高考数学中的梦画诗歌

郭慧清　洪建明　曾劲松

编者按：2023年《中国数学教育》高考专刊邀请来自全国13个省、市的权威专家撰稿，分“命题分析”和“解题分析”两个专版，按“整体评价”和“专题评价”两个层次，以全国卷为主，兼顾地方卷，突出对高考命题改革新变化的分析，并从中归纳教学新导向，辅助教师把握新高考的命题理念和考查要求，促进学生理解高考试题的考查要点和解题方向. 文章中所用高考试题如有出入，以官方发布为准. 本专题文章持续刊登，欢迎广大教师围绕本专题内容踊跃投稿！

摘  要：对2023年高考数学试题进行整体梳理，从基础性、综合性、应用性和创新性等方面对试题进行特点分析. 通过对典型试题的分析，揭示试题的知识背景，挖掘试题所蕴含的思想方法；以精选试题作为题例进行解法分析，重视试题解答的通性通法，强调各种解答之间所表现出的数学联系性. 并在此基础上结合实例为高考复习备考提供策略与建议.

关键词：高考试题；试题特点；解题分析；复习建议

每年的高考数学试题都被人们广泛关注，也不断有人对其作出分析与解答. 但是，我们到底要关注什么？怎样分析与解答才能获得试题对于数学教与学的确切启示？

2023年高考数学试题重视对数学概念与原理的考查，突出检验学生对数学思想方法的领悟程度，从基础性、综合性、应用性和创新性等多角度反映学生的数学思维水平，测量学生的“四基”“四能”与数学核心素养. 试题力求反映数学内容的特殊与一般、联系与综合等特征，对今后的高中数学教学具有启发性，也为一线教师评价学生的数学学业水平提供了重要参考.本文通过对2023年高考数学试题的解题分析，力求阐明2023年高考数学试题的主要特点，并以此为2024年高考数学备考提供参考建议.

一、试题特点分析

1. 强调基础性

数学知识的结构化与数学内容的系统性决定了高考数学试题必须强调基础性. 因此，从数学的基本概念与基本模型、基本方法与基本思想出发探求试题的解题途径，是解题思维的起点与基本路径.

分析：此题考查集合的运算，对交集意义的理解，以及一元二次不等式的解法. 通常的做法是先求出不等式[x2-x-6≥0]的解集，再找出集合M与集合N的公共元素，并由此得到答案. 这样做虽然可以得到正确的答案，但耗时较多，也没有体现出对交集意义的深入理解. 如果注意到求[M?N]的本质，就是检验集合M的元素哪些在集合N中，当[x≤1]时，利用绝对值三角不等式容易作出判断，这样只需要观察集合M中绝对值较大的数-2，2是否满足不等式[x2-x-6≥0]即可.

將-2，2分别代入不等式[x2-x-6≥0]验证，只有-2是该不等式的解，故[M?N]=[-2].

【评析】深刻理解数学概念是解决数学问题的关键与基本功．“交”是集合最基础的运算，其本质是寻找两个集合的公共元素，也就是求满足两个集合条件的元素. 此题中由于集合M中的元素明确且少量，故相对于解法1，解法2能更快捷地得到答案，这也是高水平数学思维的基本特征，这在规定时间的考试中非常重要．

分析：此题考查复数的基本概念与基本运算，同时可以检验学生知识的“宽度”与“深度”. 根据虚数单位[i]的意义及复数的四则运算法则，将复数[z]化为代数形式，然后根据共轭复数的定义即可得出答案. 除此之外，也可

【评析】解法1是使用计算的方式考查逻辑推理，当然不是简单的数字计算，而是结合作图与证明进行的. 基本步骤可以归纳为作图、证明、计算. 作图是作出必要的辅助线或待求的几何量；证明是运用三段论的方式进行演绎推理；计算大多数在三角形中进行. 这三步紧密联系，构成用纯几何法解决空间度量问题的思维程序，是数学能力的综合体现.

