立足基础，多元表征，辨析对比，感悟算理

袁慧

【摘   要】教材的改变引发了对学生算理理解的后测。测试结果显示，很多学生将笔算乘法固化成了程序性的计算流程。在反思已有教学的基础上，教师尝试借助同一算式不同表征间的勾联、不同算式多元表征间的辨析对比，拓展“两位数乘两位数”的教学，发现通过学习，学生更好地理解了算理、掌握了算法。

【关键词】多元表征；异中求同；算理理解

一、教材的一处变动引发的思考

2023年新修订的人教版教材在三年级下册“两位数乘两位数”单元的“笔算乘法”中重现了归纳计算法则（如图1）。而在这版教材之前，依据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》编写的人教版教材基本都未对计算法则进行整体梳理。这些教材通常只是以人物对话的形式呈现小组讨论的要求，让学生在互相讨论的基础上，归纳出乘数是两位数的乘法的计算步骤，总结笔算乘法的计算法则。不过，早在2003年，浙江省使用的教材（浙江教育出版社出版，以下简称“省编教材”）就已经对计算方法进行了归纳呈现（如图2）。

仔细研读对计算法则有整体梳理的相关教材，发现：从表述上看，“省编教材”的计算法则明确表明要拆分第二个因数，2023版人教版教材的计算法则中则没有这个规定，既可以拆分第一個乘数，也可以拆分第二个乘数。如今教材已经更新，那么教师的教学行为有没有发生变化呢？

二、教学后测引发的教学反思

笔者对某区城镇小学和农村小学共200名四年级学生进行了问卷调查，考查学生对“两位数乘两位数”算理的理解情况，调查问题如图3所示。

从调查结果看，城镇小学和农村小学四年级学生的差异不大，这说明教师的教学行为基本相似。约90%的学生能看懂图3的竖式计算，其中约50%的学生认为这样做是错误的，因为这样计算违反两位数乘两位数的计算方法。有近100名学生认为这种做法是正确的，其中约44%的学生能正确表述这种做法的算理，约39%的学生是通过乘、除法的验算确定答案正确才认同这种做法的，还有约17%的学生无法表述认同的理由。

从上述调查结果分析中发现，很多学生已将笔算乘法固化成了程序性的计算流程，他们没有真正理解笔算乘法的算理，不能灵活地应用算理解决问题。这样的结果与教师忽略对算理的理解，过于注重乘法计算方法的规范性有关。那么，如何破解笔算乘法中的教学难点呢？对此，整数乘法的历史发展提供了启示。历史上整数乘法的计算方法多样，其本质是依据位值原则、数的组成与分解、运算规律和性质，将多位数乘法转化为表内乘法口诀，与拆分哪个因数、从哪一位上乘起无关。［1］因此，有必要让学生“创造”出解决问题的多种方法，让他们在对方法的分析、对比、联系中理解算理、掌握算法。

三、基于理解算理的教学尝试

为了让学生真正理解乘法“先分后合”的运算本质，避免他们按照笔算乘法程序性的计算流程操作，在新授“两位数乘两位数”时，可以创设探究两位数乘两位数算理的系列学习活动，还可以在学生掌握竖式计算方法后，安排图式帮助他们理解整数乘法“先分后合”原理的拓展内容。本次尝试是在学生掌握竖式计算方法后开展的拓展内容教学，教学时强调立足知识基础，引导大胆创新，通过图式表征、意义表征和形式化表征的联系，促进学生对算理的深度理解。

（一）联系学习经验，激活认知基础

教学中应立足知识基础，从学生已有经验出发，激活知识的联结点，为后续学习知识方法的联系、迁移、转化做好铺垫。本环节按照“竖式表征—图式表征—横式表征”的流程，通过对三者的比较，帮助学生理解算理的一致性，引导学生从意义和形式两个方面初步感知乘法分配律。

