深入几何本质 活用解析方法

吴中林　黎方平　江泓

摘  要：通过分析2023年高考平面解析几何试题，总结得出其主要特点为以基本图形的考查凸显试题的综合性，以开放设问方式体现试题的创新性. 在复习教学时，要深入学习过程、理解平面解析几何的研究方法，依据圆锥曲线的定义方式建立知识体系，深度挖掘教材例题和习题的价值，并进行多角度联系，探索高考试题的命题背景和平面解析几何的本质. 在解题思考中，要深入研究几何结构、认识图形特征、把握问题本质，实现自然思考；以数形结合、特殊与一般等数学思想为指导，进行简练思考，优化解题策略；尝试用高观点审视问题，加强综合联系，提升思维的深刻性，实现问题解决的灵活性．

关键词：平面解析几何；解题分析；教材价值

一、试题特点分析

2023年高考数学全国甲卷（文、理科）、全国乙卷（文、理科）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷共设置了15道不同的平面解析几何试题. 全国新高考Ⅰ卷和全国新高考Ⅱ卷均设置2道选择题（全国新高考Ⅰ卷中均为单选题，全国新高考Ⅱ卷中为单选题和多选题各一道）、1道填空题和1道解答题. 全国甲卷文、理科各设置2道选择题和2道解答题，其中文科第7题是理科第12题的特殊化，其余试题完全相同；全国乙卷文、理科各设置1道选择题、1道填空题和2道解答题，且试题完全相同. 全国甲卷（文、理科）设置的选考试题，考查直线的参数方程中 t 的几何意义及直线的参数方程化为普通方程；全国乙卷（文、理科）设置的选考试题，考查极坐标方程化为直角坐标方程，以及直线与圆的位置关系等知识. 试题突出强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握. 每份试卷中的相关试题都通过设置课程学习情境，全面考查平面解析几何中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的基础知识. 例如，全国新高考Ⅰ卷第5题和全国新高考Ⅱ卷第21题第（1）小题，都是已知离心率求方程；全国新高考Ⅰ卷第22题第（1）小题，已知曲线满足的几何条件求方程；全国乙卷（文科）第13题，已知曲线满足的代数条件求方程并研究几何性质. 这些试题都对平面解析几何的基础知识和基本方法进行了考查. 试题深入考查学生对学科知识的综合应用能力，全面体现高考对数学核心素养的综合考查. 例如，全国新高考Ⅱ卷第10题，设置直线与抛物线相交的情境，以多选题的形式考查圆锥曲线的内容，考查数学运算与逻辑推理素养；全国乙卷（理科）第11题，设置直线与双曲线相交的情境，考查逻辑推理和直观想象素养. 总之，2023年高考中的平面解析几何试题，以学科素养为导向，通过设置合理的情境，体现必备知识、关键能力、学科素养和核心价值的考查内容，反映基础性、综合性、创新性和应用性的考查要求.

1. 立足基本图形，凸显试题的综合性

试题紧密结合定义，以圆锥曲线的焦点作为基本元素构造图形，既反映基础性要求，又体现综合联系. 例如，全国甲卷（理科）第12题（文科第7题）和全国新高考Ⅰ卷第16题都集中研究由圆锥曲线上的点和焦点确定的三角形，通过表达曲线或三角形的相关量，考查学生的数学关键能力和核心素养.

反思总结：由于直线[AB]和[AD]的斜率分别为[x1+x0]和[x2+x0]，从代数结构看，方法1和方法2没有本质区别. 该题难在“求形如[fx=mx-a+nx-b]（其中[m>0]，[n>0]）的函数的最小值”，关键是把握几何结构的一致性. 如方法1，由于[AB]和[AD]的地位相同，因此，通过适当放缩两个绝对值式子，使其系数相等，利用[x0-a+x0-b≥b-a]消去[x0]，将[AB+][AD]这个二元函数变为关于单变量[k]的函数，且其结果能进一步用于论证严格不等式. 当[k=2]，[x0→22]时，[AB→0]，[AD→332]，[AB+AD→332]. 因此，该题中的矩形周长的下确界（最大下界）是[33].

三、复习备考建议

1. 深入学习过程，把握研究方法

平面解析几何的本质是用坐标方法研究几何问题. 基本问题有两类：根据已知条件求出曲线的方程；通过曲线的方程研究曲线的性质. 因此，既要掌握求曲线方程的基本方法，还要理解如何利用曲线的方程来研究曲线的性质.