【评析】全概率公式[PB=i=1nPAiPBAi]是高中数学课程中新增加的内容，是概率论最基本的公式之一，提供了求复杂事件概率的方法，即将一个复杂事件表示为若干两两互斥事件的和，进而将难求的复杂事件的概率转化为可求事件的概率来解决问题．

现行高中数学教材在必修和选择性必修课程中介绍了[Eax+b=aEx+b]，但没有介绍[Ex+y=Ex+][Ey]（x，y是随机变量，a，b是常数），而这又是解决第（3）小题的依据，这提醒学生在学习高中数学内容时要处理好必修、选择性必修与选修课程之间的关系.

【评析】第（2）小题的求解难点是如何对[a]进行分类，也就是找到对[a]分类的“界”. 出发点是在x = 0处，[fx]的符号应该是左正右负. 基于对称性，对于正数a，只要存在正数m使得[fx]< 0在区间[0，m]上恒成立即可. 由第（1）小题，可知[ax-ax2

与此类似的试题有2023年全国甲卷（理科）第21题.

例10 （全国新高考Ⅰ卷·22）在直角坐标系[xOy]中，点[P]到[x]轴的距离等于点[P]到点[0， 12]的距离，记动点[P]的轨迹为[W]．

（1）求[W]的方程；

（2）已知矩形[ABCD]有三个顶点在[W]上，证明：矩形[ABCD]的周长大于[33]．

分析：此题以抛物线为载体，考查求轨迹方程，以及不等式、函数与导数等知识的综合问题.

第（1）小题设[Px，y]，根据点[P]应该满足的几何条件列出方程，化简即可. 对于第（2）小题，可以把问题转化到抛物线[y=x2]上考虑求解. 设矩形的三个顶点分别为[At，t2，Bt1，t12，Dt2，t22，] 或者设[At，t2]和直线[AB]的斜率为[k]，利用[AB⊥AD]，建立[t，t1，t2]或[t，k]之间的关系，然后求出矩形[ABCD]周长的表达式，再利用不等式放缩减少变量的个数，进而转化为求函数的最小值. 这里的工具有导数、基本不等式或三角换元等，最后验证等号均成立的条件不具备即可.

【评析】此题以现代通信中的信息传输为背景，体现了概率知识在实际问题中的应用. 将信息传输中的基本状态和译码规则与随机事件及随机事件的和与积对应起来是解决问题的关键．比较两个概率的大小，则要用到作差法比较两数大小及代数式的恒等变形．

例13 （全国新高考Ⅱ卷·19）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到患病者和未患病者该指标的频率分布直方图如图13和图14所示.

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值[c]，将该指标大于[c]的人判定为阳性，小于或等于[c]的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为[pc]；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为[qc]. 假设数据在组内均匀分布. 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

（1）当漏诊率[pc=0.5%]时，求临界值[c]和误诊率[qc]；

（2）设函数[fc=pc+qc]. 当[c∈95，105]时，求[fc]的解析式，并求[fc]在区间[95，105]的最小值．

分析：此题考查用样本估计总体的思想和函数思想；考查数据分析素养和数学运算素养．

指标[c]在两个图中是同一个位置，大于[c]判定为阳性，不大于[c]判定为阴性. 图13是患病者指标分布，因此小于[c]对应漏诊率；图14是未患病者指标分布，因此不小于[c]对应误诊率. 第（1）小题根据漏诊率，即图13中[c]左边矩形的面积和为0.5%确定[c]的值，从而在图14中求得[c]右边的矩形面积和，即误诊率. 第（2）小题将[c]作为自变量，先求得[fc]的解析式，再求[fc]的最小值．

【评析】此题以医学统计学为背景，揭示了确定医学指标临界值[c]的过程. 试题要求学生能从图文中正确读取数据信息，通过临界值[c]将从两个图得到的信息联系起来进行数据分析，充分反映了高中概率统计课程的基本要求，也是学生数据分析素养的具体体现．

4. 引导创新性

2023年高考数学试题在考查学生创新精神、创新意识和创新能力方面有新的突破，不仅出现了应用全概率公式计算概率这样考查新内容的试题，也出现了解析几何与不等式证明、求函数最值相结合的试题. 特别值得注意的是，以往试题中所涉及的数学对象，在给出一定条件后就成为确定的数学对象或一元数学对象，2023年高考数学试题中出现了在给定条件下是二元数学对象的试题（如全国新高考Ⅰ卷第12题），这值得大家关注和分析总结．

例14 （全国新高考Ⅰ卷·12）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ）.