1.竖式计算，回顾旧知

（1）布置任务：请你用竖式计算“23×14”，并说说每一步表示什么。

（2）学生用竖式计算后进行反馈。

师：谁来说说你是怎样计算的？积中的每个数表示什么意思？

生：92是由23×4得到的，表示4个23；230是由23×10得到的，表示10个23；最后把两部分积加起来，得出322。

2.动手操作，图式表征

布置任务：让学生在点子图上分一分，把竖式的计算过程表示出来。

3.观察比较，建立联系

出示图4，全班交流讨论。

师：图4中的竖式计算和点子图有怎样的关系，两者之间有什么相同点？

生：都是把14分成10和4，得到4个23和10个23来计算的。

生：都是运用“先分后合”的方法，先把两位数乘两位数转化为两位数乘整十数和两位数乘一位数，再把两部分的积加起来计算的。

师：竖式计算和点子图都可以用横式“23×14＝23×（10＋4）＝23×10+23×4”来表示。

（二）基于最近发展区，创生生长点

数的运算中，很多时候是算法多样、算理一致。因此在计算教学中，应鼓励学生从不同的角度看待问题，追求算法的多样性，探寻算理的一致性。

1.经历“点子图—竖式—横式”的表征过程

（1）教师提问：刚才我们将点子图横着分，此外还可以怎么分？请你试一试，完成下面的学习任务单（一）。

学习任务单（一）

1.分一分，先在点子图上分一分，并写出每部分所表示的含义。

2.记一记，将分的过程分别用竖式和横式记录下来。

3.比一比，不同记录方法有什么相同的地方。

（2）全班交流反馈。

在前面把14分成10和4的基础上，学生能想到也可以将23分成20和3，于是他们将点子图纵向分割成两部分（如图5），左边部分表示20×14，右边部分表示3×14。学生在列竖式计算时，自然会调换两个乘数的位置，将其变成标准竖式，并动手圈一圈，将竖式中每一部分积与点子图对应起来。

教师要求学生不交换乘数的位置，用竖式计算“23×14”，思考怎样算出“42”和“280”，“逼”学生跳出标准竖式的固有模式。学生通过圈一圈，发现可以在竖式上拆分第一个乘数，用第一个乘数个位上的“3”乘第二个乘数14得到42，用第一个乘数十位上的“2”乘第二个乘数得到280，即“28個十”。最后，教师引导学生比较点子图和两个乘法竖式，得出横式： 23×14＝（20＋3）×14＝20×14＋3×14。

2.对比两种分法，建立联系

教师引导学生思考：比较计算“23×14”的两种竖式算法、两种不同的点子图分法以及两种不同的横式记录，你们有什么发现？

基于前一环节的学习经验，学生很容易在这一环节进行迁移应用。教师要引导学生分别从竖式、点子图、横式表示分的过程及结果，进一步建立三者之间的联系。同时，对两种不同的分法进行对比，找出其相同点：（1）分法相同，将一个乘数分成整十数和一位数，得到两部分的积；（2）计算方法相同，都是括号外面的数分别与括号里面的数相乘。本环节通过两个方面的引导，帮助学生寻找共性，为后面构建计算模型埋下伏笔。

（三）基于算理一致性，分析·解构·重组·迁移

建构主义理论认为，学习过程是学生借助已有知识经验去同化、顺应新知识的过程。学习了前面两种计算方法后，学生可以借助点子图、横式、竖式三种表征形式深入理解算理。教师引导学生打破已有的认知结构，对知识进行重组，采用合二为一的新分法，将分的过程由两步变为四步，分的结果由两个变为四个，还原竖式原有的结构，看清算理算法的真面目。

1.改变分法，多元表征

产生新猜想：在计算“23×14”时，我们对其中一个乘数进行了拆分，相应的点子图也产生了两部分的积，得到两个不同的横式记录。如果将两个乘数同时进行拆分，可以用怎样的横式来记录？