与其他数学内容的学习相似，平面解析几何的学习过程是从熟悉到陌生，按直线与方程、圆与方程到圆锥曲线与方程的顺序来展开. 具体研究时，应该坚持用几何眼光观察图形的结构特征、用代数运算结合几何关系探究、发现和证明性质，按照确定图形的几何要素建立方程、利用方程研究图形的位置关系、性质及曲线的相关几何量.

2. 遵循轨迹定义，建立结构体系

平面解析几何的基本研究路径表现为：利用点和方向确定直线、两点确定直线这两种方式建立直线方程，进而研究直线的位置关系与度量；由到一个定点的距离为定值的动点的轨迹是圆，建立圆的方程，并研究直线与圆、圆与圆的位置关系与度量；在此基础上，按照动点到两个定点的距离的和、差（积、商）为定值，动点到定点与到定直线的距离的比值为定值，动点与两定点连线的斜率的积（和、差、商）为定值三种不同关系，以教材知识内容、例题和习题呈现等不同方式揭示圆锥曲线的形成过程，并结合学生的数学活动经验进一步研究椭圆、双曲线和抛物线的基本性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系. 在复习教学中，应该要求学生独立完成上述轨迹方程的求解，熟悉圆锥曲线定义间的整体关系，理解圆锥曲线的几何量对曲线性质的刻画（如离心率与定义的关系、对椭圆及双曲线形态的定性描述），建立平面解析几何的网络结构体系.

3. 挖掘教材价值，促进联系拓展

除研究方法、研究路径和结构体系外，教材中历经多年沉淀下来的例题和习题也是复习教学的重要资源，复习备考时应该深入挖掘其价值. 审视人教A版教材第135页例4及第136页例5，用从特殊到一般、考查逆命题等基本研究方法，可以得出拋物线过焦点的弦具有的系列基本性质. 如图3，设O为坐标原点，过抛物线[C：y2=2px][p>0]的焦点F的直线交C于M，N两点，[l]为C的准线，过M，N作[l]的垂线，垂足分别为[M1]，[N1]. 对其中的位置关系、度量关系进行探究，则可以得到以下结论：在梯形[MM1N1N]中，[MN=][MM1+NN1]；以[MN]为直径的圆与[l]相切，切点[H]为[M1N1]的中点；HM⊥HN；用解析法探究可得直线[HM]，[HN]均与C相切、[HF⊥MN].

这样的联系和拓展（根据学生学习实际确定广度和深度），从教材问题出发，建构了抛物线焦点弦的知识体系，明确了内在联系，内化了研究方法，有利于学生数学思维品质及数学核心素养的提升.

以这样的思考基础来看2023年全国新高考Ⅱ卷第10题，选项A是直接考查抛物线的定义；而选项B仅是改变了人教A版教材第135页例4的条件中的数据；选项C是上述探究的一个结果；由人教A版教材第136页例5可知[∠MON]为钝角，[MN]为△OMN的最长边，若△OMN是等腰三角形，只能是[OM=ON]，据抛物线的对称性知选项D错误. 构造逆命题，由[H]，[M]，[N]间的对应关系，将H在准线上一般化，由[HM⊥HN]，便得到2018年全国Ⅲ卷（理科）第16题；由直线[HM]，[HN]与C相切，则[M]，N的连线过抛物线焦点，就得到2019年全国Ⅲ卷（理科）第21题的第（1）小题. 因此，深入挖掘教材题目的价值，能够全面、清晰地把握高考试题的命题背景和内在联系，使学生具有更宽广的视野进行解题思考.

4. 揭示几何本质，优化解题策略

平面解析几何问题常常表现为研究图形与图形间的关系，往往可以通过几何本质的展现更深刻地反映内在联系，从而促进深刻思维、简化解答过程. 例如，例1的分析抓住[△ABF1]的几何特征就简化了运算.