（A）直径为[0.99 m]的球体

（B）所有棱长均为[1.4 m]的四面体

（C）底面直径为[0.01 m]，高为[1.8 m]的圆柱体

（D）底面直径为[1.2 m]，高为[0.01 m]的圆柱体

分析：此题考查正方体与正四面体、球体、圆柱体等的简单组合体，要求学生运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等方式认识和探索空间图形的结构特征（形状、大小、位置）. 根据题意，结合正方体内部的球、正四面体、圆柱及正方体直径（正方体上两点间的最大距离）、截面等逐项分析判断即可求解. 对于选项D，可以考虑以正方体的体对角线为轴的圆柱，也可以考虑正方体的最大面积的截面的内切圆.

解：对于选项A，因为棱长为[1]的正方体，其内切球的直径为[1>0.99]，所以直径为[0.99]的球体能够被整体放入此正方体内. 故正确.

对于选项B，因为棱长为[1]的正方体的面对角线长为[2>1.4]，如图15中棱长为[2]的正四面体[ABCD]在棱长为[1]的正方体内，所以棱长为[1.4]的正四面体能够被整体放入此正方体内. 故正确.

对于选项C，正方体上任意两点间的最大距离为体对角线长，因为棱长为[1]的正方体的体对角线长为[3]，且[3<1.8]，所以高为[1.8]的圆柱体不能够被整体放入此正方体内. 故错误.

对于选项D，由[1.2>1]，可知棱长为[1]的正方体底面正方形不能包含底面直径为[1.2]的圆柱底面圆. 如图16，假设底面圆直径为[1.2]的圆柱以正方体对角线[BD1]为轴，圆柱的上底面圆M（点M为圆心）、下底面圆N（点N为圆心）均与多面体的面相切，设圆N与正方体下底面相切于点[E]，由于底面圆半径为[0.6]，所以[NE=35].

【评析】此题具有丰富的实际背景，在工程、材料、包装、雕塑等设计领域经常会遇到类似的空间组合体问题. 如果学生善于观察生活，掌握一些常見空间几何组合体模型（如柱体、锥体、台体、球体等的接、切、截），则很容易判断此题选项A，B，C的正误. 对于选项D，则需要学生具有较强的空间想象与估算能力. 2018年全国新课标Ⅰ卷第12题也曾考查过正方体的最大截面问题.

与此类似的试题有2023年上海卷第12题.

例15 （全国新高考Ⅱ卷·15）已知直线[x-my+][1=0]与[⊙C： x-12+y2=4]交于[A，B]两点，写出满足“[△ABC]面积为[85]”的[m]的一个值________.

分析：此题主要考查直线与圆的方程及直线与圆的位置关系、点到直线的距离等；考查数形结合思想和分类讨论思想. 根据直线与圆的位置关系，求出弦长[AB]，以及点[C]到直线[AB]的距离，结合面积公式即可解出答案．

【评析】此题具有一定的开放性，答案不唯一，解题方法也较多. 上述解法1是通法，解法2是注意到题中直线过特殊的定点（在圆上，也在横轴上），因而只需考虑直线[y=85]或直线[y=-85]与圆的交点即可. 当然，发现[A-1，0]后，也可以利用圆的参数方程求解：设[B1+2cosθ，2sinθ，] 则[CA=-2，0， CB=2cosθ，2sinθ][0≤θ<2π.] 所以[S△ABC=12CACBsinπ-θ=2sinθ=85.]由此求得[sinθ]的值后，再求点[B]的坐标和m的值.

分析：此题考查圆锥曲线的基础知识；考查等价转化思想和逻辑推理素养.

若曲线是“自相关曲线”，则存在定点M，当曲线上任一点P到M的距离为d时，曲线上必有相应的点Q到点M距离为[1d]. 问题可以转化为“设曲线上任一点到某定点M距离的取值范围为A，若d?A时[1d]?A，则该曲线为自相关曲线”. 因此，求[PM]的取值范围是关键.

