主干内容，在注重基础的同时着力情境创新和实际应用，多层次、多角度地考查了学生的数学核心素养，为中职数学教学发挥了良好的导向作用.

一、命题内容分析

（一）考点分布

近五年浙江高职考数学试卷中数列考查的知识点具体如表1.试题通常以等差数列、等比数列或可转化为等差数列、等比数列的数列为依托，考查内容涵盖数列项与和的关系；等差（比）数列的判断和性质；等差（比）数列的通项公式、前n项和公式；利用递推关系求通项；数列求和；数列的简单应用等.

（二）题型分值

近五年浙江高职考数列内容考查均有一道填空题和一道解答题，填空题4分，解答题10分，选择题分值为3分.每年数列内容考查总分值在14～17分之间，占比10%左右，分值基本稳定.

（三）难度层次

2019年开始数列内容命题方向虽略有变化，但考查难度层次仍然分明.填空题、选择题仍以容易题为主，填空题位于试题靠前位置，主要考查等差（比）数列的通项以及它们的中项等内容；而解答题以较难题为主，一般设2～3个小题，基本上安排在压轴题或倒数第二题的位置.

（四）思想方法

数学思想和方法是数学知识在更高层次上的概括.近五年高职考试题在加强对等差数列和等比数列的概念、通项公式与前n项和公式等基础知识、基本技能考查的基础上，也加强了对数学基本思想和基本方法的考查.在考查求数列通项和数列求和问题时，主要运用了函数与方程思想、分类讨论思想、化归与转化思想等，重点考查公式法、累加法、构造法、待定系数法等求数列的通项，重点考查公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法等数列求数列的和，充分体现了考查学生数学核心素养的要求.

二、命题思路分析

探究数列试题的命制规律，一方面能帮助教师分析试题的来龙去脉，另一方面能帮助学生明晰试题特点，从而有效提升教师的课堂教学水平，提高学生解决问题的能力.笔者通过对近五年高职考数列试题进行分类整理，发现数列试题紧扣《课标》，着意将数学知识、能力和素质考查融为一体，全面检测学生的数学学科核心素养.试题强调章节特点，“关注基础、突出应用、适度创新”，很好地发挥了检验和选拔的作用.近五年高职考数列从“基础性、应用性、创新性”命题原则出发，围绕“求数列通项与数列求和”两类基本问题进行命制，命题方向可以归纳为以下三种类型：

（一）立足两类基本数列，突出基本量思想

立足两类基本数列的解答题，解题思路相对比较简单.只要熟练掌握两类基本数列的通项公式、前n项和公式，利用基本量思想构造方程（组）就可以进行解答.求解这种类型题目时，学生需要具备一定的运算求解能力，中职生略有欠缺，教师在平时教学中应加强简化数列运算的策略指导.

（二）建构数列模型，强调应用性

数列是反映自然规律的基本数学模型，在日常生活中存在大量与数列密切相关的问题，如银行计息问题、人口增长问题、植树造林问题、养老金问题等都可运用数列模型进行分析，并予以解决.《课标》指出，中职数学课程具有基础性、发展性、应用性和职业性特点，为此教学中要突出数学的应用价值.2019年、2021年浙江高职考数学试题都涉及了数列的应用问题.数列应用以生产、生活实际为试题情境，要求学生运用数列相关知识、思想和方法对实际问题建构数列模型，进而解决问题.重点考查学生的阅读能力、推理论证能力、抽象概括能力和运算求解能力，提升学生数学运算、数学抽象、数学建模等数学核心素养.

例2 （2019·浙江高职考·34）体育场北区观众席共有10500个座位.观众席座位编排方式如图1所示，由内而外依次记为第1排、第2排、……，从第2排起，每一排比它前一排多10个座位，且最后一排有600个座位.

（1）北区观众席共有多少排？

评析 本题以教材引例為背景，建立等差数列模型，难度中等，不仅考查等差数列的相关概念、方程思想，而且考查学生的建模能力和运算求解能力.

第（1）小题主要利用等差数列的通项公式、前n项和公式构造方程组求解；第（2）小题利用数列递推公式，通过赋值依次求出数列的项.

应用类数列的解题思路：首先仔细阅读材料，认真理解题意；接着根据题设条件，建立相应的数列模型（如等差数列模型、等比数列模型、等差数列与等比数列综合模型、递推数列模型等）；再利用相关数列知识定型解模；最后将所求结果还原到实际问题中进行检验.其中建模是关键，先要分析研究实际问题中对象的结构特点，再找出所含元素的数量关系，从而确定数列模型.解模是保证，解模的过程就是运算的过程，根据所确定模型选用合理方法进行求解.