圆是圆锥曲线中的特殊图形，圆的几何性质在圆锥曲线中通常是可以推广的. 因此，研究圆锥曲线的几何性质，可以退到圆中去探索. 例如，2020年全国新高考Ⅰ卷第22题第（2）小题，本质上是过椭圆上一点A作相互垂直的弦[AM]，[AN]，則[MN]过定点. 显然，过圆上一点[A]作两条互相垂直的弦[AM]，[AN]，则弦[MN]过圆心，从而可以类比到椭圆中得出[MN]过定点的猜想，完成“动点在定圆上”向“直线过定点”的转化，获得解答思路. 因此，在复习备考时，可以从圆的关系出发，利用类比方法获得圆锥曲线中的性质，并利用解析法来研究.

几何的研究对象是位置关系和度量关系，平面解析几何则是结合代数方法研究位置关系、几何量取值的不变性或者变化规律，定点（定值）、定线是其中的重要问题. 用更高的观点看，定点和定线问题常常与“极点极线”相关，对于学有余力的学生，可以从圆的研究出发，理解“极点极线”的基础知识，进而运用到圆锥曲线中. 例如，2023年全国新高考Ⅱ卷第21题，点[P]在点[-4，0]关于双曲线[x24-y216=1]的极线[x=-1]上. 若进一步了解“调和线束”，就可以认识到2022年高考全国乙卷（理科）第21题是直接考查调和点列对应调和线束，2023年高考全国乙卷（理科）第20题考查调和线束的斜率性质. 需要注意的是，了解背景主要是为了深刻认知其几何本质，必须避免过度的、超越学生学习能力的拓展. 解答时，应该坚持采取通性通法进行思考，运用特殊与一般的思想，先采用几何直观猜想获得结论，再灵活运用代数运算完成论证. 处理几何量的变化范围和最值问题，可以首先考察几何特征以简化运算，通常还需要以函数与方程思想为指导，结合代数方法（如运用函数的单调性、均值不等式等）解决问题（如例3和例4）.

5. 悟透数学思想，活用解析方法

平面解析几何的本质是用坐标法研究曲线与方程. 从方程出发研究曲线的性质，关键是要把握好数量与数量间的关系；而数形结合、特殊与一般、转化与化归等数学思想方法则是解决问题的重要保障. 例如，2022年全国新高考Ⅰ卷第22题第（1）小题，已知[A]是双曲线上的定点，动弦[AP]，[AQ]的斜率和为0，论证直线[PQ]的斜率为定值. 问题中几何结构的对称性，必然反映为相应代数结构的内在一致性，从而在计算一条直线得出结果后，类比获得其他结果. 又如，2021年全国甲卷（理科）第20题，三条直线[A1A2]，[A2A3]，[A1A3]的几何结构具有一致性，可以在表示直线方程、直线与圆相切时，把握相应代数结构的共性，实现运算的优化：写出一条直线的方程，即可同理得到另外两条直线的方程；由直线[A1A2]，[A1A3]与圆相切得出两个方程，对代数关系的认识（一是看作一元二次方程，以根与系数的关系代入，变形推导得出结论；二是看作二元一次方程，得到A2，A3两点坐标满足的关系，从而得出直线[A2A3]的方程，由圆心到直线的距离证明相切）深刻地反映了解析方法的本质. 上述两个例子中，代数与几何的结构、关系的对应和转化是平面解析几何本质的体现；数形结合、转化与化归及函数与方程等数学思想的运用是推动问题解决的有效指引. 因此，在复习过程中，要不断领悟数学思想，从表现形式、关系结构上深刻认识问题本质，提升数学抽象素养；从结构对比、运算对应等角度分析运算条件、确定运算方向、设计运算程序，进而提升数学运算素养；结合问题特征综合运用思想方法，深入平面解析几何的数与形的本质，实现有效、简练地思考问题并活用解析方法解决问题.

四、典型模拟题

平面解析几何试题的命制往往采用以下方式：一是直接研究直线、圆、圆锥曲线中平面图形的性质或相关几何量（往往需要先确定相关曲线的方程）；二是以圆的性质为出发点，用圆锥曲线和圆的内在联系建构新问题；三是依据高观点建立点、线关系，探究定点（定线）与定值问题，等等. 以下问题供参考.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部考试中心. 中国高考评价体系［M］.  北京：人民教育出版社，2019.

［3］教育部考试中心. 中国高考评价体系说明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

作者简介：吴中林（1965— ），男，正高级教师，四川省特级教师，主要从事中学数学教育教学研究；

黎方平（1976— ），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究；

江泓（1982— ），男，中学一级教师，主要从事中学数学教育教学研究．