解：对于命题①，不妨设椭圆的方程为[x2a2+y2b2=1][  a>b>0，Mm，0 m>a.] 由几何直观，可得[PM]的取值范围为A =[m-a，m+a]. 令[m-am+a=1，]解得m =[1+a2].

可见，存在点M[1+a2，0，] 对于椭圆上任意一点P，在椭圆上都有点Q，使得[PMQM=1]. 所以椭圆为“自相关曲线”. 故为真命题．

对于命题②，对于任意的点M和双曲线上的点[P]，显然[PM]存在最小值m（m > 0），即[PM]的取值范围是A =[m，+∞]. 假设双曲线是“自相关曲线”，且双曲线上某点P满足[PM=d]，则所求的Q须满足[QM]=[1d]. 所以[d>m]且[1d>m]. 由[d>m]，得[1d]< m. 这与[1d>m]矛盾，所以点Q不存在. 所以不存在双曲线是“自相关曲线”，故为假命题．

【评析】此题求解的关键在于深入理解新定义，并能够将其转化为求曲线上任一点到定点M的距离的取值范围. 对于命题①，考虑到这是一个存在性问题，因此假设定点为M（m，0），并且m > a，这样可以更轻松地得到[PM]的取值范围. 当m =[1+a2]时，[PM]的取值范围是A =[1+a2-a， 1+a2+a]，两端点的值互为倒数（积为1）. 满足若d∈A，必有[1d]∈A. 可见，此题本质上就是当[PM]的取值范围是一段区间时，判断这个区间的两个端点是否互为倒数即可，但是双曲线不具有这一特点，有了这个认识，就可以迅速判断命题②的真假．

二、优秀试题剖析

一道试题如果能用自然朴素、简洁明了的方式表达，既能测量学生对数学概念原理、思想方法的理解，反映学生的数学素养，以及发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，区分学生的数学思维水平，便于高校选拔人才，又能帮助一线教师正确理解《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》精神，引领数学教学，使日常教学朝着数学育人的方向进行，这样的试题一定是一道优秀试题．

在2023年高考数学试题中，有很多对日后教学有所启示，值得我们认真分析和总结的优秀试题．

例18 （全国新高考Ⅱ卷·13）已知向量a，b满足[a-b=3]，[a+b=2a-b]，则[b]的值为      .

由此我们认识到，数学知识的联系性永远是教学的主题与数学思维训练的重要课程.

例19 （全国新高考Ⅰ卷·15）已知函数[fx=][cosωx-1 ω>0]在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则[ω]的取值范围是________．

试题赏析：此题考查对三角函数图象与性质的理解；考查函数与方程思想、数形结合思想及转化思想.

教学启示：此题涉及的数学模型是余弦函数，引入参数[ω]后使得余弦函数演变为余弦型函数，但其基本性质仍与余弦函数密切相关. 教学过程中，在帮助学生回顾余弦函数y = cos x的图象与性质的基础上，应使学生理解参数[ω]对余弦型函数性质的影响. 解决问题时，可以换元，然后利用更熟知的余弦函数（图象固定）观察区间[0，2ωπ]右端点的变化；也可以固定区间[0，2π]，观察函数[y=cosωx]的图象，利用[ω]对图象的影响解决问题．

例20 （全国新高考Ⅰ卷·17）已知在△ABC中，[A+B=3C，2sinA-C=sinB]．

（1）求[sinA]；

（2）设AB = 5，求边AB上的高．

试题赏析：此题考查解三角形、正弦定理的应用；考查学生三角恒等变形的能力和数学运算素养．

第（1）小题中的三角形在给定两个条件下是一元数学对象，求解目标是探求可变对象的不变性；第（2）小题中的三角形在增加一个条件后成为零元数学对象，三角形中的距离与角度都可求.