师生讨论得出：23×14＝（20＋3）×（10＋4）＝？

师：想一想，现在将两个因数都进行拆分，那点子图又该怎么分割呢？

生：将点子图横竖一起分，也就是将14分成10和4，将23分成20和3。

请你试一试，完成下面的学习任务单（二）。

学习任务单（二）

1.在点子图上按照23×14=（20+3）×（10+4）的方法分一分。

2.用算式写出点子图上每部分所表示的含义。

3.用竖式、横式记录分的过程。

2.集体交流，突破难点

师：我们一起来讨论学习任务单（二）。

生：我先在点子图上把14分成10和4，把23分成20和3，得到四部分的积。每部分的积我都算出来了，但我不知道怎么用竖式来表示。

生：我根据点子图上的四部分列了四个竖式，最后又写了一个加法竖式，一共列了五个竖式。

生：我觉得可以把这五个竖式合并成一个长的竖式。

师生合作，将长竖式中的每一个积与点子图上四部分的积、学生列的五个竖式一一对应（如图6）。

师：那横式“23×14＝（20＋3）×（10＋4）”该怎么计算，结果是多少呢？

师生合作，将这四部分的计算过程依次写在横式后面，再求出结果，并引导学生用连一连的方式表示横式中的每一部分是括号中哪两个数相乘得到的积，渗透多项式的乘法。

3.反思比较，建立模型

师：这三种不同表征方式有什么共同点？

引导学生理解乘法计算的算理，就是把两位数拆分为整十数和一位数，可以拆其中一个乘数，也可以拆两个乘数，将其变成四部分的积来计算两位数乘两位数，把各部分的积合并起来就是最后的结果。

本环节由两步跨越到四步，不仅是一个量变的积累，更是一种质变的飞跃。采取“图式表征—竖式表征—横式表征”的交流方式，借助直观图式帮助学生理解横式、竖式的四步记录方式，能够帮助学生构建初步计算模型。

（四）建构算理一致性下的计算知识与方法体系

在计算两位数乘两位数时，古今中外的很多方法都由四部分构成。为了让学生进一步理解算理、算法的一致性，教学中可以介绍四步计算的多种方法，加深学生的理解。

1.沟通古今，建构模型

教师利用课件演示将点子图换成长方形图，让学生理解求一共有多少个圆点就相当于求长方形的面积，求大长方形的面积可以先求出四个小长方形的面积，再求和，其中四个小长方形的面积相当于长竖式中四部分的积。

全班交流讨论：古今中外还有很多方法也是分成这样的四部分来进行计算的，如格子乘法和画线算法（如图7），如何在这两种方法中找到长竖式中的四个积？在这两种算法中最终又将如何求呢？

教师以面积图和长竖式为学习支架，让学生理解格子乘法和画线算法，建立多种计算方法的内在联系，理解“先分后合”的运算本质。

2.比较升华，体会算理一致性

师：我们以“23×14”为学习材料，讨论了两种短竖式和一种长竖式，在点子图中找到了每种算法的计算过程，并用横式将竖式计算的过程分别记录下来，还发现格子乘法和画线算法也是分四部分来进行计算的。那么，这些方法有什么共同点？你喜欢用哪一种？如果要推荐一种算法给明年的三年级同学，你会推荐哪一种？为什么？

每一种整数乘法的计算方法都能在历史上找到原型，对格子乘法、画线算法的原型进行分析能够加深学生对计算模型的认知。实际上，整个教学过程都是围绕乘法计算在历史上的原型进行设计的，本拓展内容教学的目的是让学生在对比联系中更好地理解算理、掌握算法。因此，教学中让学生对不同算法的多种表征进行比较，能够帮助他们在表征的联结中真正理解其背后的算理。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：通过数学学习，要让学生体会数学之间联系，并运用数学的知识与方法分析问题和解决问题。“两位数乘两位数”拓展内容的教学立足学生的已有认知，打破了知识间的阻隔，建立了知识间的内在联系，加深了学生对两位数乘两位数算法背后算理的理解。其实，无论是整数乘法，还是小数、分数乘法，其算理在本质上是一致的，因此，在设计教学时应注重引导学生感悟知识与方法之间的联系，引领学生对算理的一致性进行解读与理解，帮助学生构建互相贯通的知识体系。

参考文献：

［1］潘丽云.小学数学教师提升数学史素养的意义与路径：以“竖式乘法”教学为例［J］.教学月刊·小学版（数学），2021（6）：14-18.