（三）引入图形数列，凸显创新性

2020年数列解答题出现图形数列，2023年再次出现，图形数列已成为高职考数列命题的一个方向.学生虽接触过三角形数、正方形数、谢尔宾斯基三角形等一些图形数列，但碰到此类题型，学生还是比较畏惧的.图形数列以图形命制数列问题，它是将一些数据按照一定的规律以图形方式呈现出来.解题关键是充分挖掘图形所提供的信息特征，读懂图形中蕴含的数与数之间关系，通过观察、分析、归纳和猜想的方法，把图形中的问题转化为数列问题求解.主要考查学生的数学语言运用能力、推理论证能力以及数据处理能力.

图形类数列解题思路：寻找图形规律是关键，运用数列知识是基础.图形中的数列问题，一般是由于图形反复的相似的作图引起的，为此处理这类问题的一个关键是寻求第n+1次作图与第n次作图之间的数量关系，导出这个数量关系才有可能判断这数列是等差还是等比数列或是其他形式的数列.

三、教学探索

基于上述命题分析，笔者对于数列的教学提出如下建议：

（一）明晰命题特点，把握复习方向

高职考试题既是服务选材的“尺”，又是引导教学的“旗”.因此，教师要深入研究高职考试题，探寻命题内容、难度和题型等线索，透过现象看本质，总结规律求推广.通过命题方向分析，发现近五年高职考数列解答题主要侧重上述三种类型题型方向，复习时必须重点关注，不仅要让学生了解三种类型数列问题，掌握其解题思路和求解策略，更要培养学生应用函数与方程思想、分类讨论、化归与转化等数学思想分析、解决问题的能力.除此之外，考虑数列试题的形式多样，复习时还要关注数列与其他主干知识交汇的命题方向，如将数列与函数、方程、不等式等知识有机地结合起来，拓展数列与其他数学知识间的内在联系，同时要适度关注以“数表”为载体的数列问题、新定义数列的研究等，以提高学生综合运用数列知识解决问题的能力.

（二）切实回归课本，夯实基础知识

通过对近五年高职考数列试题分析，部分高职考数列试题在课本中均能找到“题根”，有对例题、习题改编而成的，也有对例题、习题拓展或延伸的等结论进行改造.一方面要重视课本上一些数学概念的形成过程，挖掘其所蕴含的数学思想方法.如数列试题中常考的累加法、错位相减法等方法，都源于课本中等差数列的通项公式、等比数列前n项和公式的推导方法.复习时，教师要强调这些公式产生时涉及的数学理论推导思想与方法，让学生领会这些方法的核心思想；另一方面要加强对课本例题、习题的研究与再创.课本中的例、习题都由编者经过精挑细选，内涵丰富，且绝大多数课本题具有可变性.教师可通过一题多变，让学生系统、全面地掌握知识，让学生在典型例题习题的变式、拓展、迁移和运用中实现数学思维和能力的提高.

（三）注重问题导向，提高关键能力

研读高职考数列真题，发现核心素养导向下的数列高职考试题需要学生扎实的数学功底和必备的关键能力.由于学生对解决数列问题所需的数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养相对欠缺，导致学生对数列学不好也考不好.因此，教学中教师要以上述问题为导向，通过教学策略优化提升学生关键能力.

1.强化运算策略，提高学生运算求解能力

教师应引导学生重视数列一章基础知识和基本技能，强化通性通法在解决数列问题中的应用，注重基本运算，提高运算速度和准确率；引导学生围绕所求目标思考探求，通过观察与已有知识或方法的联系，把握运算方向，提高运算的敏捷性；在数列运算中注重数学思想方法与运算技能的有机结合，优化运算过程，提高运算的高效性.

2.合理利用素材，培养学生推理认证能力

逻辑推理的素材广泛存在于教材中，教学中教师要合理利用这些素材培养学生逻辑推理意识，充分挖掘与实际生活相关的逻辑推理素材，创设需要使用推理的数学情境，引导学生通过观察、归纳、类比，猜想数列通项，培养学生推理论证能力，促进学生理性思维发展.

3.加强审题策略和数列模型意识指导，培养数学建模能力

解决数列应用问题对中职生的能力要求较高，绝大多数学生对数列应用题存在一定的畏惧心理，尤其是审题和建模两个环节.针对部分学生不会审题或审题不到位，教师可利用总分关系解构文本内涵，强化学生阅读理解能力和数学语言能力培养；通过数列微专题，指导学生熟练掌握数列的几种常见模型及其特点，教学时重点在“如何让学生想得到”上下功夫，提高学生运用数列的知识分析和解决实际问题的能力.

结 语

总之，数列试题千变万化，但考查的数列基本知识、思想方法和思维策略不会改变，教师应根据数列章节特点，优化课堂教学策略，提升学生学好数列的关键能力，实现“建构知识、提升能力、培育素养”的价值追求.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.中等职业学校数学课程标準（2020年版）[M].北京：高等教育出版社，2020.

[2]崔绪春.对“数表、图形型”数列通项公式的研究与思考[J].数学教学通讯，2015（24）：57-58，61.

[3]章建跃.《章建跃数学教育随想录》[M].杭州：浙江教育出版社，2017.