在第（1）小题中，由[A+B=3C]，可知[C=π4]. 将[C=π4]代入[2sinA-C=sinB]并保留A消去B，得到A的某個三角函数，从而得到[sinA]的值. 至此，三个内角全部已知，使三角形降为一元数学对象. 在第（2）小题中，AB = 5说明△ABC是确定的，故只需要解其中的直角三角形即可求得边AB的高，但要与△ABC联系起来解决问题．

教学启示：三角形是基本的数学对象，是我们用元思想理解数学对象的典范. 教学时，教师应该以解三角形为例，帮助学生理解数学对象的元对于认识数学对象并掌握数学对象的性质的重要性. 数学对象的特殊情形是认识和运用数学对象解决问题的重要基础. 在此题中，利用含CH的直角三角形求边AB上的高，比用其他方法会更有效. 因此，教学中应重视对数学对象特殊性的认识与运用.

教学启示：在教学中，要注意正弦型函数是特殊的函数，因此可以用导数帮助研究其图象与性质. 确定[φ]的值通常用最值点更好，这样可以避免讨论. 如果用零点条件求解，就会涉及两种不同情形的讨论. 在此题中，如果不利用导数进行判断，就很难排除由三角函数的多值性引起的分类讨论，就会使得问题的解答变得更加复杂.

例22 （全国新高考Ⅰ卷·20）设等差数列[an]的公差为[d]，且[d>1]. 令[bn=n2+nan]，记[Sn，Tn]分别为数列[an， bn]的前[n]项和．

（1）若[3a2=3a1+a3，S3+T3=21]，求[an]的通项公式；

（2）若[bn]为等差数列，且[S99-T99=99]，求[d]．

试题赏析：对于第（1）小题，等差数列是一个二元数学对象，通常由两个独立条件就可以确定. 在此题中，不仅有等差数列[an]，还有一个数列[bn]，且这两者之间知其一便知其二. 因此，把条件转化为[an]的元表示，则可以求出[an]的通项公式. 对于第（2）小题，在已知[bn]也为等差数列的情况下，[an， bn]作为一个完整的数学对象是四元对象，但是条件[bn=][n2+nan]使得[an， bn]降为一元数学对象. 在条件[S99-][T99=99]下，[an， bn]就确定了，这里最重要的是由[bn=n2+nan]和[bn]为等差数列找到[a1]与[d]之间的关系[a1=d]或[a1=2d].

三、复习备考建议

高考试题为复习备考提供了丰富的信息，启发我们不仅要抓基础、重综合、讲应用、求创新，还要在落实基础知识、基本技能的基础上，加强对基本数学思想的领悟与运用，体会为何要重视数学核心素养，以及如何发展数学核心素养. 同时，在复习时应该做好以下几点.

1. 加强知识之间的整体联系

通过对2023年高考数学试题特点的分析，我们看到许多试题涉及多个知识领域，综合程度较高. 因此，复习时要加强知识间的联系，尽早树立整体数学观，这样在面对一个具体问题时，才能快速、准确地找到解决问题的途径，并获得正确答案. 同时，为了加强知识之间的联系与整体数学观，建议学生从高三开始每隔一段时间做一份高考要求的综合测试，以清楚自己处于什么位置.

由此看到，当我们把各部分数学知识联系起来时，不仅可以深入体会方程与函数思想，数形结合思想也变得自然并充满力量.

2. 深入体会数学思想

平时做再多的题，也大概率不会是高考遇到的题. 因此，复习做题的目的是弄清问题背后的概念原理和思想方法，使自己的知识系统化、结构化，并借此提升数学思维水平，发展数学素养及分析问题和解决问题的能力. 因此，每做一道题目，都要把问题中的概念弄清，原理弄透，方法弄熟，思想弄通.

在例3中，若从元思想出发理解，三棱锥是一个六元数学对象，需要6个独立的一阶条件才能确定. 而三棱锥[P-ABC]的底面是以2为边长的正三角形，这相当于3个一阶独立条件，[PA=PB=2]，[PC=6]又是3个一阶独立条件，所以一共有6个一阶独立条件. 所以三棱锥[P-ABC]是一个确定的数学对象，因而问题按常规思路就可以解决.

3. 步骤化解决基本问题

数学试题的形式千变万化，但万变不离其宗. 因此，复习时要学会对试题进行归纳分类，这样就会发现其中有些内容的考查方式经常出现，我们把围绕这些内容的考查所形成的常见考查形式称为这一内容的基本问题. 例如，在立体几何试题中，常见的基本问题有证明平行或垂直、求距离与角度、求体积与表面积、图形的割补与折叠和立体图形的截面等.

