数形兼备二维性 立意导向工具性

安学保　王艳雪

摘  要：通过对2023年高考数学9份试卷中复数和平面向量试题进行综合研究，从试题特点和试题解法两个方面归纳分析，总结解决复数和平面向量问题所需要的数学技能和数学思维. 在此基础上，给出了回归基础知识和基本技能的复习备考建议．

关键词：2023年高考；复数；平面向量；解题分析

2023年高考数学9份试卷均对复数和平面向量内容进行了考查. 考查复数的试题通常为单独的一道题（选择题或填空题），分值为5分. 考查平面向量的试题通常会有独立的一道客观题，分值也是5分. 同时，在平面解析几何试题中，会出现以平面向量呈现的条件表述，以及将平面向量作为解决平面几何问题的工具的试题. 从必备知识层面，复数部分主要考查复数的模、共轭复数、复数的四则运算及复数的几何意义等；平面向量部分主要考查向量的模、夹角等基本概念，以及向量的线性运算、坐标运算、数量积运算等基本运算，向量的简单应用也是常考内容.

该部分试题的命制符合《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）和《中国高考评价体系》的有关要求. 围绕复数和平面向量内容，聚焦重要概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性和应用性，注重对数学本质和通性通法的考查.

一、试题特点分析

2023年高考复数和平面向量试题反映了新时代基础教育课程理念，突出对基础知识和基本技能的理解和掌握，难度适中，体现了基础性. 相关试题多以选择题和填空题的形式呈现，注重对数学思想和关键能力的考查.

1. 概念是解题的起点，以复数和平面向量概念为基础，考查学生对概念的理解和应用能力，体现高考试题的基础性

【评析】该题主要考查复数的乘法和复数相等的概念. 在正确运算的基础上，利用复数相等的概念将[a+i1-ai=2]转化为复数的实部和虚部分别相等，即可确定参数的值. 该题体现了高考试题考查的基础性，考查了学生熟练运用概念进行解题的能力. 人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“人教A版教材”）中多次出现利用复数相等求参数的值的题目，该题将教材中的复数乘法运算与这种题型的问题进行了适当的整合.

2. 以运算为载体，考查学生对运算路径的选择和运用能力，体现高考试题的基础性

2023年高考复数和平面向量试题以运算为载体，要求学生掌握不同的运算方法，考查学生对不同运算路径进行合理选择和快速运用的能力.

【评析】该题考查的知识点主要有向量的夹角和模的概念，以及向量的数乘、加法和数量积等运算. 解法1通过观察发现[a+b=-c]，结合向量的模的平方相等将它们表示出来，然后利用基向量的运算和三角函数的定义解决问题. 这种解法要求学生有敏锐的观察力，捕捉题设条件中各种显性和隐性的信息，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，有利于提升学生多角度思考问题的能力. 解法2整体把握试题的走向，考查了学生利用建立平面直角坐标系的方法解决问题的能力，是通性通法. 解法3是在解法1的基础上，结合向量的差和夹角公式来解决问题，揭示了向量的数量积运算的几何意义.

2022年全国甲卷（理科）第13题、2021年北京卷第13题、2018年全国Ⅱ卷（文科）第4题等都与该题有着相同的背景. 平面向量数量积的定义及其变形后的夹角公式、模长公式是考查数形结合思想的重要载体. 正可谓“代数几何熔一炉，长度距离一点通”，多进行总结反思，方能灵活运用、得心应手.

3. 以应用为核心，考查学生对各个知识的综合应用能力，体现高考试题的综合性

2023年高考复数和平面向量试题，以应用为核心，要求学生对各个知识点融会贯通，考查学生快速应用不同知识点综合解决问题的能力.

【评析】解法1根据题意结合向量数量积的运算律求解，对于等号两边的[a+b]与[2a-b]进行平方运算，得到有效信息，代入[a-b]的平方消除未知量，从而求出[b]. 这是一种不错的选择，这种方法属于通性通法. 如果我们仅仅停留在“平方后能求出结果”这一层面上，那么蕴含在题设中的向量的几何背景就会被代数平方运算所掩盖. 其实，只要在图中稍作向量标画，就可以应用向量解出答案，这就是解法3，通过数形结合，实现两种解法的统一. 解法3的核心是心中有数，脑中有形，心中有模. 解法2利用转化与化归思想，令[c=a-b]，通过换元，结合数量积的运算律运算求解. 对于较复杂的计算，此方法更加适用. 人教A版教材中有很多类似的练习题目，如必修第二册第36页练习的第1题“已知[a=-3，4，b=5，2]，求[a， b，] [a ? b]”和第2题“已知[a=2，3，b=-2，4，] [c=-1，-2]，求[a ? b， a+b ? a-b，a ? b+c， a+b2]”等.

这类平面向量试题在历年高考中考查次数较多. 例如，2022年全国乙卷（理科）第3题和2021年北京卷第13题等. 以两个向量的数量积为依托，灵活运用夹角公式与模长公式处理问题，是处理向量问题的有力抓手，而数形结合思想的运用又将长度与距离进行了更高层次的升华.

二、优秀试题分析

回顾反思：解决该题的关键是寻找变化之中的不变量. 虽然割线[PB]的位置在发生变化，但是[OA]与[PA]的垂直关系、[OD]与[PB]的垂直关系始终保持不变. 这两个直角三角形是解决该题的重要条件. [△OAP]是三边长度确定的直角三角形，而直角三角形[ODP]的斜边长度确定，因为[∠OPC]的变化导致两条直角邊长度发生变化. 解法1以[∠OPC]为变量，由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义得[PA · PD=][12-22sin2α-π4]或[PA · PD][=12+22sin2α+π4]，然后结合三角函数的性质确定[PA · PD]的最大值. 解法2利用图形中的垂直关系建立平面直角坐标系，将动点[D]的运动规律通过坐标得以显性化，寻找点[D]所在的“隐圆”（一部分），而[PA · PD]的坐标表示更是非常简单. 该解法中，平面直角坐标系的建立方法是使问题简单化的关键，在数形结合解决平面几何问题时，充分利用条件建立适当的坐标系可以简化运算，并且利用坐标表示也是我们寻找动点运动规律的重要方法之一. 大家可以在解题过程中慢慢体会.

三、复习备考建议

通过对2023年高考数学试题的分析，结合近几年高考复数和平面向量试题的特点，笔者提出以下复习备考建议供大家参考.

1. 强化核心概念，注重基础性的落实

近几年，复数和平面向量试题在高考数学中属于基础性试题，试题重点考查复数和平面向量的基本概念及运算等基础知识点. 复数部分主要考查的是概念，考查复数的定义（含实部和虚部的概念）、复数的模、共轭复数等. 复数的运算重点考查复数的四则运算及复数的几何意义. 平面向量部分主要考查平面向量的模、夹角等基本概念，以及平面向量基本定理、向量的线性运算、坐标运算、数量积等基本运算. 另外，向量的平行与垂直的充要条件也是考查的重点. 复习时，我们应该在复数和平面向量的概念理解及基本运算的掌握上下功夫，深化解决复数和平面向量问题的通性通法.

2. 强化运算训练，突出“数”“形”二维特征

复数和平面向量都有“数”和“形”二重性的特点. 从“数”的角度来看，可以进行代数运算；从“形”的角度来看，有长度和角度，可以刻画很多几何对象. 复数属于代数范畴，它肩负着提升数学运算素养的重任. 复数问题的求解要回归复数内部，通过复数的四则运算、模、共轭复数等性质，让复数的运算充满“复数味”. 平面向量“数”方面的特征也不单是相应坐标的运算，还有平面向量代数表示的运算. 复数和平面向量问题的解决不能局限在“数”这个层面，更要关注到“形”的特征，要让复数和平面向量的运算飘着“图形香”. 如此才能体现新高考数学对“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层内容的考查.

在进行该专题复习备考时，我们不仅要掌握解决复数和平面向量问题的通性通法，还要重点突出各类题型的典型解法. 例如，在求向量的数量积时，可以通过基向量法和建立平面直角坐标系用坐标处理等方法进行求解. 在这些通性通法的基础上，重点理解和消化重要概念和定理，利用概念优化解题过程. 在复习过程中，要善于思考，分析问题的本质，利用典型解法来解决问题.

3. 深化知识联系，加强数学思想提炼

复数与平面向量的内容中渗透了大量的数学解题思想方法，如数形结合思想、转化与化归思想、方程思想等，所以在复习备考过程中应该重视数学思想方法的总结和提炼，提高应用思想方法解题的意识. 几何与代数是高中数学课程的主线，在复习备考过程中，要突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过“形”与“数”的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解. 要善于从本质上抓住这些联系，实现数学语言与向量语言、图形语言之间的灵活转化，便可轻松获取解题路径. 这是帮助学生体会数学思想的重要途径，也是提高学生数学核心素养最有效的方法.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］教育部考试中心. 中国高考评价体系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［4］教育部考试中心. 中国高考评价体系说明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［5］任子朝，趙轩. 基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径［J］. 中国考试，2019（12）：27-32.

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［7］向立政，周远方，张云辉. 深度考查关键能力  充分发挥育人功能：2022年高考数学试题命题特点及复习教学建议［J］. 中国数学教育（高中版），2022（9）：3-13.

［8］安学保. 立足基础和素养  突出应用和创新：2022年高考“数列”专题命题分析［J］. 中国数学教育（高中版），2022（9）：42-48，57.

［9］欧阳尚昭，高转玲. 于细微处见真章  在基础处凸能力：2022年高考“复数和平面向量”专题解题分析［J］. 中国数学教育（高中版），2022（7 / 8）：58-64.

作者简介：安学保（1975— ），男，中小学正高级教师，主要从事高中数学教学与评价研究；

王艳雪（1992— ），女，中学一级教师，主要从事高中数学教学和解题研究.