我们弄清楚解决某个基本问题的基本步骤，就相当于解决好了一类问题. 例如，在例7中包含以下基本问题：（1）直线[A1C]与平面[ABC]的垂直（性质）；直线BC与平面[A1ACC1]的垂直（判定）；（2）求点A到平面[BCC1B1]的距离；（3）求直线[AB1]与平面[BCC1B1]所成角. 用几何法求直线[AB1]与平面[BCC1B1]所成角这个基本问题的步骤如下.

第1步，求点A到平面[BCC1B1]的距离[d1]；

第2步，求线段[AB1]的长[d2]；

第3步，计算[sinθ=d1d2]并得出结果.

用向量解决这个基本问题的基本步骤如下.

第1步，建立空间直角坐标系；

第2步，求出向量[AB1]的坐标；

第3步，求出平面[BCC1B1]的法向量n；

第4步，计算[sinθ=AB1 ? nAB1n]并得出结果.

4. 以教材视角审视试题

任何一道高考试题都是运用教材中的概念、原理、方法与思想解决问题的具体体现，这就要求学生尊重教材所呈现的数学结构、数学思维和数学表达. 如果学生试图按照自己的不符合数学要求的方式去思考或表达，一定会出现许多漏洞甚至错误. 如果深入分析試题，你会发现高考试题均由教材中的基本问题组合而成，有些试题还是教材习题的变式. 例如，全国新高考Ⅰ卷第7题与人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第二册第25页综合应用第7题就有着密切的联系.

5. 与好问题做“好朋友”

一个好的问题不仅可以帮助我们深入理解数学概念与原理，深刻体会数学方法与思想，还能在遇到一个新问题时，以“好朋友”的身份帮助我们找到解决问题的途径与方法. 因此，我们要做“好问题”，并把“好问题”做好，真正体会到“做好问题比多做问题重要”. 只有使一定量的好问题成为自己思维的“好朋友”，才能使高考复习高质、高效. 例如，对于例22的第（2）小题，最基本的想法就是得到关于[d]的方程并求解，但是在列方程的过程中不可能不涉及其他的量（如首项[a1]），这时就需要列多元方程组来求解，则求解的难度便与选取的相关量密切相关. 因此，如例22的分析所述，尝试选取不同的量作为元去求解，才能体会该怎样优化解题过程.

6. 以提升数学核心素养为目的选择学习内容

虽然高考试题中涉及的知识不会超出数学必修和选择性必修的内容，但是解答试题的方法与能力是没有限制的. 例如，直线的参数方程不在现在的必修与选择性必修内容中，有关解析几何的试题也可以不用它来解决，但是如果用直线的参数方程求解相关问题往往会使得求解过程变得简单. 因此，在现在高中课程鼓励学生加大选修力度的情况下，对于学有余力的学生而言，多学习一些类似于参数方程、数学归纳法、复数的三角形式的内容是有利于考试和最终发展的.

当你不仅是因为考试而学习数学，而是以追求数学的美与力量，以欣赏和渴求人类智慧的姿态而沉浸于数学的世界. 不仅是为了获得试题的答案而去分析与解答，而是为了明确试题背后的概念、原理、方法和思想，那么数学在你的心中一定是：梦你是画，画你是诗，吟你是歌．

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］郭慧清. 元的思想及其运用［J］. 数学通报，1995（3）：10-14.

［3］郭慧清. 元在数学教学中的地位与作用［J］. 数学通报，2006，45（5）：26-29.

［4］郭慧清，黄文辉，葛一伟. 映山红盛开，夜亦是红色：2022年高考数学试题解题分析及复习备考建议［J］. 中国数学教育（高中版），2022（7 / 8）：3-20.

作者简介：郭慧清（1961— ），男，正高级教师，广东省特级教师，主要从事数学课程与教学研究；

洪建明（1966— ），男，高级教师，主要从事数学教育研究；

曾劲松（1974— ），男，高级教师，主要从事数学教育研究.